2020高考数学文科大一轮复习导学案：第二章函数、导数及其应用2.4导学案





知识点一 幂函数
1．幂函数的定义
形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．
2．五种幂函数的图象

3．五种幂函数的性质



1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝2x是幂函数．(　×　)
(2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．(　√　)
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．(　×　)
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是.(　×　)
(5)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．(　√　)
2．函数f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m的值是(　B　)
A．－1 B．2
C．3 D．－1或2
解析：∵f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，
∴m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.
又f(x)在x∈(0，＋∞)上是增函数，所以m＝2.
知识点二 二次函数
1．二次函数的三种常见解析式
(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标；
(3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根．
2．二次函数的图象和性质



3．如图，若a<0，b>0，则函数y＝ax2＋bx的大致图象是③(填序号)．

解析：函数图象的开口向下，对称轴方程为x＝－>0，且过原点，故大致图象是③.
4．设二次函数f(x)＝x2－x＋a(a>0)，若f(m)<0，则f(m－1)>(填“>”“<”或“＝”)0.
解析：f(x)＝x2－x＋a图象的对称轴为直线x＝，且f(1)>0，f(0)>0，而f(m)<0，∴m∈(0,1)，∴m－1<0，∴f(m－1)>0.
5．若函数y＝mx2＋x＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是0≤m≤.
解析：当m＝0时，函数在给定区间上是增函数；当m≠0时，函数是二次函数，由题可知m>0，图象对称轴为x＝－≤－2，得0
1．幂函数的图象和性质
(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．
(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
(3)当α>0时，y＝xα在[0，＋∞)上为增函数；
当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数．
2．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时恒有f(x)>0，当时，恒有f(x)<0.
　　　　　　　　　　　　　　

考向一 幂函数的图象和性质
【例1】　(1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图象是(　　)

(2)若a＝，b＝，c＝，则下列正确的是(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．b>c>a
(3)已知幂函数f(x)＝x (m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则m的值为________．
【解析】　(1)设幂函数的解析式为y＝xα，
因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，
所以2＝4α，解得α＝.
所以y＝，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，
当0 (2)因为y＝x在第一象限内为增函数，所以a＝>c＝，因为y＝x是减函数，所以c＝>b＝，所以a>c>b.
(3)因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以m2－2m－3<0，解得－1 【答案】　(1)C　(2)B　(3)1

1．若本例(3)中，将函数“f(x)＝x”变为“f(x)＝(m2＋2m－2)x”，其他条件不变，则m的值如何？
解：由于f(x)为幂函数，所以m2＋2m－2＝1，解得m＝1或m＝－3，经检验只有m＝1适合题意，所以m＝1.
2．若本例(3)中已知条件不变，则(a＋1) <(3－2a) 中实数a的取值范围如何？
解：因为y＝x在[0，＋∞)上为增函数，所以(a＋1) <(3－2a) 等价于0≤a＋1<3－2a，解得－1≤a<，故实数a的取值范围是.

(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式.
(2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.
(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.



(1)当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2＋m－1)x－5m－3为减函数，则实数m的值为(　B　)
A．－2 B．1
C．1或－2 D．m≠
(2)已知a＝3，b＝4，c＝12，则a，b，c的大小关系为(　C　)
A．b C．c 解析：(1)因为函数y＝(m2＋m－1)x－5m－3既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，所以
解得m＝1.
(2)因为a＝81，b＝16，c＝12，由幂函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，知a>b>c，故选C.
考向二 二次函数的解析式
【例2】　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
【解】　解法1：(利用二次函数的一般式)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得解得
故所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
解法2：(利用二次函数的顶点式)
设f(x)＝a(x－m)2＋n.
∵f(2)＝f(－1)，
∴抛物线对称轴为x＝＝.
∴m＝，又根据题意函数有最大值8，
∴n＝8，∴y＝f(x)＝a2＋8.
∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，
∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.
解法3：(利用两根式)
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值ymax＝8，
即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍去)，
故所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.

　　求二次函数解析式的方法




已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．
解：∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，
∴f(x)的对称轴为x＝2.
又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，
∴f(x)＝0的两根为1和3.
设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．
又∵f(x)的图象过点(4,3)，
∴3a＝3，a＝1.
∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，
即f(x)＝x2－4x＋3.
考向三 二次函数的图象与性质
方向1　二次函数的图象问题
【例3】　(2019·重庆五中模拟)一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是(　　)

【解析】　若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B，故选C.
【答案】　C
方向2　二次函数的最值问题
【例4】　(1)(2019·河南安阳模拟)已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为(　　)
A．1 B．0
C．－1 D．2
(2)已知函数f(t)＝log2(2－t)＋的定义域为D.
①求D；
②若函数g(x)＝x2＋2mx－m2在D上存在最小值2，求实数m的值．
【解析】　(1)f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋a＋4，
∴函数f(x)＝－x2＋4x＋a在[0,1]上单调递增，
∴当x＝0时，f(x)取得最小值，
当x＝1时，f(x)取得最大值，
∴f(0)＝a＝－2，f(1)＝3＋a＝3－2＝1，
故选A.
(2)①由题意知
解得1≤t<2，即D＝[1,2)．
②g(x)＝x2＋2mx－m2＝(x＋m)2－2m2，此二次函数图象的对称轴为直线x＝－m.
(ⅰ)当－m≥2，即m≤－2时，g(x)在[1,2)上单调递减，不存在最小值；
(ⅱ)当1<－m<2，即－2 (ⅲ)当－m≤1，即m≥－1时，g(x)在[1,2)上单调递增，此时g(x)min＝g(1)＝1＋2m－m2，令1＋2m－m2＝2，解得m＝1.综上，m＝1.
【答案】　(1)A　(2)见解析
方向3　二次函数的恒成立问题
【例5】　(2018·天津卷)已知a∈R，函数f(x)＝若对任意x∈[－3，＋∞)，f(x)≤|x|恒成立，则a的取值范围是________．
【解析】　解法1：当－3≤x≤0时，f(x)≤|x|恒成立等价转化为x2＋2x＋a－2≤－x恒成立，即a≤－x2－3x＋2恒成立，所以a≤(－x2－3x＋2)min＝2；当x>0时，f(x)≤|x|恒成立等价转化为－x2＋2x－2a≤x恒成立，即a≥恒成立，所以a≥()max＝.综上，a的取值范围是[，2]．
解法2：当－3≤x≤0时，f(x)≤|x|恒成立转化为x2＋3x＋a－2≤0恒成立，函数y＝x2＋3x＋a－2的对称轴为x＝－，∴x＝0或x＝－3时，ymax＝a－2≤0，∴a≤2；
当x>0时，f(x)≤|x|恒成立转化为x2－x＋2a≥0，函数y＝x2－x＋2a的对称轴为x＝，ymin＝－＋2a≥0，∴a≥.综上所述，a∈[，2]．
【答案】　[，2]

1.解决二次函数图象与性质问题时要注意：
(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；
(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解).
2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键,解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域.


1．(方向1)设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　D　)

解析：由A，C，D知，f(0)＝c<0，从而由abc>0，所以ab<0，所以对称轴x＝－>0，知A，C错误，D满足要求；由B知f(0)＝c>0，所以ab>0，所以x＝－<0，B错误．
2．(方向2)已知函数f(x)＝x2－2ax＋2a＋4的定义域为R，值域为[1，＋∞)，则a的值为－1或3.
解析：由于函数f(x)的值域为[1，＋∞)，
所以f(x)min＝1.又f(x)＝(x－a)2－a2＋2a＋4，
当x∈R时，f(x)min＝f(a)＝－a2＋2a＋4＝1，即a2－2a－3＝0，解得a＝3或a＝－1.
3．(方向3)设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足10，则实数a的取值范围为.
解析：由题意得a>－对1.



分类讨论思想求解二次函数在闭区间上的最值
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，则二次函数在闭区间[m，n]上的最大、最小值有如下的分布情况：


典例　已知函数f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求函数f(x)的最小值．
【解】　(1)当a＝0时，函数f(x)＝－2x在[0,1]上单调递减，∴f(x)min＝f(1)＝－2.
(2)当a>0时，函数f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向上，且对称轴为直线x＝.
①当≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x的图象对称轴在区间[0,1]内，
∴f(x)在上单调递减，在上单调递增，
∴f(x)min＝f＝－＝－.
②当>1，即0 ∴f(x)在[0,1]上单调递减，
∴f(x)min＝f(1)＝a－2.
(3)当a<0时，函数f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向下，且对称轴x＝<0，在y轴的左侧，
∴函数f(x)＝ax2－2x在[0,1]上单调递减．
∴f(x)min＝f(1)＝a－2.
综上所述f(x)min＝

a为实数，函数f(x)＝|x2－ax|在区间[0,1]上的最大值记为g(a)．当a＝2－2时，g(a)的值最小，是3－2.
解析：因为函数f(x)＝|x2－ax|，所以分以下几种情况对其进行讨论：①当a≤0时，函数f(x)＝|x2－ax|＝x2－ax在区间[0,1]上单调递增，所以f(x)max＝g(a)＝1－a；
②当0 ＝＝，f(1)＝1－a，
而－(1－a)＝－2<0，
所以f(x)max＝g(a)＝1－a；
③当2－2≤a<2时，f(x)＝|x2－ax|＝－x2＋ax在区间内单调递增，在区间内单调递减．
当x＝时，f(x)取得最大值f＝；
④当a≥2时，f(x)＝|x2－ax|＝－x2＋ax在区间[0,1]上单调递增，
当x＝1时，f(x)取得最大值f(1)＝a－1，
则g(a)＝
g(a)在(－∞，2－2)内单调递减，(2－2，＋∞)内单调递增，
即当a＝2－2时，g(a)的值最小，最小值为3－2.