2020高考数学文科大一轮复习导学案：第二章函数、导数及其应用2.7导学案
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知识点一 利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线，首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)；最后：描点，连线．
知识点二 利用基本函数的图象作图
1．平移变换
(1)水平平移：y＝f(x±a)(a>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(＋)或向右(－)平移a个单位而得到．
(2)竖直平移：y＝f(x)±b(b>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向上(＋)或向下(－)平移b个单位而得到．
2．对称变换
(1)y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称．
(2)y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称．
(3)y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．
(4)要得到y＝|f(x)|的图象，可将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变．
(5)要得到y＝f(|x|)的图象，可将y＝f(x)，x≥0的部分作出，再利用偶函数的图象关于y轴的对称性，作出x<0时的图象．
3．伸缩变换
(1)y＝Af(x)(A>0)的图象，可将y＝f(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变而得到．
(2)y＝f(ax)(a>0)的图象，可将y＝f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变而得到．
1．(必修1P112A组第4题改编)甲、乙二人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B地．已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度．现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙的图象应该是( B )
A．甲是图①，乙是图②
B．甲是图①，乙是图④
C．甲是图③，乙是图②
D．甲是图③，乙是图④
解析：由题知速度v＝反映在图象上为某段图象所在直线的斜率．由题知甲骑自行车速度最大，跑步速度最小，甲与图①符合，乙与图④符合．
2．函数y＝logax与函数y＝logx的图象关于直线y＝0对称．
解析：y＝logx＝－logax，故两个函数图象关于x轴，即直线y＝0对称．
3．设f(x)＝2－x，g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y＝x对称，h(x)的图象由g(x)的图象向右平移1个单位得到，则h(x)＝－log2(x－1)．
解析：与f(x)的图象关于直线y＝x对称的图象所对应的函数为g(x)＝－log2x，再将其图象右移1个单位得到h(x)＝－log2(x－1)的图象．
4．作函数y＝elnx＋|x－1|的图象．
解：y＝其图象如图所示．
1．在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．
2．图象平移的规则
(1)对于左(右)平移变换，可熟记为：左加右减，但要注意加(减)指的是自变量．
(2)对于上(下)平移变换，可熟记为：上加下减，但要注意加(减)指的是函数值．
3．图象的伸缩变换中将y＝f(x)的图象上各点横坐标变为原来a(a>0)倍得到y＝f()，而不是y＝f(ax)的图象．
考向一 作函数的图象
【例1】 作出下列函数的图象．
(1)y＝.(2)y＝|x＋1|.
(3)y＝|log2x－1|.(4)y＝x2－2|x|－1.
【解】
(1)易知函数的定义域为{x∈R|x≠－1}．
y＝＝－1＋，因此由y＝的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度即可得到函数y＝的图象，如图(1)所示．
(2)先作出y＝x，x∈[0，＋∞)的图象，然后作其关于y轴的对称图象，再将整个图象向左平移1个单位长度，即得到y＝|x＋1|的图象，如图(2)所示．
(3)先作出y＝log2x的图象，再将图象向下平移1个单位长度，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方来，即得到y＝|log2x－1|的图象，如图(3)所示．
(4)y＝图象如图(4)所示．
将本例(3)改为y＝|x2－2x－1|，其图象怎样画出？
解：y＝画图，如图所示：
函数图象的画法
(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．
(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．
(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，可利用图象变换作出．
分别画出下列函数的图象：
(1)y＝|lgx|；(2)y＝sin|x|.
解：(1)∵y＝|lgx|＝
∴函数y＝|lgx|的图象，如图①.
(2)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sinx的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图②.
考向二 函数图象的识别
方向1 特殊点法
【例2】 函数f(x)＝x2－x的大致图象是( )
【解析】 由f(0)＝－1，得函数图象过点(0，－1)，可排除D，由f(－2)＝4－4＝0，f(－4)＝16－16＝0，得函数图象过点(－2,0)，(－4，0)，可排除A，C，故选B.
【答案】 B
方向2 函数性质检验法
【例3】 (2018·全国卷Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为( )
【解析】 易知所给函数为偶函数，当x＝0时，y＝2，则可以排除A，B选项．由y′＝－4x3＋2x＝－2x(2x2－1)＝0得x＝0或x＝±，则可得函数在(－∞，－)，(0，)上单调递增，在(－，0)，(，＋∞)上单调递减，可排除C选项，故选D.
【答案】 D
方向3 图象变换法
【例4】 已知函数f(x)＝logax(0<a<1)，则函数y＝f(|x|＋1)的图象大致为( )
【解析】 先作出函数f(x)＝logax(0<a<1)的图象，当x>0时，y＝f(|x|＋1)＝f(x＋1)，其图象由函数f(x)的图象向左平移1个单位得到，又函数y＝f(|x|＋1)为偶函数，所以再将函数y＝f(x＋1)(x>0)的图象关于y轴对称翻折到y轴左边，得到x<0时的图象，故选A.
【答案】 A
识图的三种常用方法
1．(方向1)函数y＝sinx的图象大致是( D )
解析：当x＝1时，y＝0，即函数图象过点(1,0)，由选项中图象可知，只有D符合．
2．(方向2)函数f(x)＝(－1)cosx的图象的大致形状是( B )
解析：∵f(x)＝(－1)cosx，∴f(－x)＝(－1)cos(－x)＝－(－1)cosx＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项A，C，又当x∈(0，)时，ex>e0＝1，－1<0，cosx>0，∴f(x)<0，可排除选项D，故选B.
3．(方向3)已知函数y＝是偶函数，f(x)＝logax的图象过点(2,1)，则y＝g(x)在(－∞，0)上对应的大致图象是( B )
解析：因为f(x)＝logax的图象过点(2,1)，且恒过点(1,0)，而y＝是偶函数，所以y＝g(x)在(－∞，0)上对应的图象和f(x)＝logax的图象关于y轴对称，所以y＝g(x)的图象过点(－2,1)和(－1,0)．观察图象只有B满足题意．
考向三 函数图象的应用
【例5】 (1)不等式3sinx－logx<0的整数解的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
(2)已知f(x)＝则函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点个数是________．
【解析】 (1)不等式3sinx－logx<0，即3sinx<logx.设f(x)＝3sinx，g(x)＝logx，在同一坐标系中分别作出函数f(x)与g(x)的图象，由图象可知，当x为整数3或7时，有f(x)<g(x)，所以不等式3sinx－logx<0的整数解的个数为2.
(2)方程2[f(x)]2－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝或1.作出函数y＝f(x)的图象如图，由图象知零点的个数为5.
【答案】 (1)A (2)5
1.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质单调性、奇偶性、周期性、最值值域、零点常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.
2.利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程fx＝gx的根就是函数fx与gx图象交点的横坐标；不等式fx<gx的解集是函数fx的图象位于gx图象下方的点的横坐标的集合，体现了数形结合思想.
(1)函数f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式<0的解集为∪.
(2)(2019·贵州省贵阳模拟)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是( A )
A．函数f(x)的图象关于点(1,2)对称
B．函数f(x)在(－∞，1)上是增函数
C．函数f(x)的图象上至少存在两点A，B，使得直线AB∥x轴
D．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称
解析：(1)在上，y＝cosx>0，在上，y＝cosx<0.由f(x)的图象知，在上，<0.因为f(x)为偶函数，y＝cosx也是偶函数，所以y＝为偶函数，所以<0的解集为∪.
(2)解法1：因为f(x)＝＝＋2，所以函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，排除B；画出函数f(x)的大致图象如图所示，结合图象排除C，D.
解法2：因为f(x)＋f(2－x)＝＋＝＋＝4，所以函数f(x)的图象关于点(1,2)对称．
