2020高考数学文科大一轮复习导学案：第三章三角函数、解三角形3.2

知识点一　同角三角函数基本关系式

1．平方关系：sin2α＋cos2α＝1，其等价形式为：sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.

2．商数关系：＝tanα，其等价形式为：sinα＝cosαtanα，cosα＝.

1．判断题

(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　×　)

(2)若α∈R，则tanα＝恒成立．(　×　)

2．(必修4P19例6改编)已知sinα＝，≤α≤π，则tanα＝(　D　)

A．－2   B．2

C.   D．－

解析：因为cosα＝－＝－＝－，

所以tanα＝＝－.

3．若tanα＝，则cos2α＋2sin2α＝(　A　)

A.   B.

C．1   D.

解析：解法1：由tanα＝＝，cos2α＋sin2α＝1，

得或则sin2α＝2sinαcosα＝，则cos2α＋2sin2α＝＋＝.

解法2：cos2α＋2sin2α＝

＝＝＝.

知识点二 　六组诱导公式

4．判断题

(1)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．(　×　)

(2)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍、偶数倍，变与不变指函数名称是否变化．(　√　)

5．(必修4P24例1改编)sin2 490°＝－；cos＝－.

解析：sin2 490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin30°＝－.

cos＝cos＝cos＝－cos＝－.

6．(必修4P27例4改编)化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为－sin2α.

解析：原式＝·(－sinα)·cos(－α)＝·(－sinα)·cosα＝·(－sinα)·cosα

＝－sin2α.

1．同角三角函数基本关系式的常用变形：

(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.

2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．

3．给角求值的基本原则：负化正，大化小，化到锐角为终了．　　　　　　　　　　　　　　

考向一　　同角三角函数的基本关系

【例1】　(1)已知x∈，tanx＝－，则cos等于(　　)

A.   B．－

C．－   D.

(2)(2019·江西重点中学一联)设0<α<π，且sin＝，则tan的值是(　　)

A.   B．－

C.   D．－

【解析】　(1)∵tanx＝＝－，∴cosx＝－sinx，∴sin2x＋cos2x＝sin2x＋sin2x＝sin2x＝1，∴sin2x＝.

又x∈，∴sinx＝，

∴cos＝cos＝－sinx＝－.

(2)∵0<α<π，且sin＝∈，

∴α＋∈，∴cos

＝－＝－，

则tan＝＝－.

【答案】　(1)C　(2)B

同角三角函数的基本关系式的功能是根据角的一个三角函数值求其他三角函数值，主要利用商数关系tanα＝\f(sinα,cosα)和平方关系1＝sin2α＋cos2α.

已知α是第四象限角，sinα＝－，则tanα等于(　C　)

A．－   B.

C．－   D.

解析：因为α是第四象限角，sinα＝－，所以cosα＝＝，故tanα＝＝－.

考向二　诱导公式的应用

【例2】　(1)(2019·聊城模拟)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，则等于(　　)

A．－   B.

C．0   D.

(2)已知cos＝a，则cos＋sin

的值是________．

【解析】　(1)由题可知tanθ＝3，

原式＝＝＝.

(2)因为cos＝cos

＝－cos＝－a.

sin＝sin＝cos＝a，

所以cos＋sin＝0.

【答案】　(1)B　(2)0

1．若本例(1)的条件3x－y＝0改为4x＋3y＝0，则＝.

解析：由题可知tanθ＝－，

原式＝

＝＝

＝＝＝.

2．若本例(2)的条件cos＝a改为sin＝a，则cos＝－a.

解析：cos＝cos

＝－sin＝－a.

(1)(2019·山东寿光一模)若角α的终边过点A(2,1)，则sin＝(　A　)

A．－   B．－

C.  D.

(2)(2019·河北衡水中学调研)若cos＝，则cos(π－2α)＝(　D　)

A.   B.

C．－   D．－

(3)在推导等差数列前n项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可求得sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝.

解析：(1)根据三角函数的定义可知cosα＝＝，则sin＝－cosα＝－，故选A.

(2)由cos＝，得sinα＝.

∴cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝2sin2α－1＝2×－1＝－，故选D.

(3)令S＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°　①，

S＝sin289°＋sin288°＋sin287°＋…＋sin21°　②，

则①＋②得2S＝89，S＝.

考向三　　　　

方向1　整体代换

【例3】　若tanα＝2，则＋cos2α＝(　　)

A.   B．－

C.   D．－

【解析】　＋cos2α

＝＋

＝＋＝.

【答案】　A

方向2　sinα±cosα与sinαcosα的关系

【例4】　(2019·长沙模拟)已知－π<x<0，sin(π＋x)－cosx＝－，则sinx－cosx＝(　　)

A．－  B.

C.   D．－

【解析】　由已知，得sinx＋cosx＝，

sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝，

整理得2sinxcosx＝－.

因为(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝.

由－π<x<0，知sinx<0，

又sinx＋cosx>0，所以cosx>0，sinx－cosx<0，

故sinx－cosx＝－.

【答案】　A

方向3　综合应用

【例5】　(2019·唐山模拟)已知角θ的终边在第三象限，tan2θ＝－2，则sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－cos2θ等于(　　)

A．－   B.

C．－   D.

【解析】　由tan2θ＝－2可得tan2θ＝

＝－2，即tan2θ－tanθ－＝0，

解得tanθ＝或tanθ＝－.

又角θ的终边在第三象限，故tanθ＝，

故sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－cos2θ

＝sin2θ＋sinθcosθ－cos2θ

＝

＝＝＝.

【答案】　D

1.对于含有sin2x，cos2x，sinxcosx的三角函数求值题，一般可以考虑添加分母1，再将1用“sin2x＋cos2x”代替，然后用分子分母同除以角的余弦的平方的方式将其转化为关于tanα的式子，从而求解.

2.对于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα这三个式子，利用sinα±cosα2＝1±2sinαcosα可以达到转换、知一求二的目的.

1．(方向1)(2019·沈阳市质量监测)已知tanθ＝2，则＋sin2θ的值为(　C　)

A.   B.

C.   D.

解析：解法1：原式＝＋sin2θ＝＋＝＋，将tanθ＝2代入，得原式＝，故选C.

解法2：在平面直角坐标系xOy中，tanθ＝2＝，不妨设θ为锐角，角θ的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上取点P(1,2)，则|OP|＝，由三角函数的定义，得sinθ＝，cosθ＝，所以＋sin2θ＝＋()2＝，故选C.

2．(方向2)已知sinαcosα＝，且<α<，则cosα－sinα的值为(　B　)

A．－   B.

C．－   D.

解析：∵<α<，

∴cosα<0，sinα<0且cosα>sinα，

∴cosα－sinα>0.

又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，

∴cosα－sinα＝.

3．(方向3)若tanα＝cosα，则＋cos4α＝2.

解析：tanα＝cosα⇒＝cosα⇒sinα＝cos2α，故＋cos4α＝＋cos4α＝sinα＋＋cos4α＝sinα＋＋sin2α＝sin2α＋sinα＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝1＋1＝2.