2020高考数学文科大一轮复习导学案：第七章立体几何7.2

 知识点一　　空间几何体的表面积 1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式2.多面体的侧面积和表面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面积的和．　　　　　　　　　　　　　　1．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是(　A　)A．12＋2＋2B．12＋＋2C．12＋2＋D．12＋＋解析：由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝2，AD＝4，BC＝2，经计算，PD＝2，PC＝2，DC＝2，所以PC⊥CD，所以S△PAB＝×2×2＝2，S△PAD＝×2×4＝4，S△PBC＝×2×2＝2，S△PCD＝×2×2＝2，S四边形ABCD＝×(2＋4)×2＝6，所以S表＝12＋2＋2.2．(必修2P36A组第10题改编)一直角三角形的三边长分别为6 cm，8 cm, 10 cm，绕斜边旋转一周所得几何体的表面积为π cm2.解析：旋转一周所得几何体为以 cm为半径的两个同底面的圆锥，其表面积为S＝π××6＋π××8＝π(cm2)．知识点二　　空间几何体的体积 1．柱体：V＝Sh；2．棱锥：V＝Sh；3．棱台：V＝h(S上＋S下＋)；4．球：V＝πR3.3．(2019·河北名校联考)某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是(　C　)A．13  B．14C．15  D．16解析：所求几何体可看作是将长方体截去两个三棱柱得到的几何体，在长方体中还原该几何体，如图中ABCD­A′B′C′D′所示，长方体的长、宽、高分别为4,2,3，两个三棱柱的高为2，底面是两直角边长分别为3和1.5的直角三角形，故该几何体的体积V＝4×2×3－2××3××2＝15.4．(2019·武汉市调研考试)已知A，B，C，D是球O上不共面的四点，且AB＝BC＝AD＝1，BD＝AC＝，BC⊥AD，则球O的体积为(　A　)A.π   B.πC．2π   D．4π解析：由题，AB＝BC＝1，AC＝，所以AB2＋BC2＝AC2，所以∠CBA＝，即BC⊥AB，又BC⊥AD，所以BC⊥平面ABD，因为AB＝AD＝1，BD＝，所以AB2＋AD2＝BD2，所以AB⊥AD，此时可将点A，B，C，D看成棱长为1的正方体上的四个顶点，球O为正方体的外接球，设球O的半径为R，故2R＝，所以R＝，则球O的体积V＝πR3＝π，故选A.1．空间几何体的表面积求空间几何体的表面积，就是求其展开图的面积．2．与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．3．几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.　　　　　　　　　　　　　　 考向一　　空间几何体的表面积 【例1】　(1)(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为(　　)A.   B.C.   D.(2)(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为.SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为________．【解析】　(1)记该正方体为ABCD­A′B′C′D′，正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，即共点的三条棱A′A，A′B′，A′D′与平面α所成的角都相等．如图，连接AB′，AD′，B′D′，因为三棱锥A′­AB′D′是正三棱锥，所以A′A，A′B′，A′D′与平面AB′D′所成的角都相等．分别取C′D′，B′C′，BB′，AB，AD，DD′的中点E，F，G，H，I，J，连接EF，FG，GH，IH，IJ，JE，易得E，F，G，H，I，J六点共面，平面EFGHIJ与平面AB′D′平行，且截正方体所得截面的面积最大．又EF＝FG＝GH＝IH＝IJ＝JE＝，所以该正六边形的面积为6××()2＝，所以α截此正方体所得截面面积的最大值为，故选A.(2)如图所示，设S在底面的射影为S′，连接AS′，SS′.△SAB的面积为·SA·SB·sin∠ASB＝·SA2·＝·SA2＝5，∴SA2＝80，SA＝4.∵SA与底面所成的角为45°，∴∠SAS′＝45°，AS′＝SA·cos45°＝4×＝2.∴底面周长l＝2π·AS′＝4π，∴圆锥的侧面积为×4×4π＝40π.【答案】　(1)A　(2)40π1多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.2旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是(　C　)A．2＋   B．4＋C．2＋2   D．5解析：还原几何体如图所示，S△BCD＝BC·DE＝×2×2＝2，S△ACD＝S△ABD＝××1＝，S△ABC＝BC·AE＝×2×＝，所以表面积为2＋2.考向二　　空间几何体的体积 方向1　根据三视图求体积【例2】　如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为(　　)A．15　　　　B．16　　　　C.　　　　D.【解析】　由三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面，高为5的四棱锥P­A1D1FE，其体积V＝××5＝.【答案】　C方向2　求简单几何体的体积【例3】　(2019·广州调研)已知E，F分别是棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，则四棱锥C1­B1EDF的体积为________．【解析】　解法1：如图所示，连接A1C1，B1D1交于点O1，连接B1D，EF，过点O1作O1H⊥B1D于点H.因为EF∥A1C1，且A1C1⊄平面B1EDF，EF⊂平面B1EDF，所以A1C1∥平面B1EDF.所以C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离．易知平面B1D1D⊥平面B1EDF，又平面B1D1D∩平面B1EDF＝B1D，所以O1H⊥平面B1EDF，所以O1H等于四棱锥C1­B1EDF的高．因为△B1O1H∽△B1DD1，所以O1H＝＝a.【答案】　a3方向3　利用体积法求点面距离【例4】　如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥底面ABCD，M，N分别为AB，PC的中点，PD＝AD＝2，AB＝4.则点A到平面PMN的距离为________．【解析】　取PD的中点E，连接AE，NE，因为四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，M，N分别为AB，PC的中点，所以NE∥AM，NE＝AM，所以四边形AENM是平行四边形，所以AE∥MN，所以点A到平面PMN的距离等于点E到平面PMN的距离，设为h，在△PMN中，PN＝，PM＝2，MN＝，所以S△PMN＝×2×＝，由VE­PMN＝VM­PEN，可得×h＝××1×2×2，所以h＝.【答案】　　　空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．1．(方向1)(2019·洛阳市第一次统考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(　B　)A.　　　B．8π　　　C.　　　D．9π解析：依题意，题中的几何体是由两个完全相同的圆柱各自用一个不平行于其轴的平面去截后所得的部分拼接而成的组合体(各自截后所得的部分也完全相同)，其中一个截后所得的部分的底面半径为1，最短母线长为3、最长母线长为5，将这两个截后所得的部分拼接，恰好可以形成一个底面半径为1，母线长为5＋3＝8的圆柱，因此题中的几何体的体积为π×12×8＝8π，故选B.2．(方向2)《九章算术》中，将如图所示的几何体称为刍甍，底面ABCD为矩形，且EF∥底面ABCD，EF到平面ABCD的距离为h，BC＝a，AB＝b，EF＝c，则＝2时，＝(　A　)A．1   B.C.   D.解析：由题意可得：VE­ABD＝VF­BCD＝×a·b·h＝abh，＝，所以VB­DEF＝ach，VB­CDEF＝VB­DEF＋VB­CDF＝(c＋b)ah，＝＝2，所以c＝b，＝1.3．(方向3)(2019·昆明市调研测试)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝1，则点B到平面D1AC的距离等于(　B　)A.   B.C．1   D.解析：如图，连接BD1，易知D1D就是三棱锥D1­ABC的高，AD1＝CD1＝，取AC的中点O，连接D1O，则D1O⊥AC，所以D1O＝＝.考向三　　球的接、切问题 【例5】　(2019·成都诊断性检测)在三棱锥P­ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝60°，PA＝2，AB＝AC＝，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为(　　)A.   B.C．8π   D．12π【解析】　易知△ABC是等边三角形．如图，作OM⊥平面ABC，其中M为△ABC的中心，且点O满足OM＝PA＝1，则点O为三棱锥P­ABC外接球的球心．于是，该外接球的半径R＝OA＝＝＝.故该球的表面积S＝4πR2＝8π，故选C.【答案】　C　　立体几何中球的接、切问题常用的解题策略有：①通过构造特殊几何体，巧妙分析；②通过解直角三角形，巧妙分析；③借助直角三角形的斜边中点到各顶点的距离相等，巧妙分析；④借助几何体的底面多边形的外接圆，巧妙分析． (1)如图，正方形网格的边长为1，粗实线表示的是某几何体的三视图，该几何体的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为(　C　)A．15π  B．16πC．17π  D．18π(2)(2019·西安八校联考)在平行四边形ABCD中，∠ABD＝90°，且AB＝1，BD＝，若将其沿BD折起使平面ABD⊥平面BCD，则三棱锥A­BDC的外接球的表面积为(　D　)A．2π   B．8πC．16π   D．4π解析：(1)根据三视图可知该几何体为一个三棱锥，记为S­ABC，将该三棱锥放入长方体中如图所示，则该三棱锥的外接球直径为长方体的体对角线，设球O的半径为R，所以(2R)2＝22＋22＋32＝17，R2＝，所以球O的表面积4πR2＝17π.(2)画出对应的平面图形和立体图形，如图所示．在立体图形中，设AC的中点为O，连接OB，OD，因为平面ABD⊥平面BCD，CD⊥BD，所以CD⊥平面ABD，又AB⊥BD，所以AB⊥平面BCD，所以△CDA与△CBA都是以AC为斜边的直角三角形，所以OA＝OC＝OB＝OD，所以点O为三棱锥A­BDC的外接球的球心．于是，外接球的半径r＝AC＝＝＝1.故外接球的表面积S＝4πr2＝4π.故选D.