2020高考数学文科大一轮复习导学案：第七章立体几何7.5

 知识点一  直线与平面垂直 1．直线与平面垂直(1)定义：若直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．(2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)．即：a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝P⇒l⊥α.(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．即：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.2．直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角．(2)线面角θ的范围：θ∈.1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　×　)(2)垂直于同一个平面的两平面平行．(　×　)(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(　×　)(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(　×　)解析：(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则有l⊥α或l与α斜交或l⊂α或l∥α，故(1)错误．(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误．(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误．(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的所有直线，则α⊥β，故(4)错误．2．(必修2P73A组T1改编)下列命题中不正确的是(　A　)A．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ解析：根据面面垂直的性质，A不正确，直线l∥平面β或l⊂β或直线l与β相交．3．(2018·全国卷Ⅰ)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为(　C　)A．8   B．6C．8   D．8解析：连接BC1，因为AB⊥平面BB1C1C，所以∠AC1B＝30°，AB⊥BC1，所以△ABC1为直角三角形．又AB＝2，所以BC1＝2.又B1C1＝2，所以BB1＝＝2，故该长方体的体积V＝2×2×2＝8.知识点二  二面角的有关概念 1．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．2．平面与平面垂直的判定定理4．已知直线a和平面α，β，若α⊥β，a⊥β，则a与α的位置关系为a∥α或a⊂α. 解析：当a⊂α且a垂直于α，β的交线时，满足已知条件；若a⊄α，则a∥α.故得a与α的位置关系为a∥α或a⊂α.5．如图，在三棱锥D­ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的有③(填序号)．①平面ABC⊥平面ABD；②平面ABD⊥平面BCD；③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE；④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.解析：因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故只有③正确．1．两个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．2．使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”．3．线线、线面、面面垂直间的转化　　　　　　　　　　　　　　考向一  直线与平面垂直的判定与性质 【例1】　(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P­ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．【解】　(1)证明：因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2.连接OB.因为AB＝BC＝AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC.(2)作CH⊥OM，垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC＝AC＝2，CM＝BC＝，∠ACB＝45°.所以OM＝，CH＝＝.所以点C到平面POM的距离为.  证明线面垂直的4种方法(1)线面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α.(2)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.(3)性质：①a∥b，b⊥α⇒a⊥α，②α∥β，a⊥β⇒a⊥α.(4)α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l⇒l⊥γ.(客观题可用)  如图，在三棱锥A­BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.证明：(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.考向二  平面与平面垂直的判定与性质 【例2】　(2018·江苏卷)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求证：(1)AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.【证明】　(1)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B.又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.又因为A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.  1证明两平面垂直常转化为线面垂直，利用判定定理来证明.也可作出二面角的平面角，证明平面角为直角，利用定义来证明.2已知两个平面垂直时，过其中一个平面内的一点作交线的垂线，则由面面垂直的性质定理可得此直线垂直于另一个平面，于是面面垂直转化为线面垂直，由此得出结论：两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面.  如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明：(1)在直三棱柱ABC­A1B1C1中，A1C1∥AC.在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.又DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC­A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.又A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.又B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.因为直线B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.考向三  直线与平面所成的角 【例3】　如图，在四棱锥P­ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值．(2)求证：PD⊥平面PBC.(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．【解】　(1)因为AD∥BC，所以∠DAP或其补角就是异面直线AP与BC所成的角，因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD，在Rt△PDA中，AP＝＝，所以cos∠DAP＝＝，所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为.(2)证明：因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD，又因为AD∥BC，PD⊥BC，又PD⊥PB，BC∩PB＝B，所以PD⊥平面PBC.(3)过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1，由已知，得CF＝BC－BF＝2.又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得DF＝＝2.在Rt△DPF中，sin∠DFP＝＝.所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.  求直线和平面所成角的步骤(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线．(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角．(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．  如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为.解析：连接A1C1，则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成的角，因为AB＝BC＝2，所以A1C1＝AC＝2，又AA1＝1，所以AC1＝3，所以sin∠AC1A1＝＝.考向四  线面垂直关系的综合应用 【例4】　(2019·广州综合测试)如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A­BCF，其中BC＝.(1)求证：DE∥平面BCF；(2)求证：CF⊥平面ABF；(3)当AD＝时，求三棱锥F­DEG的体积．【解】　(1)证明：在折叠后的图形中，因为AB＝AC，AD＝AE，所以＝，所以DE∥BC.因为DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，所以DE∥平面BCF.(2)证明：在折叠前的图形中，因为△ABC为等边三角形，BF＝CF，所以AF⊥BC，则在折叠后的图形中，AF⊥BF，AF⊥CF.又BF＝CF＝，BC＝，所以BC2＝BF2＋CF2，所以BF⊥CF.又BF∩AF＝F，BF⊂平面ABF，AF⊂平面ABF，所以CF⊥平面ABF.(3)由(1)知，平面DEG∥平面BCF，由(2)知，AF⊥BF，AF⊥CF，又BF∩CF＝F，所以AF⊥平面BCF，所以AF⊥平面DEG，即GF⊥平面DEG.在折叠前的图形中，AB＝1，BF＝CF＝，AF＝.由AD＝，知＝，又DG∥BF，所以＝＝＝，所以DG＝EG＝×＝，AG＝×＝，所以FG＝AF－AG＝.故三棱锥F­DEG的体积V＝S△DEG·FG＝××2×＝.  平面图形翻折为空间图形问题的解题关键是看翻折前后线面位置关系的变化，根据翻折的过程找到翻折前后线线位置关系中没有变化的量和发生变化的量，这些不变的和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征．  (2019·合肥二检)如图1，在平面五边形ABCDE中，AB∥CE，且AE＝2，∠AEC＝60°，CD＝ED＝，cos∠EDC＝.将△CDE沿CE折起，使点D到P的位置，且AP＝，得到如图2所示的四棱锥P­ABCE.(1)求证：AP⊥平面ABCE；(2)记平面PAB与平面PCE相交于直线l，求证：AB∥l.证明：(1)在△CDE中，∵CD＝ED＝，cos∠EDC＝，由余弦定理得CE＝2.连接AC，∵AE＝2，∠AEC＝60°，∴AC＝2.又AP＝，∴在△PAE中，PA2＋AE2＝PE2，即AP⊥AE.同理，AP⊥AC.∵AC∩AE＝A，AC⊂平面ABCE，AE⊂平面ABCE，∴AP⊥平面ABCE.(2)∵AB∥CE，且CE⊂平面PCE，AB⊄平面PCE，∴AB∥平面PCE.又平面PAB∩平面PCE＝l，∴AB∥l.