2020高考数学理科大一轮复习导学案：第二章函数、导数及其应用2.12

　 知识点一　　定积分的概念与性质 1．定积分的概念在f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，_f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，_f(x)dx叫做被积式．2．定积分的性质(1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)；(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a<c<b)．1．判断正误(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)dx＝f(t)dt.(　√　)(2)定积分一定是曲边梯形的面积．(　×　)(3)微积分基本定理中F(x)是唯一的．(　×　)解析：(1)正确．(2)错误．当f(x)≥0时，S＝f(x)dx.(3)错误．有无穷多个．知识点二　　微积分基本定理 一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且f′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．为了方便，常把F(b)－F(a)记作F(x) ，即f(x)dx＝F(x) ＝F(b)－F(a)．2．定积分 (2x＋ex)dx的值为(　C　)A．e＋2   B．e＋1C．e   D．e－1解析：因为(x2＋ex)′＝2x＋ex，所以 (2x＋ex)dx＝(x2＋ex) ＝(1＋e1)－(0＋e0)＝e.3．(选修2－2P50习题1.5A组第5题改编)定积分|x|dx＝(　A　)A．1   B．2C．3   D．4解析：|x|dx＝－xdx＋xdx＝20xdx＝x2＝1.故选A.知识点三　　定积分的几何意义 1．定积分与曲边梯形的面积定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来定：设阴影部分面积为S.①S＝f(x)dx；②S＝－f(x)dx；③S＝f(x)dx－f(x)dx；④S＝f(x)dx－g(x)dx＝[f(x)－g(x)]dx.2．匀变速运动的路程公式作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝v(t)dt.4．由曲线y＝x2－1，直线x＝0，x＝2和x轴围成的封闭图形(如图所示)的面积可表示为(　B　)A． (x2－1)dxB．|x2－1|dxC．| (x2－1)dx|D． (x2－1)dx＋(x2－1)dx解析：曲线y＝x2－1，直线x＝0，x＝2和x轴围成的封闭图形的面积可表示为|x2－1|dx.5．曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为.解析：曲线y＝x2与y＝x的交点为(0,0)，(1,1)，则两图形围成的封闭图形的面积为 (x－x2)dx＝＝.6．汽车以v＝(3t＋2)m/s作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间的1 s内经过的路程是 m.解析：s＝(3t＋2)dt＝＝×4＋4－＝10－＝(m)．1．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．2．若函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有(1)若f(x)为偶函数，则f(x)dx＝20f(x)dx.(2)若f(x)为奇函数，则f(x)dx＝0.　 考向一　　　定积分的计算 【例1】　(1)(2019·四川凉山州诊断)dx＝(　　)A．e2   B.C.   D.(2)(2019·河南新乡一中月考) |sinx－cosx|dx＝(　　)A．2＋2   B．2－C．2   D．2【解析】　(1)dx＝x2＋lnx＝e2＋lne－×12－ln1＝.故选B.(2) |sinx－cosx|dx＝ (cosx－sinx)dx＋ (sinx－cosx)dx＝(sinx＋cosx) ＋(－cosx－sinx) ＝2.故选D.【答案】　(1)B　(2)D 　　利用微积分基本定理求定积分的步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差．(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分．(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数．(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值．(5)计算原始定积分的值．(1) e|x|dx的值为(　C　)A．2   B．2eC．2e－2   D．2e＋2(2)已知a＝2sincosdx，则a＝2.(3)dx＝ln2＋.解析：(1) e|x|dx＝e－xdx＋exdx＝－e－x＋ex＝[－e0－(－e)]＋(e－e0)＝－1＋e＋e－1＝2e－2，故选C.(2)a＝2sincosdx＝sinxdx＝－cosx＝－(cosπ－cos0)＝2.(3)dx＝＝ln2＋－＝ln2＋.考向二　　　定积分的几何意义 【例2】　利用定积分的几何意义计算下列定积分：(1) dx；(2)  (3x3＋4sinx)dx.【解】　(1)根据定积分的几何意义，可知dx表示的是圆(x－1)2＋y2＝1的面积的(如图所示的阴影部分)．故dx＝.(2)  (3x3＋4sinx)dx表示直线x＝－5，x＝5，y＝0和曲线y＝3x3＋4sinx所围成的曲边梯形面积的代数和，且在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号．设y＝f(x)＝3x3＋4sinx，则f(－x)＝3(－x)3＋4sin(－x)＝－(3x3＋4sinx)＝－f(x)，又f(0)＝0，所以f(x)＝3x3＋4sinx在[－5,5]上是奇函数，所以 (3x3＋4sinx)dx＝－ (3x3＋4sinx)dx，所以 (3x3＋4sinx)dx＝ (3x3＋4sinx)dx＋ (3x3＋4sinx)dx＝0.　根据定积分的几何意义可利用面积求解定积分.画出被积函数的图形，结合上、下限求出面积，即可得到定积分的值.(1)计算：dx＝π.(2)若dx＝，则m＝－1.解析：(1)由定积分的几何意义知，dx表示圆(x－1)2＋y2＝4和x＝1，x＝3，y＝0围成的图形的面积，∴dx＝×π×4＝π.(2)根据定积分的几何意义dx表示圆(x＋1)2＋y2＝1和直线x＝－2，x＝m和y＝0围成的图形的面积，又dx＝为四分之一圆的面积，结合图形知m＝－1.考向三　　定积分的应用 方向1　定积分在平面几何中的应用【例3】　由曲线y＝x2，y＝围成的封闭图形的面积为(　　)A.   B.C.   D．1【解析】　由题意可知所求面积(如图阴影部分的面积)为 (－x2)dx＝＝.【答案】　B1．若本例中“y＝x2”改为“y＝－x＋2”，求曲线y＝－x＋2，y＝与x轴所围成的面积．解：如图所示，由y＝及y＝－x＋2可得交点横坐标为x＝1.由定积分的几何意义可知，由y＝，y＝－x＋2及x轴所围成的封闭图形的面积为dx＋ (－x＋2)dx＝x＋＝.2．若本例变为：求曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积．解：如图所示，由得交点A(1,1)．由得交点B(3，－1)．故所求面积S＝dx＋dx＝＋＝＋＋＝.方向2　定积分在物理中的应用【例4】　汽车以72 km/h的速度行驶，由于遇到紧急情况而刹车，汽车以等减速度a＝4 m/s2刹车，则汽车从开始刹车到停止走的距离为________m.【解析】　先求从刹车到停车所用的时间t，当t＝0时，v0＝72 km/h＝20 m/s，刹车后，汽车减速行驶，速度为v(t)＝v0－at＝20－4t.令v(t)＝0，可得t＝5 s.所以汽车从刹车到停车，所走过的路程为： (20－4t)dt＝(20t－2t2) ＝50(m)．即汽车从开始刹车到停止，共走了50 m.【答案】　50 1.求曲边图形的面积的4步骤1根据题意画出图形；2借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；3把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；4计算定积分，写出答案.,求解时，注意要把定积分与利用定积分计算图形面积区别开：定积分是一个数值极限值，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正.1．(方向1)(2019·新疆适应性检测)由曲线y＝x2＋1，直线y＝－x＋3，x轴正半轴与y轴正半轴所围成图形的面积为(　B　)A．3   B.C.   D.解析：由题可知题中所围成的图形如图中阴影部分所示，由解得(舍去)或即A(1,2)，结合图形可知，所求的面积为 (x2＋1)dx＋×22＝＋2＝.2．(方向2)一物体按规律x＝bt3做直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方(比例系数为k，k>0)，则物体由x＝0运动到x＝a，阻力所做的功为k.解析：物体的速度v＝＝(bt3)′＝3bt2.媒质的阻力F阻＝kv2＝k(3bt2)2＝9kb2t4.当x＝0时，t＝0；当x＝a时，t＝t1＝，又dx＝vdt，故阻力所做的功为W阻＝F阻dx＝kv2·vdt＝kv3dt＝k (3bt2)3dt＝kb3t＝k.