2020高考数学理科大一轮复习导学案：第三章三角函数、解三角形3.5


　

知识点一　 周期函数与最小正周期
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，则称f(x)为周期函数，T为它的一个周期．若在所有周期中，有一个最小的正数，则这个最小的正数叫做f(x)的最小正周期．

1．(必修4P35例2改编)函数f(x)＝cos的最小正周期是π.
2．函数f(x)＝(sinx＋cosx)(cosx－sinx)的最小正周期是(　B　)
A.　　　　B．π　　　　C.　　　　D．2π
解析：解法1：由题意得f(x)＝3sinxcosx－sin2x＋cos2x－sinxcosx＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)．故该函数的最小正周期T＝＝π.故选B.
解法2：由题意得f(x)＝2sin×2cos＝2sin，故该函数的最小正周期T＝＝π，故选B.
知识点二　　　正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
图象






3．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y＝sinx在第一、第四象限是增函数．(　×　)
(2)由sin＝sin知，是正弦函数y＝sinx(x∈R)的一个周期．(　×　)
(3)正切函数y＝tanx在定义域内是增函数．(　×　)
(4)已知y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　×　)
(5)y＝sin|x|是偶函数．(　√　)
4．(必修4P40第4题改编)函数y＝4sinx，x∈[－π，π]的单调性是(　B　)
A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
B．在上是增函数，在和上都是减函数
C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数
D．在∪上是增函数，在上是减函数
解析：由函数y＝4sinx，x∈[－π，π]的图象可知，
该函数在上是增函数，
在和上是减函数．
5．(必修4P40练习第3(2)题改编)函数f(x)＝4－2cosx的最小值是2，取得最小值时，x的取值集合为{x|x＝6kπ，k∈Z}．
解析：f(x)min＝4－2＝2，此时，x＝2kπ(k∈Z)，x＝6kπ(k∈Z)，所以x的取值集合为{x|x＝6kπ，k∈Z}．

1．对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
2．单调性
求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω>0时，才能把ωx＋φ看作一个整体，代入y＝sint的相应单调区间求解，否则将出现错误．
3．奇偶性
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则：
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
　
考向一　　三角函数的定义域与值域
【例1】　(1)函数y＝的定义域为________．
(2)函数f(x)＝3sin在区间上的值域为________．
(3)函数f(x)＝sin2x＋cosx－的最大值是________．
【解析】　(1)要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示．

在[0,2π]内，满足sinx＝cosx的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为
.
(2)当x∈时，
2x－∈，
sin∈，
故3sin∈，
即此时函数f(x)的值域是.
(3)f(x)＝1－cos2x＋cosx－
＝－cos2x＋cosx＋
＝－2＋1，
因为x∈，
所以cosx∈[0,1]，
所以当cosx＝时，
函数取得最大值1.
【答案】　(1)(k∈Z)
(2)　(3)1

本例(3)中将x的取值范围变为x∈[π，2π]呢？
解：x∈[π，2π]，cosx∈[－1,1]，所以当cosx＝时，函数f(x)取最大值1.
　
(1)三角函数定义域的求法,求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.
(2)三角函数值域的求法
①利用sinx和cosx的值域直接求；
②把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)的形式求值域.

(1)函数y＝lgsinx＋的定义域为x2kπ0)的三角函数问题的关键.具体问题中，首先将“ωx＋φ”看作一个整体，然后活用相关三角函数的图象与性质求解.

1．(方向1)(2018·天津卷)将函数y＝sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(　A　)
A．在区间[，]上单调递增
B．在区间[，π]上单调递减
C．在区间[，]上单调递增
D．在区间[，2π]上单调递减
解析：把函数y＝sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度得函数g(x)＝sin[2(x－)＋]＝sin2x的图象，由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，令k＝1，得≤x≤，即函数g(x)＝sin2x的一个单调递增区间为[，]，故选A.
2．(方向2)若函数f(x)＝sinωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝.
解析：∵f(x)＝sinωx(ω>0)过原点，
∴当0≤ωx≤，即0≤x≤时，
y＝sinωx是增函数；
当≤ωx≤，即≤x≤时，y＝sinωx是减函数．
由f(x)＝sinωx(ω>0)在上单调递增，在上单调递减知，＝，∴ω＝.
考向三　　三角函数的奇偶性、周期性、对称性
方向1　三角函数的奇偶性
【例4】　(2019·广州高三调研测试)将函数y＝2sin(x＋)sin(－x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的函数恰为奇函数，则φ的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　由y＝2sin(x＋)sin(－x)可得y＝2sin(x＋)cos(x＋)＝sin(2x＋)，该函数的图象向左平移φ个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为g(x)＝sin[2(x＋φ)＋]＝sin(2x＋2φ＋)，因为g(x)＝sin(2x＋2φ＋)为奇函数，所以2φ＋＝kπ(k∈Z)，φ＝－(k∈Z)，又φ>0，故φ的最小值为，故选A.
【答案】　A
方向2　三角函数的周期性
【例5】　在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为(　　)
A．①②③ B．①③④
C．②④ D．①③
【解析】　①y＝cos|2x|＝cos2x，最小正周期为π；
②由图象知y＝|cosx|的最小正周期为π；
③y＝cos的最小正周期T＝＝π；
④y＝tan的最小正周期T＝，故选A.
【答案】　A
方向3　三角函数的对称性
【例6】　(1)若函数y＝cos(ω∈N*)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
(2)函数f(x)＝sin图象的一条对称轴是(　　)
A．x＝ B．x＝
C．x＝－ D．x＝－
【解析】　(1)由题知＋＝kπ＋(k∈Z)，则ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N*，所以ωmin＝2，故选B.
(2)∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高(低)点，故令x－＝kπ＋，k∈Z，
∴x＝kπ＋，k∈Z.结合选项可知，当k＝－1时，
x＝－是函数图象的一条对称轴．
【答案】　(1)B　(2)C


(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．
(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解．
(3)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．

1．(方向2)已知点P(4，－3)在角φ的终边上，函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)图象上两个相邻对称中心间的距离为，则f()的值为(　C　)
A. B．－
C. D．－
解析：由题意得，T＝，即T＝π，所以ω＝＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)．由三角函数的定义可得sinφ＝－，cosφ＝.所以f()＝sin(2×＋φ)＝sincosφ＋cossinφ＝×＋×(－)＝.故选C.
2．(方向1)(2019·银川模拟)函数f(x)＝3sin，φ∈(0，π)满足f(|x|)＝f(x)，则φ的值为.
解析：由题意知f(x)为偶函数，关于y轴对称，
∴f(0)＝3sin＝±3，
∴φ－＝kπ＋，k∈Z，
又00，解得00，x∈R)，若f(x)在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是(　　)
A．(0，] B．(0，]∪[，1)
C．(0，] D．(0，]∪[，]
【解析】　f(x)＝(1－cosωx)＋sinωx－
＝sinωx－cosωx＝sin(ωx－)．
令f(x)＝0，得ωx－＝kπ，k∈Z，解得x＝(kπ＋)，于是f(x)≠0的解的集合是，k∈Z.
因为f(x)在区间(π，2π)内没有零点，所以(π，2π)⊆，则有
(kπ＋)≤π，(kπ＋)≥2π，
解得k＋≤ω≤＋.
又因为ω>0，所以有k＋≤＋，＋>0，
解得－0，所以0