2020高考数学理科大一轮复习导学案：第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4-4.1

选修4－4　坐标系与参数方程　　　　

　

知识点一　　　　平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．

1．(选修4－4P4例题改编)设平面内伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sinx的方程变为 y＝3sin2x.
解析：由已知得代入y＝sinx，得y′＝sin2x′，即y′＝3sin2x′，所以y＝sinx的方程变为y＝3sin2x.
知识点二　　　　极坐标系
1．极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，叫做极点，从O点引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．
如图，设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记为ρ，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．

2．极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝　ρcosθ，y＝　ρsinθ.另一种关系为ρ2＝__x2＋y2，tanθ＝.

2．(选修4－4P11例4改编)点P的直角坐标为(1，－)，则点P的极坐标为.
解析：因为点P(1，－)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为－，所以点P的极坐标为.
3．(选修4－4P15T3)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为(　A　)
A．ρ＝，0≤θ≤
B．ρ＝，0≤θ≤
C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤
D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤
解析：A　∵y＝1－x(0≤x≤1)，
∴ρsinθ＝1－ρcosθ(0≤ρcosθ≤1,0≤ρsinθ≤1)；
∴ρ＝.
知识点三,　　　　常见曲线的极坐标方程



4．(选修4－4P15T4)在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是(　B　)
A. B.
C．(1,0) D．(1，π)

解析：方法1：由ρ＝－2sinθ，得ρ2＝－2ρsinθ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为.
方法2：由ρ＝－2sinθ＝2cos，知圆心的极坐标为，故选B.
5．在极坐标系中，已知点P，则过点P且平行于极轴的直线方程是(　A　)
A．ρsinθ＝1 B．ρsinθ＝
C．ρcosθ＝1 D．ρcosθ＝
解析：先将极坐标化成直角坐标表示，P2，转化为直角坐标为x＝ρcosθ＝2cos＝，y＝ρsinθ＝2sin＝1，即(，1)，过点(，1)且平行于x轴的直线为y＝1，再化为极坐标为ρsinθ＝1.
6．在极坐标系中，圆ρ＝8sinθ上的点到直线θ＝(ρ∈R)距离的最大值是6.
解析：圆ρ＝8sinθ化为直角坐标方程为x2＋y2＝8y，即x2＋(y－4)2＝16，直线θ＝(ρ∈R)化为直角坐标方程为y＝x.圆心(0,4)到直线x－y＝0的距离d＝＝2.又圆的半径为4，故圆上的点到直线距离的最大值是2＋4＝6.

1．明辨两个坐标
伸缩变换关系式点(x，y)在原曲线上，点(x′，y′)在变换后的曲线上，因此点(x，y)的坐标满足原来的曲线方程，点(x′，y′)的坐标满足变换后的曲线方程．
2．极坐标方程与直角坐标方程互化
(1)公式代入：直角坐标方程化为极坐标方程公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入并化简．
(2)整体代换：极坐标方程化为直角坐标方程，变形构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换．

　
考向一　　　　伸缩变换
【例1】　在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形．
(1)5x＋2y＝0.(2)x2＋y2＝1.
【解】　伸缩变换则
(1)若5x＋2y＝0，则5(2x′)＋2(3y′)＝0，
所以5x＋2y＝0经过伸缩变换后的方程为5x′＋3y′＝0，为一条直线．
(2)若x2＋y2＝1，则(2x′)2＋(3y′)2＝1，则x2＋y2＝1经过伸缩变换后的方程为4x′2＋9y′2＝1，为椭圆．

经过伸缩变换后，曲线C变为本例(2)中变换前的曲线，求曲线C的方程．
解：把代入方程x′2＋y′2＝1，得25x2＋9y2＝1，
所以曲线C的方程为25x2＋9y2＝1.

1.平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：
的作用下的变换方程的求法是将代入y＝f(x)，整理得y′＝h(x′)为所求．
2．解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P(x，y)与变换后的点P′(x′，y′)的坐标关系，用方程思想求解．

在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：
(1)求点A(，－2)经过φ变换所得点A′的坐标；
(2)求直线l：y＝6x经过φ变换后所得直线l′的方程．
解：(1)设点A′(x′，y′)，由伸缩变换φ：
得∴
∴点A′的坐标为(1，－1)．
(2)设P′(x′，y′)是直线l′上任意一点．
由伸缩变换φ：得
代入y＝6x，得2y′＝6·＝2x′，即y′＝x′，
∴y＝x为所求直线l′的方程．
考向二　　　极坐标方程与直角坐标方程的互化
【例2】　在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsin＝(ρ≥0,0≤θ