知识点一　　　　不等式证明的常见方法

1．综合法：从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理，逐步推导，从而最后导出要证明的命题．

2．分析法：从需要证明的结论出发，分析使这个命题成立的充分条件，利用已知的一些定理，逐步探索，最后达到命题所给出的条件(或者一个已证明过的定理或一个明显的事实)．

3．反证法：首先假设要证明的命题是不正确的，然后利用公理，已有的定义、定理，逐步分析，得到和命题的条件(或已证明过的定理，或明显成立的事实)矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来的结论正确．

4．放缩法：将所需证明的不等式的值适当放大(或缩小)，使它由繁到简，达到证明目的．如果所要证明的不等式中含有分式，把分母放大，则相应分式的值缩小，反之，把分母缩小，则分式的值放大．

1．要证明＋>2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是(　B　)

A．综合法  B．分析法

C．反证法  D．归纳法

解析：根据条件和分析法的定义可知选项B最合理．故选B.

2．(选修4－5P23习题2.1T1改编)已知a≥b>0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则M，N的大小关系为M≥N.

解析：2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．

因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0，从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，

故2a3－b3≥2ab2－a2b.

3．已知a>0，b>0，c>0，且a，b，c不全相等，求证：＋＋>a＋b＋c.

证明：因为a，b，c∈(0，＋∞)，所以＋≥2＝2c.

同理＋≥2a，＋≥2b.

因为a，b，c不全相等，所以上述三个不等式中至少有一个等号不成立，三式相加，得2>2(a＋b＋c)，即＋＋>a＋b＋c.

知识点二　　　　柯西不等式

1．设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．

2．若ai，bi(i∈N*)为实数，则()()≥(ibi)2，当且仅当＝＝…＝(当ai＝0时，约定bi＝0，i＝1,2，…，n)时等号成立．

3．柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当α，β共线时等号成立．

4．已知x，y，z是正实数，且满足x＋2y＋3z＝1.

(1)求＋＋的最小值；

(2)求证：x2＋y2＋z2≥.

解：(1)＋＋＝＋＋(x＋2y＋3z)≥·＋·＋·2＝(1＋＋)2＝6＋2＋2＋2，

当且仅当＝且＝且＝时取等号，故＋＋的最小值为6＋2＋2＋2.

(2)证明：由柯西不等式可得

1＝(x＋2y＋3z)2≤(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)＝14(x2＋y2＋z2)，

∴x2＋y2＋z2≥，

当且仅当x＝＝，

即x＝，y＝，z＝时取等号，

故x2＋y2＋z2≥.

1．证明不等式的基本方法

(1)比较法：作差(商)比较法．

(2)综合法：由因导果法．

(3)分析法：执果索因法．

2．利用柯西不等式求最值或证明不等式要注意合理的变形配凑常数，而且还要注意取“＝”的条件．

考向一　　　　分析法、综合法证明不等式

【例1】　(1)已知x，y均为正数，且x>y，求证：2x＋≥2y＋3；

(2)设a，b，c>0且ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥.

【证明】　(1)因为x>0，y>0，x－y>0,2x＋－2y＝2(x－y)＋＝(x－y)＋(x－y)＋≥3＝3，

所以2x＋≥2y＋3.

(2)因为a，b，c>0，所以要证a＋b＋c≥，只需证明(a＋b＋c)2≥3.即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)．即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.而ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)成立．所以原不等式成立．

用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野.

设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d.证明：

(1)若ab>cd，则＋>＋.

(2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．

证明：(1)因为(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2.

由题设a＋b＝c＋d，ab>cd得(＋)2>(＋)2.

因此＋>＋.

(2)①若|a－b|<|c－d|，

则(a－b)2<(c－d)2，

即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.

因为a＋b＝c＋d，a，b，c，d均为正数，所以ab>cd.

由(1)得＋>＋.

②若＋>＋，

则(＋)2>(＋)2，

即a＋b＋2>c＋d＋2.

因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.

于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.

因此|a－b|<|c－d|.

综上，＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．

考向二　　　　放缩法证明不等式

【例2】　若a，b∈R，求证：≤＋.

【证明】　当|a＋b|＝0时，不等式显然成立．

当|a＋b|≠0时，由0<|a＋b|≤|a|＋|b|

⇒≥，

所以＝≤

＝＝＋

≤＋.

1在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧.常见的放缩变换有：

②利用函数的单调性；

③真分数性质“若0<a<b，m>0，

2在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度.

设n是正整数，求证：≤＋＋…＋<1.

证明：由2n≥n＋k>n(k＝1,2，…，n)，

得≤<.当k＝1时，≤<；

当k＝2时，≤<；

…

当k＝n时，≤<，

∴＝≤＋＋…＋<＝1.

∴原不等式成立．

考向三　　　　柯西不等式的应用

【例3】　已知a，b，c，m，n，p都是实数，且a2＋b2＋c2＝1，m2＋n2＋p2＝1.

(1)证明：|am＋bn＋cp|≤1；

(2)若abc≠0，证明：＋＋≥1.

【证明】　(1)方法1：∵(am＋bn＋cp)2≤(a2＋b2＋c2)(m2＋n2＋p2)＝1，∴|am＋bn＋cp|≤1.

方法2：因为|am＋bn＋cp|≤|am|＋|bn|＋|cp|，a2＋b2＋c2＝1，m2＋n2＋p2＝1，所以|am|＋|bn|＋|cp|≤＋＋＝＝1，所以|am＋bn＋cp|≤1.

(2)因为a2＋b2＋c2＝1，m2＋n2＋p2＝1，

所以＋＋＝(a2＋b2＋c2)≥

2＝(m2＋n2＋p2)2＝1，

所以＋＋≥1.

对于若干个单项式的平方和，因为其符合柯西不等式a2＋b2＋…＋c2m2＋n2＋…＋p2≥am＋bn＋…＋cp2，所以只要补足另一个平方和多项式，便可利用柯西不等式来求最值.

(2019·河南豫南九校联考)已知x，y，z均为实数．

(1)求证：1＋2x4≥2x3＋x2；

(2)若x＋2y＋3z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值．

解：(1)证法1：(1＋2x4)－(2x3＋x2)＝2x3(x－1)－(x＋1)(x－1)＝(x－1)(2x3－x－1)＝(x－1)(2x3－2x＋x－1)＝(x－1)[2x(x2－1)＋(x－1)]＝(x－1)2(2x2＋2x＋1)＝(x－1)22x＋2＋≥0，所以1＋2x4≥2x3＋x2.

证法2：(1＋2x4)－(2x3＋x2)＝x4－2x3＋x2＋x4－2x2＋1＝(x－1)2·x2＋(x2－1)2≥0，所以1＋2x4≥2x3＋x2.

(2)因为6＝x＋2y＋3z

≤·(由柯西不等式得)，

所以x2＋y2＋z2≥，

当且仅当x＝＝，

即x＝，y＝，z＝时，x2＋y2＋z2有最小值.