2020高考数学理科大一轮复习导学案：第八章平面解析几何8.6


　

知识点一 双曲线的定义
平面内动点P与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【解析】　解法1：因为直线AB经过双曲线的右焦点，所以不妨取A(c，)，B(c，－)，取双曲线的一条渐近线为直线bx－ay＝0，由点到直线的距离公式可得d1＝＝，d2＝＝，因为d1＋d2＝6，所以＋＝6，所以2b＝6，得b＝3.因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以＝2，所以＝4，所以＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为－＝1，故选C.
解法2：由d1＋d2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b＝3.因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以＝2，所以＝4，所以＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为－＝1，故选C.
【答案】　C



　
求双曲线标准方程的一般方法
(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．



(1)(2019·福州高三考试)已知双曲线C的两个焦点F1，F2都在x轴上，对称中心为原点O，离心率为.若点M在C上，且MF1⊥MF2，M到原点的距离为，则C的方程为(　C　)
A.－＝1 B.－＝1
C．x2－＝1 D．y2－＝1
(2)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为－y2＝1.
解析：(1)由题意可知，OM为Rt△MF1F2斜边上的中线，所以|OM|＝|F1F2|＝c.由M到原点的距离为，得c＝，又e＝＝，所以a＝1，所以b2＝c2－a2＝3－1＝2.故双曲线C的方程为x2－＝1.故选C.
(2)法1：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，)，∴λ＝16－4×()2＝4，∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
法2：∵渐近线y＝x过点(4,2)，而0，b>0)．由已知条件可得解得∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
考向三 双曲线的几何性质
方向1　渐近线问题
【例3】　(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝(　　)
A. B．3
C．2 D．4
【解析】　因为双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与直线y＝x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°，又直线MN过点F(2,0)，所以直线MN的方程为y＝－(x－2)，由得所以M(，)，所以|OM|＝＝，所以|MN|＝|OM|＝3，故选B.
【答案】　B
方向2　离心率问题
【例4】　(2018·全国卷Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为(　　)
A. B．2
C. D.
【解析】　不妨设一条渐近线的方程为y＝x，则F2到y＝x的距离d＝＝b，在Rt△F2PO中，|F2O|＝c，所以|PO|＝a，所以|PF1|＝a，又|F1O|＝c，所以在△F1PO与Rt△F2PO中，根据余弦定理得cos∠POF1＝＝－cos∠POF2＝－，即3a2＋c2－(a)2＝0，得3a2＝c2，所以e＝＝.
【答案】　C
方向3　最值与范围问题
【例5】　已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·0)的渐近线与圆x2＋(y－4)2＝1相切，则双曲线的离心率为(　D　)
A．2 B.
C．3 D．4
解析：因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为bx±ay＝0.依题意，直线bx±ay＝0与圆x2＋(y－4)2＝1相切，则圆心(0,4)到直线bx±ay＝0的距离d＝＝1，所以＝1，所以双曲线离心率e＝＝4.
3．(方向3)中心在原点的椭圆C1与双曲线C2具有相同的焦点，F1(－c,0)，F2(c,0)，P为C1与C2在第一象限的交点，|PF1|＝|F1F2|且|PF2|＝3，若椭圆C1的离心率e1∈，则双曲线的离心率e2的范围是(　C　)
A. B.
C. D.(2,3)
解析：设椭圆方程为：＋＝1(a>b>0)，由题意有：|PF2|＝3＝2a－|PF1|＝2a－2c，设双曲线方程为－＝1(m>0，n>0)，同理可得2m＝|PF1|－|PF2|＝2c－(2a－2c)＝4c－2a，所以m＝2c－a，又e2＝＝＝，因为e1∈，所以∈，所以e2∈.

　
经久不衰的高考热点——离心率问题
离心率是圆锥曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点．这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求圆锥曲线的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆或双曲线的离心率问题难点的根本方法．
一、利用定义求离心率
典例1　(2019·广州高三调研测试)在直角坐标系xOy中，设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，P为双曲线C的右支上一点，且△OPF为正三角形，则双曲线C的离心率为(　　)
A. B.
C．1＋ D．2＋
【解题思路】　设F′为双曲线的左焦点，利用△OPF为正三角形求出|PO|＝|PF|＝c，∠POF′＝120°，利用双曲线的定义得到|PF′|＝2a＋c，最后在△PF′O中由余弦定理可得的值．
【解析】　设F′为双曲线的左焦点，|F′F|＝2c，依题意可得|PO|＝|PF|＝c，连接PF′，由双曲线的定义可得|PF′|－
|PF|＝2a，故|PF′|＝2a＋c，在△PF′O中，∠POF′＝120°，由余弦定理可得cos120°＝，化简可得c2－2ac－2a2＝0，即()2－2×－2＝0，解得＝1＋或＝1－(不合题意，舍去)，故双曲线的离心率e＝1＋，故选C.
【答案】　C
二、利用平面几何性质求离心率
典例2　(2018·北京卷)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，双曲线N：－＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．
【解析】　如图，设椭圆的右焦点为F(c,0)，双曲线N的渐近线与椭圆M在第一象限内的交点为A，由题意可知A(，)，由点A在椭圆M上得，＋＝1，∴b2c2＋3a2c2＝4a2b2，∵b2＝a2－c2，∴(a2－c2)c2＋3a2c2＝4a2(a2－c2)，∴4a4－8a2c2＋c4＝0，∴e－8e＋4＝0，∴e＝4±2，∴e椭＝＋1(舍去)或e椭＝－1，∴椭圆M的离心率为－1，

∵双曲线的渐近线过点A(，)，
∴渐近线方程为y＝x，
∴＝，故双曲线的离心率e双＝＝2.
【答案】　－1　2

三、利用椭圆或双曲线的性质建立方程(或不等式)求离心率的值(或取值范围)
典例3　已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，点P在椭圆上且满足·＝c2，则该椭圆离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　设P(x，y)，则＋＝1(a>b>0)，y2＝b2－x2，－a≤x≤a，＝(－c－x，－y)，＝(c－x，－y)．所以·＝x2－c2＋y2＝x2＋b2－c2＝x2＋b2－c2.因为－a≤x≤a，所以b2－c2≤·≤b2.所以b2－c2≤c2≤b2，所以2c2≤a2≤3c2，所以≤≤.故选B.
【答案】　B

(1)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(　A　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
(2)过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为椭圆的右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为(　B　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
解析：(1)由题意，不妨设直线l的方程为y＝k(x＋a)，k>0，分别令x＝－c与x＝0，得|FM|＝k(a－c)，|OE|＝ka.设OE的中点为G，由△OBG∽△FBM，得＝，即＝，整理，得＝，故椭圆的离心率e＝.故选A.
(2)由题意，可设P.因为在Rt△PF1F2中，|PF1|＝，|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝60°，所以＝＝.因为b2＝a2－c2，所以c2＋2ac－a2＝0，即e2＋2e－＝0，解得e＝或e＝－.又e∈(0,1)，所以e＝.故选B.