2020高考数学理科大一轮复习导学案：第八章平面解析几何8.8

　知识点一  曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．1．判断正误(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．(　√　)(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．(　×　)(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.(　×　)(4)方程y＝与x＝y2表示同一曲线．(　×　)2．方程(x2＋y2－4)＝0的曲线形状是(　C　)解析：由题意可得x＋y＋1＝0或，它表示直线x＋y＋1＝0和圆x2＋y2－4＝0在直线x＋y＋1＝0右上方的部分．知识点二  直接法求动点的轨迹方程的一般步骤1．建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标．2．写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}．3．用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0.4．化方程f(x，y)＝0为最简形式．5．说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．3．(必修2P135习题4.1B组第1题改编)等腰三角形ABC，若一腰的两个端点坐标分别是A(4,2)，B(－2,0)，A是顶点，则另一个点C的轨迹方程为(　B　)A．x2＋y2－8x－4y＝0B．x2＋y2－8x－4y－20＝0(x≠4，x≠－2)C．x2＋y2＋8x＋4y－20＝0(x≠4，x≠－2)D．x2＋y2－8x－4y＋20＝0(x≠4，x≠－2)解析：设另一个点的坐标为C(x，y)，则(x－4)2＋(y－2)2＝40，x≠4，x≠－2.整理得x2＋y2－8x－4y－20＝0(x≠4，x≠－2)．故选B.4．(2019·大连模拟)在△ABC中，BC＝4，A点为动点，满足sinC＋sinB＝2sinA，若以BC为x轴，BC的中点为原点，建立平面直角坐标系，则A点的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．解析：由正弦定理得：|AB|＋|AC|＝2|BC|，即|AB|＋|AC|＝8>4.故A点的轨迹为椭圆，则椭圆方程为＋＝1，又因为A，B，C三点不能共线，所以A点的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．2．曲线的交点与方程组的关系(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．　考向一  直接法求轨迹方程【例1】　(1)已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为________．(2)与y轴相切并与圆C：x2＋y2－6x＝0也外切的圆的圆心的轨迹方程为________．【解析】　(1)设A(x，y)，由题意可知D.又∵|CD|＝3，∴2＋2＝9，即(x－10)2＋y2＝36，由于A，B，C三点不共线，∴点A不能落在x轴上，即y≠0，∴点A的轨迹方程为(x－10)2＋y2＝36(y≠0)．(2)若动圆在y轴右侧，设与y轴相切，且与圆x2＋y2－6x＝0外切的圆的圆心为P(x，y)(x>0)，则半径长为|x|，因为圆x2＋y2－6x＝0的圆心为(3,0)，所以＝|x|＋3，则y2＝12x(x>0)，若动圆在y轴左侧，则y＝0，即圆心的轨迹方程为y2＝12x(x>0)或y＝0(x<0)．【答案】　(1)(x－10)2＋y2＝36(y≠0)　y2＝12x(x>0)或y＝0(x<0)   　1若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则可用直接法，其一般步骤是：设点—列式—化简—检验，求动点的轨迹方程时要注意检验，即扣除多余的点，补上遗漏的点.2如果是只求轨迹方程，则把方程求出，把变量的限制条件附加上即可；如果是求轨迹，则要说明轨迹是什么图形.  已知点P为y轴上的动点，点M为x轴上的动点，点F(1,0)为定点，且满足＋＝0，·＝0.(1)求动点N的轨迹E的方程；(2)过点F且斜率为k的直线与曲线E交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点C，使得|CA|2＋|CB|2＝|AB|2成立，请说明理由．解：(1)设N(x，y)，则由＋＝0，得P为MN的中点，∴P，M(－x，0)，∴＝，＝，∴·＝－x＋＝0，即y2＝4x，∴动点N的轨迹E的方程为y2＝4x.(2)设直线l的方程为y＝k(x－1)，由消去x得y2－y－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝－4.假设存在点C(m,0)满足条件，则＝(x1－m，y1)，＝(x2－m，y2)，∴·＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2＝2－m＋m2－4＝－[(y1＋y2)2－2y1y2]＋m2－3＝m2－m＋2－3.∵Δ＝2＋12>0，∴关于m的方程m2－m－3＝0有解，∴假设成立，即在x轴上存在点C，使得|CA|2＋|CB|2＝|AB|2成立．考向二  定义法求轨迹方程【例2】　(1)(2019·北京模拟)△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是_________．(2)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，则圆心P的轨迹方程为____________．【分析】　(1)根据题设条件，寻找动点C与两定点A，B距离的差满足的等量关系|CA|－|CB|＝6，由双曲线的定义得出所求轨迹为双曲线的一部分，再求其方程．(2)可依据两圆的位置关系，得出圆心距与两圆半径的和、差的绝对值之间的关系，进而得出轨迹方程．【解析】　(1)如图，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.根据双曲线的定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x>3)．(2)因为圆P与圆M外切且与圆N内切，|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4，由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．【答案】　(1)－＝1(x>3)　(2)＋＝1(x≠－2)1．若本例(2)中的条件“动圆P与圆M外切并且与圆N内切”改为“动圆P与圆M、圆N都外切”，则圆心P的轨迹方程为y＝0(x<－2)．解析：因为圆M与圆N相内切，设其切点为A，又因为动圆P与圆M、圆N都外切，所以动圆P的圆心在MN的连线上，且经过点A，因此动点P的轨迹是射线AM的反向延长线(不含切点A)，其方程为：y＝0(x<－2)．2．若本例(2)中的条件“动圆P与圆M外切并且与圆N内切”改为“动圆P与圆M、圆N都内切”，则圆心P的轨迹方程为y＝0(x∈(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，＋∞))．解析：由两圆方程知圆M与圆N相内切，设切点为A，若圆P与圆M、圆N都内切，则切点必为A点，且动圆P的圆心在x轴上．①若圆P在圆M和圆N的内部与两圆内切，则点P在线段AM(不含端点)上；②若圆P在圆M外部及圆N内部与两圆内切，则点P在线段MN(不含端点)上；③若圆P在圆M和圆N的外部与两圆内切，则点P在射线Nx(不含点N)上，所以动点P的轨迹方程为y＝0(x∈(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，＋∞))．   　定义法求轨迹方程的适用条件及关键(1)适用条件动点与定点、定直线之间的某些关系满足直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义．(2)关键定义法求轨迹方程的关键是由题意找到动点所适合的常见曲线的几何特征．  (2019·长春模拟)设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为(　D　)A.－＝1  B.＋＝1C.－＝1  D.＋＝1解析：因为M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，所以|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为椭圆．所以a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，所以椭圆的方程为＋＝1.考向三  相关点法(代入法)求轨迹方程 【例3】　(2019·合肥第二次质检)如图，抛物线E：y2＝2px(p>0)与圆O：x2＋y2＝8相交于A，B两点，且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0，y0)作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l1，l2，l1与l2相交于点M.(1)求p的值；(2)求动点M的轨迹方程．【解】　(1)由点A的横坐标为2，可得点A的坐标为(2,2)，代入y2＝2px，解得p＝1.(2)设C(，y1)，D(，y2)，y1≠0，y2≠0，切线l1的斜率为k，则切线l1：y－y1＝k(x－)，代入y2＝2x得ky2－2y＋2y1－ky＝0，由Δ＝0解得k＝，∴l1的方程为y＝x＋，同理l2的方程为y＝x＋.联立，得解得易知CD的方程为x0x＋y0y＝8，其中x0，y0满足x＋y＝8，x0∈[2,2]，联立，得即x0y2＋2y0y－16＝0，则代入可得M(x，y)满足可得代入x＋y＝8，并化简，得－y2＝1，考虑到x0∈[2,2]，知x∈[－4，－2]，∴动点M的轨迹方程为－y2＝1，x∈[－4，－2]．   　1动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点Px，y却随另一动点Qx′，y′的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹方程为给定或容易求得，则可先将x′，y′表示为x，y相关的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理得点P的轨迹方程，此法称为代入法，也称相关点法.2用代入法求轨迹方程的关键是寻求关系式：x′＝fx，y，y′＝gx，y，然后代入已知曲线.求对称曲线轴对称、中心对称等方程实质上也是用代入法相关点法解题.  如图，已知P是椭圆＋y2＝1上一点，PM⊥x轴于M.若＝λ.(1)求N点的轨迹方程；(2)当N点的轨迹为圆时，求λ的值．解：(1)设点P，点N的坐标分别为P(x1，y1)，N(x，y)，则M的坐标为(x1,0)，且x＝x1，∴＝(x－x1，y－y1)＝(0，y－y1)，＝(x1－x，－y)＝(0，－y)，由＝λ得(0，y－y1)＝λ(0，－y)．∴y－y1＝－λy，即y1＝(1＋λ)y.∵P(x1，y1)在椭圆＋y2＝1上，则＋y＝1，∴＋(1＋λ)2y2＝1，故＋(1＋λ)2y2＝1为所求的N点的轨迹方程．(2)要使点N的轨迹为圆，则(1＋λ)2＝，解得λ＝－或λ＝－.故当λ＝－或λ＝－时，N点的轨迹是圆．