2020版新一线高考理科数学（人教A版）一轮复习教学案：第2章第11节第2课时　导数与函数的极值、最值


第2课时　导数与函数的极值、最值


利用导数解决函数的极值问题

►考法1　根据函数图象判断函数极值的情况
【例1】　设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
D　[由题图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．]
►考法2　求已知函数的极值
【例2】　已知函数f(x)＝(x－2)(ex－ax)，当a＞0时，讨论f(x)的极值情况．
[解]　∵f′(x)＝(ex－ax)＋(x－2)(ex－a)
＝(x－1)(ex－2a)，
∵a＞0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln 2a.
①当a＝时，f′(x)＝(x－1)(ex－e)≥0，
∴f(x)单调递增，故f(x)无极值．
②当0＜a＜时，ln 2a＜1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，ln 2a)
ln 2a
(ln 2a,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)

极大值

极小值

故f(x)有极大值f(ln 2a)＝－a(ln 2a－2)2，极小值f(1)＝a－e.
③当a＞时，ln 2a＞1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，1)
1
(1，ln 2a)
ln 2a
(ln 2a，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)

极大值

极小值

故f(x)有极大值f(1)＝a－e，极小值f(ln 2a)＝－a(ln 2a－2)2.
综上，当0＜a＜时，f(x)有极大值－a(ln 2a－2)2，极小值a－e；
当a＝时，f(x)无极值；
当a＞时，f(x)有极大值a－e，极小值－a(ln 2a－2)2.
►考法3　已知函数极值求参数的值或范围
【例3】　(1)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________.
(2)若函数f(x)＝ex－aln x＋2ax－1在(0，＋∞)上恰有两个极值点，则a的取值范围为(　　)
A．(－e2，－e)　　　 B.
C. D．(－∞，－e)
(1)－7　(2)D　[(1)由题意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，则
解得或
经检验当a＝1，b＝3时，函数f(x)在x＝－1处无法取得极值，而a＝2，b＝9满足题意，故a－b＝－7.
(2)∵f′(x)＝ex－＋2a，(x＞0)
∴由f′(x)＝0得a＝.
令g(x)＝(x＞0)．
由题意可知g(x)＝a在(0，＋∞)上恰有两个零点．
又g′(x)＝－(x＞0)，
由g′(x)＞0得0＜x＜1，且x≠.
由g′(x)＜0得x＞1.
∴函数g(x)在，上递增，在(1，＋∞)上递减．
又g(0)＝0，g(1)＝－e，
结合图形(图略)可知a∈(－∞，－e)，故选D.]
[规律方法]　1.利用导数研究函数极值问题的一般流程

2．已知函数极值点和极值求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值列方程组，利用待定系数法求解．
(2)验证：因为一点处的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
(1)已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则实数c的值为(　　)
A．2或6 B．2
C. D．6
(2)(2019·广东五校联考)已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有极值，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
(1)D　(2)A　[(1)法一：f′(x)＝(x－c)(3x－c)，当f′(x)＝0时，x1＝，x2＝c.
因为极大值点是x＝2，
所以c＞0，并且＜c.
当x∈时，f′(x)＞0，
当x∈时，f′(x)＜0，
当x∈(c，＋∞)时，f′(x)＞0，
所以x＝是极大值点，＝2，
解得c＝6.故选D.
法二：因为f′(x)＝(x－c)(3x－c)．
又因为f(x)在x＝2处取极值，
所以f′(2)＝0，即(2－c)(6－c)＝0.
所以c＝2或c＝6.
当c＝6时，f′(x)＝3(x－2)(x－6)，易知x∈(－∞，2)和x∈(6，＋∞)时，f′(x)＞0，函数f(x)是增函数，x∈(2,6)时，f′(x)＜0，函数f(x)是减函数，此时x＝2为极大值点．
当c＝2时，f′(x)＝3(x－2)，易知x∈和x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，函数f(x)是增函数，
x∈时，f′(x)＜0，函数f(x)是减函数，此时x＝2是极小值点．
因此c＝6.故选D.
(2)f(x)＝xln x－ax2(x＞0)，f′(x)＝ln x＋1－2ax.
令g(x)＝ln x＋1－2ax，
则g′(x)＝－2a＝.
∵函数f(x)＝x(ln x－ax)有极值，
∴g(x)＝0在(0，＋∞)上有实根．
当a≤0时，g′(x)＞0，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，当x趋向于0时，g(x)趋向于－∞，当x趋向于＋∞时，g(x)趋向于＋∞，故存在x0∈(0，＋∞)，使得f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，故f(x)存在极小值f(x0)，符合题意．
当a＞0时，令g′(x)＝0，得x＝.
当0＜x＜时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增；
当x＞时，g′(x)＜0，函数g(x)单调递减，
∴x＝时，函数g(x)取得极大值．
∵当x趋向于0和x趋向于＋∞时，均有g(x)趋向于－∞，要使g(x)＝0在(0，＋∞)上有实根，且f(x)有极值，必须g＝ln ＞0，解得0＜a＜.
综上可知，实数a的取值范围是，故选A.]

利用导数解决函数的最值问题

【例4】　已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)当a＞0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．
[解]　(1)f′(x)＝－a(x＞0)，
①当a≤0时，f′(x)＝－a＞0，即函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
②当a＞0时，令f′(x)＝－a＝0，可得x＝，
当0＜x＜时，f′(x)＝＞0；
当x＞时，f′(x)＝＜0，
故函数f(x)的单调递增区间为，
单调递减区间为.
综上可知，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
当a＞0时，函数f(x)的单调递增区间为，
单调递减区间为.
(2)①当0＜≤1，即a≥1时，函数f(x)在区间[1,2]上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)＝ln 2－2a.
②当≥2，即0＜a≤时，函数f(x)在区间[1,2]上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)＝－a.
③当1＜＜2，即＜a＜1时，函数f(x)在上是增函数，在上是减函数．又f(2)－f(1)＝ln 2－a，
所以当＜a＜ln 2时，最小值是f(1)＝－a；
当ln 2≤a＜1时，最小值为f(2)＝ln 2－2a.
综上可知，
当0＜a＜ln 2时，函数f(x)的最小值是f(1)＝－a；
当a≥ln 2时，函数f(x)的最小值是f(2)＝ln 2－2a.
[规律方法]　求函数f(x)在[a，b]上的最大值、最小值的步骤
(1)求函数在(a，b)内的极值.
(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b).
(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值.
(2017·北京高考)已知函数f(x)＝excos x－x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
[解]　(1)因为f(x)＝excos x－x，
所以f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，f′(0)＝0.
又因为f(0)＝1，
所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(2)设h(x)＝ex(cos x－sin x)－1，则h′(x)＝ex(cos x－sin x－sin x－cos x)＝－2exsin x.
当x∈时，h′(x)<0，
所以h(x)在区间上单调递减．
所以对任意x∈有h(x) 所以函数f(x)在区间上单调递减．
因此f(x)在区间上的最大值为f(0)＝1，最小值为f＝－.

利用导数研究生活中的优化问题

【例5】　已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该企业年内共生产此种产品x千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为f(x)万元，且f(x)＝
(1)写出年利润W(万元)关于年产品x(千件)的函数解析式．
(2)年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)
[解]　(1)由题意得
W＝
即W＝
(2)①当0＜x≤10时，W＝8.1x－x3－10
则W′＝8.1－x2＝＝，
因为0＜x≤10所以当0＜x＜9时，W′＞0，
则W递增；
当9＜x≤10时，W′＜0，则W递减．
所以当x＝9时，W取最大值＝38.6万元．
②当x＞10时，
W＝98－≤98－2＝38.
当且仅当＝2.7x，即x＝＞10时取最大值38.
综上，当年产量为9千件时，该企业生产此产品所获年利润最大．
[规律方法]　利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x).
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0.
(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.
(4)回归实际问题，结合实际问题作答.
某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域．
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
[解]　(1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又根据题意得200πrh＋160πr2＝12 000π，所以h＝(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．由h＞0，且r＞0可得0＜r＜5，故函数V(r)的定义域为(0,5)．
(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，所以V′(r)＝(300－12r2)．令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域内，舍去)．
当r∈(0,5)时，V′(r)＞0，故V(r)在(0,5)上为增函数；
当r∈(5,5)时，V′(r)＜0，故V(r)在(5,5)上为减函数．
由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8，即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．