2020版新一线高考理科数学（人教A版）一轮复习教学案：第3章第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
展开第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
[考纲传真] 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2 α＋cos2 α＝1，＝tan α；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；
(2)商数关系：tan α＝.
2．诱导公式
组序 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 |
角 | 2kπ＋ α(k∈Z) | π＋α | －α | π－α | －α | ＋α |
正弦 | sin α | －sin α | －sin α | sin α | cos α | cos_α |
余弦 | cos α | －cos α | cos α | －cos_α | sin α | －sin α |
正切 | tan α | tan α | －tan α | －tan_α |
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口诀 | 函数名不变，符号看象限 | 函数名改变 符号看象限 | ||||
[常用结论]
1．同角三角函数关系式的常用变形
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.
2．诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.( )
(2)若α∈R，则tan α＝恒成立．( )
(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( )
(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．(教材改编)已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α等于( )
A．－ B．－ C. D.
B [∵sin α＝，α是第二象限角，
∴cos α＝－＝－.]
3．化简sin 690°的值是( )
A. B．－ C. D．－
B [sin 690°＝sin(720°－30°)＝－sin 30°＝－.选B.]
4．已知tan α＝2，则的值为________．
[∵tan α＝2，
∴＝＝＝.]
5．化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________．
－sin2α [原式＝·(－sin α)·cos α＝－sin2 α.]
同角三角函数基本关系式的应用
1．已知sin αcos α＝，且＜α＜，则cos α－sin α的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
B [∵＜α＜，
∴cos α＜0，sin α＜0且cos α＞sin α，
∴cos α－sin α＞0.
又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，
∴cos α－sin α＝.故选B.]
2．(2016·全国卷Ⅲ)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝( )
A. B.
C．1 D.
A [因为tan α＝，
则cos2α＋2sin 2α＝＝＝＝.故选A.]
3．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则sin θ－cos θ的值是________．
[将sin θ＋cos θ＝两边平方得(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，
所以2sin θcos θ＝－＜0，
所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，
因为θ∈(0，π)，
所以sin θ＞0，cos θ＜0，所以θ∈，
即sin θ－cos θ＞0，
所以sin θ－cos θ＝.]
[规律方法] 同角三角函数关系式及变形公式的应用方法
1利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用可以实现角α的弦切互化.
2应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用sin α±cos α2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.
3注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
诱导公式的应用
【例】 (1)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，则等于( )
A．－ B.
C．0 D.
(2)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，
tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )
A. B.
C. D.
(3)已知cos＝a，则cos＋sin的值是________．
(1)B (2)C (3)0 [(1)由题可知tan θ＝3，原式＝＝＝.
(2)化简得
解之得tan α＝3.
∵α为锐角，由方程组
得sin α＝.
(3)因为cos＝cos
＝－cos＝－a，
sin＝sin＝cos＝a，
所以cos＋sin＝0.]
[规律方法] 1.诱导公式的两个应用
1求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
2化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
2.含2π整数倍的诱导公式的应用,由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos5π－α＝cosπ－α＝－cos α.
(1)(2019·湖北八校联考)已知sin(π＋α)＝－，则tan的值为( )
A．2 B．－2
C. D．±2
(2)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是( )
A．{1，－1,2，－2} B．{－1,1}
C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2}
(3)(2017·北京高考)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α＝，则sin β＝________.
(1)D (2)C (3) [(1)∵sin(π＋α)＝－，∴sin α＝，则cos α＝±，
∴tan＝＝＝±2.故选D.
(2)当k为偶数时，A＝＋＝2；
当k为奇数时，A＝－＝－2.
所以A的值构成的集合是{2，－2}．
(3)由角α与角β的终边关于y轴对称，可知α＋β＝π＋2kπ(k∈Z)，所以β＝2kπ＋π－α(k∈Z)，所以sin β＝sin α＝.]
1．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝( )
A．－ B．－
C. D.
A [∵sin α－cos α＝，
∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝，
∴sin 2α＝－.
故选A.]
2.(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.
－ [由题意知sin＝，θ是第四象限角，
所以cos＞0，
所以cos＝＝.
tan＝tan＝－
＝－＝－＝－.]
