2020版新一线高考理科数学（人教A版）一轮复习教学案：第3章第6节　正弦定理、余弦定理及其应用


第六节　正弦定理、余弦定理及其应用
[考纲传真]　1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．

1．正弦、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R.
a2＝b2＋c2－2bccos_A；
b2＝c2＋a2－2cacos_B；
c2＝a2＋b2－2abcos_C.
变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(3)＝＝2R.
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝.
2.三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．
3．实际问题中的常用角
(1)仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫做仰角，目标视线在水平视线下方的角叫做俯角(如图1)．

(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°、北偏西45°、西偏北60°等．
(3)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如点B的方位角为α(如图2)．
(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．
[常用结论]
1．在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.
2．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；
b＝acos C＋ccos A；
c＝bcos A＋acos B.
3．内角和公式的变形
(1)sin(A＋B)＝sin C；
(2)cos(A＋B)＝－cos C.
4．在△ABC中，若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形或直角三角形．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　　)
(2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B.(　　)
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(　　)
(4)当b2＋c2－a2＞0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2＜0时，△ABC为钝角三角形．
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．(教材改编)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，B＝，a＝1，则b＝(　　)
A．2　　　 B．1
C. D.
D　[由＝得b＝＝＝×2＝.]
3．(教材改编)在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有(　　)
A．无解 B．两解
C．一解 D．解的个数不确定
B　[∵bsin A＝24sin 45°＝12，
∴12＜18＜24，即bsin A＜a＜b.
∴此三角形有两解．]
4．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，则cos C的值为(　　)
A. B.
C．－ D．－
D　[由题意可知a∶b∶c＝3∶2∶4，不妨设a＝3k，b＝2k，c＝4k，则cos C＝＝＝－.]
5．在△ABC中，a＝2，c＝，B＝30°，则S△ABC＝________；b＝________.
　1　[S△ABC＝acsin B＝×2××＝.
由b2＝a2＋c2－2accos B＝4＋3－4cos 30°＝1，得b＝1.]

利用正、余弦定理解三角形
【例1】　(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.
(1)求C；
(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
[解]　(1)由已知及正弦定理得
2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，
即2cos Csin(A＋B)＝sin C，
故2sin Ccos C＝sin C.
可得cos C＝，所以C＝.
(2)由已知得absin C＝.
又C＝，所以ab＝6.
由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcos C＝7，
故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25，所以a＋b＝5(负值舍去)．
所以△ABC的周长为5＋.
[规律方法]　解三角形的常见题型及求解方法
(1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及，可先求出角C及b，再求出c.
(2)已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccos A，先求出a，再求出角B，C.
(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.,(4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，可求出角C，再由可求出c，而通过求角B时，可能有一解或两解或无解的情况.)
(1)(2018·重庆二模)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若(a－b)(sin A＋sin B)＝c(sin C＋sin B)，则角A等于(　　)
A.　　　 B.
C. D.
(2)如图，在△ABC中，已知点D在边AB上，AD＝3DB，cos A＝，cos∠ACB＝，BC＝13.
①求cos B的值；
②求CD的长．
(1)D　[由正弦定理可得(a－b)(a＋b)＝c(c＋b)，即b2＋c2－a2＝－bc，由余弦定理可得cos A＝＝－，又A∈(0，π)，则A＝，故选D.]
(2)[解]　①在△ABC中，因为cos A＝，A∈(0，π)，
所以sin A＝＝.
同理可得sin∠ACB＝.
所以cos B＝cos[π－(A＋∠ACB)]＝－cos(A＋∠ACB)＝sin Asin∠ACB－cos Acos∠ACB＝×－×＝.
②在△ABC中，由正弦定理得，AB＝sin∠ACB＝×＝20.
又AD＝3DB，所以BD＝AB＝5，又在△BCD中，由余弦定理得CD＝
＝＝9.

判断三角形的形状

【例2】　(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－acos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
(1)C　(2)D　[(1)∵＝，∴＝，∴b＝c.
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，
∴b2＋c2－a2＝bc，
∴cos A＝＝＝.
∵A∈(0，π)，∴A＝，
∴△ABC是等边三角形．
(2)因为c－acos B＝(2a－b)cos A，
C＝π－(A＋B)，
所以由正弦定理得
sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin B cos A，
所以sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，
所以cos A(sin B－sin A)＝0，
所以cos A＝0或sin B＝sin A，
所以A＝或B＝A或B＝π－A(舍去)，
所以△ABC为等腰或直角三角形．]
[规律方法]　判定三角形形状的方法
(1)化边：通过因式分解，配方等得边的相对应关系.
(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论.)
(1)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝ ＝，则该三角形的形状是(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
(2)在△ABC中，内角A，B，C所对边分别是a，b，c，若sin2＝，则△ABC的形状一定是________．
(1)A　(2)直角三角形　[(1)因为＝，由正弦定理得＝，所以sin 2A＝sin 2B.由＝，可知a≠b，所以A≠B.又A，B∈(0, π)，所以2A＝180°－2B，即A＋B＝90°，所以C＝90°，于是△ABC是直角三角形．
(2)由题意，得＝，即cos B＝，又由余弦定理，得＝，整理得a2＋b2＝c2，所以△ABC为直角三角形．]

与三角形有关的最值(范围)问题

【例3】　(2019·广州调研)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a＝2，acos B＝(2c－b)cos A.
(1)求角A的大小；
(2)求△ABC的周长的最大值．
[解]　(1)法一：由已知，得acos B＋bcos A＝2ccos A.
由正弦定理，得sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos A，
即sin(A＋B)＝2sin Ccos A.
因为sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
所以sin C＝2sin Ccos A.
因为sin C≠0，所以cos A＝.
因为0＜A＜π，所以A＝.
法二：由已知及余弦定理，得a×＝(2c－b)×，即b2＋c2－a2＝bc，
所以cos A＝＝.
因为0＜A＜π，所以A＝.
(2)法一：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
得bc＋4＝b2＋c2，
即(b＋c)2＝3bc＋4.
因为bc≤2，所以(b＋c)2≤(b＋c)2＋4，
即b＋c≤4(当且仅当b＝c＝2时等号成立)，
所以a＋b＋c≤6.
故△ABC的周长的最大值为6.
法二：因为＝＝，且a＝2，A＝，
所以b＝sin B，c＝sin C.
所以a＋b＋c＝2＋(sin B＋sin C)＝2＋sin B＋sin＝2＋4sin.
因为0＜B＜，所以当B＝时，a＋b＋c取得最大值6.
故△ABC的周长的最大值为6.
[规律方法]　求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题，一般转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解.
(1)(2018·郑州一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccos B＝2a＋b，若△ABC的面积S＝c，则ab的最小值为(　　)
A．28 B．36
C．48 D．56
(2)(2019·河北五校联考)在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为(　　)
A. B．2
C．3 D．4
(1)C　(2)D　[(1)在△ABC中，2ccos B＝2a＋b，由正弦定理，得2sin Ccos B＝2sin A＋sin B．又A＝π－(B＋C)，所以sin A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)，所以2sin Ccos B＝2sin(B＋C)＋sin B＝2sin Bcos C＋2cos Bsin C＋sin B，得2sin Bcos C＋sin B＝0，因为sin B≠0，所以cos C＝－，又0＜C＜π，所以C＝.由S＝c＝absin C＝ab×，得c＝.由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2＋ab≥2ab＋ab＝3ab(当且仅当a＝b时取等号)，所以2≥3ab，得ab≥48，所以ab的最小值为48，故选C.
(2)∵C＝，A＋B＋C＝π，∴A＋B＝.由正弦定理，得＝＝＝＝4，∴BC＝4sin A，AC＝4sin B，∴AC＋BC＝4sin B＋4sin A＝4sin＋4sin A＝2cos A＋6sin A＝4sin(A＋φ)，∴当A＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时，AC＋BC取得最大值，为4.故选D.]

解三角形的实际应用

【例4】　(1)江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.
(2)某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/时的速度向小岛B靠拢，我海军舰艇立即以10海里/时的速度前去营救，则舰艇的航向为北偏东________．
(1)10　(2)75°　[(1)如图，过炮台顶部A作水平面的垂线，垂足为B，设A处观测小船C的俯角为45°，设A处观测小船D的俯角为60°，连接BC，BD.
Rt△ABC，∠ACB＝45°，可得
BC＝AB＝30 m，
Rt△ABD中，∠ADB＝60°，可得
BD＝＝10 m，
在△BCD中，BC＝30 m，BD＝10 m，∠CBD＝30°，
由余弦定理可得：
CD2＝BC2＋BD2－2BC·BDcos 30°＝300，
∴CD＝10 m.
(2)如图所示，设所需时间为t小时，
则AB＝10t，CB＝10t，
在△ABC中，根据余弦定理，则有AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°，
可得(10t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos 120°.
整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－(舍去)，
∴舰艇需1小时靠近渔船，此时AB＝10，BC＝10.
在△ABC中，由正弦定理得＝，
∴sin∠CAB＝＝＝.
∴∠CAB＝30°.
所以舰艇航向为北偏东75°.]
[规律方法]　利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的一般思路：
(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；
(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，根据条件列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解.
如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝______m.

100　[由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.
又AB＝600 m，
故由正弦定理得＝，
解得BC＝300 m.
在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300×
＝100(m)．]


1．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　)
A．4　　　 B.
C. D．2
A　[因为cos ＝，所以cos C＝2cos2 －1＝2×2－1＝－.于是，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝52＋12－2×5×1×－＝32，所以AB＝4.故选A.]
2.(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C＝(　　)
A. B.
C. D.
C　[因为S△ABC＝absin C，所以＝absin C．由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcos C，得2abcos C＝2absin C，即cos C＝sin C，所以在△ABC中，C＝.故选C.]
3．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A＝(　　)
A. B.
C．－ D．－
C　[法一：设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
则由题意得S△ABC＝a·a＝acsin B，∴c＝a.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋a2－2×a×a×＝a2，∴b＝a.
∴cos A＝＝＝－.故选C.
法二：同法一得c＝a.
由正弦定理得sin C＝sin A, 又B＝，
∴sin C＝sin＝sin A，即cos A＋sin A＝sin A，
∴tan A＝－3，∴A为钝角．
又∵1＋tan2A＝，∴cos2A＝，
∴cos A＝－.故选C.]
4．(2016·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________.
　[因为A，C为△ABC的内角，且cos A＝，cos C＝，
所以sin A＝，sin C＝，
所以sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.
又a＝1，所以由正弦定理得b＝＝＝×＝.]
5.(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为.
(1)求sin Bsin C；
(2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．
[解]　(1)由题设得acsin B＝，即csin B＝.
由正弦定理得sin Csin B＝.
故sin Bsin C＝.
(2)由题设及(1)得cos Bcos C－sin Bsin C＝－，
即cos(B＋C)＝－.所以B＋C＝，故A＝.
由题意得bcsin A＝，a＝3，所以bc＝8.
由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，
即(b＋c)2－3bc＝9.由bc＝8，得b＋c＝.
故△ABC的周长为3＋.