2020版新一线高考理科数学（北师大版）一轮复习教学案：第2章第2节函数的单调性与最值

第二节　函数的单调性与最值[考纲传真]　1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质．1．函数的单调性(1)单调函数的定义 增函数减函数定义在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间A上是增加的当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间A上是减少的图像描述自左向右看图像是上升的自左向右看图像是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间A上是增加的或减少的，那么称A为单调区间．2．函数的最值前提函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈D，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈D，使得f(x0)＝M(3)对于任意的x∈D，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈D，使得f(x0)＝M结论M为函数y＝f(x)的最大值，记作ymax＝f(x0)M为函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0)[常用结论]1．对任意x1，x2∈D(x1≠x2)，＞0⇔f(x)在D上是增函数，＜0⇔f(x)在D上是减函数．2．对勾函数y＝x＋(a＞0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]．3．在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．4．函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．5．函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝的递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． (　　)(2)若定义在R上的函数f(x)有f(－1)＜f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．(　 )(3)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的递增区间是[1，＋∞)．(　　)(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到． (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是(　　)A．y＝ln(x＋2)　　　　　　　 B．y＝－C．y＝x   D．y＝x＋A　[y＝ln(x＋2)在(－2，＋∞)上是增函数，故A正确．]3．若函数f(x)＝ax＋1在R上递减，则函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的递增区间是(　　)A．(2，＋∞)   B．(－∞，2)C．(－2，＋∞)   D．(－∞，－2)B　[由题意可知a＜0，而函数g(x)＝a(x2－4x＋3)＝a(x－2)2－a，∴g(x)＝a(x2－4x＋3)的递增区间为(－∞，2)．]4．若函数f(x)是R上的减函数，且f(a2－a)＜f(a)，则a的取值范围是(　　)A．(0,2)   B．(－∞，0)∪(2，＋∞)C．(－∞，0)   D．(2，＋∞)B　[由题意得a2－a＞a，解得a＞2或a＜0，故选B.]5．(教材改编)已知函数f(x)＝，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．2　　[易知函数f(x)＝在x∈[2,6]上为减函数，故f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝.]确定函数的单调性(区间)【例1】　(1)(2019·石嘴山模拟)函数y＝ln(－x2＋2x＋3)的减区间是(　　)A．(－1,1]　　　　　　　 B．[1,3)C．(－∞，1]   D．[1，＋∞)(2)试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．(1)B　[令t＝－x2＋2x＋3，由t＞0得－1＜x＜3，故函数的定义域为(－1,3)，要求函数y＝ln(－x2＋2x＋3)的减区间，由复合函数单调性可知，只需求t＝－x2＋2x＋3在(－1,3)上的减区间，即[1,3)．](2)[解]　法一：设－1＜x1＜x2＜1，f(x)＝a＝a，f(x1)－f(x2)＝a－a＝，由于－1＜x1＜x2＜1，所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，故当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上递减；当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上递增．法二：f′(x)＝＝＝－.当a＞0时，f′(x)＜0，函数f(x)在(－1,1)上递减；当a＜0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(－1,1)上递增．[规律方法]　1求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.2①函数单调性的判断方法有：a.定义法；b.图像法；c.利用已知函数的单调性；d.导数法.,②函数y＝fgx的单调性应根据外层函数y＝ft和内层函数t＝gx的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. (1)(2019·北京模拟)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是(　　)A．y＝   B．y＝sin xC．y＝2－x   D．y＝log(x＋1)(2)y＝－x2＋2|x|＋3的递增区间为________．(1)A　(2)(－∞，－1]，[0,1]　[(1)A项是[－1，＋∞)上的增函数，B项不是单调函数，C项是R上的减函数，D项是(－1，＋∞)上的减函数．(2)由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x＜0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，二次函数的图像如图．由图像可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3的递增区间为(－∞，－1]，[0,1]．]求函数的最值【例2】　(1)若函数f(x)＝的最小值为f(0)，则实数a的取值范围是(　　)A．[－1,2]   B．[－1,0]C．[1,2]   D．[0,2](2)函数f(x)＝x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．(3)函数y＝－x(x≥0)的最大值为________．(1)D　(2)3　(3)　[(1)当x＞0时，f(x)＝x＋＋a≥2＋a，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立．故当x＝1时取得最小值2＋a，∵f(x)的最小值为f(0)，∴当x≤0时，f(x)＝(x－a)2递减，故a≥0，此时的最小值为f(0)＝a2，故2＋a≥a2得－1≤a≤2.又a≥0，得0≤a≤2.故选D.(2)∵f(x)＝x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上是递减，∴f(x)max＝f(－1)＝3－log21＝3.(3)令t＝，则t≥0，所以y＝t－t2＝－2＋，当t＝，即x＝时，ymax＝.][规律方法]　求函数最值值域的常用方法及适用类型1单调性法：易确定单调性的函数，利用单调性法研究函数最值值域.2图像法：能作出图像的函数，用图像法，观察其图像最高点、最低点，求出最值值域.3基本不等式法：分子、分母其中一个为一次，一个为二次的函数结构以及两个变量如x，y的函数，一般通过变形使之具备“一正、二定、三相等”的条件，用基本不等式法求最值值域.4导数法：若fx是三次、分式以及含ex，ln x，sin x，cos x结构的函数且f′x可求，可用导数法求函数的最值值域. (1)函数f(x)＝(x＞1)的最小值为________．(2)对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2 x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．(1)8　(2)1　[(1)f(x)＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝8，当且仅当x－1＝，即x＝4时，f(x)min＝8.(2)法一：在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)图像，依题意，h(x)的图像如图所示．易知点A(2,1)为图像的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)＝1.法二：依题意，h(x)＝当0＜x≤2时，h(x)＝log2 x是增函数，当x＞2时，h(x)＝3－x是减函数，所以h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1.]函数单调性的应用►考法1　比较大小【例3】　已知函数f(x)的图像向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)A．c＞a＞b   B．c＞b＞aC．a＞c＞b   D．b＞a＞cD　[根据已知可得函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数．所以a＝f＝f，f(2)＞f(2.5)＞f(3)，所以b＞a＞c.]►考法2　解抽象不等式【例4】　f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(x－8)≤2的解集为________．(8,9]　[因为2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2可得f[x(x－8)]≤f(9)，f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有解得8<x≤9.]►考法3　求参数的取值范围【例5】　已知f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有＞0成立，那么a的取值范围是(　　)A．(1,2)   B.C.   D.C　[由已知条件得f(x)为增函数，所以解得≤a＜2，所以a的取值范围是.故选C.][规律方法]　函数单调性应用问题的常见类型及解题策略1比较大小.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.2解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.3利用单调性求参数.视参数为已知数，依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数. 已知函数f(x)＝log(x2－ax＋3a)在[1，＋∞)内递减，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，2]   B．[2，＋∞)C.   D.D　[由题意可知即－＜a≤2.故选D.]1．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的递增区间是(　　)A．(－∞，－2)　　　　　　　 B．(－∞，1)C．(1，＋∞)   D．(4，＋∞)D　[由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数．要求函数f(x)的递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的递增区间．∵函数t＝x2－2x－8的递增区间为(4，＋∞)，∴函数f(x)的递增区间为(4，＋∞)．故选D.]2．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是(　　)A.B.∪(1，＋∞)C.D.∪ A　[∵f(－x)＝ln(1＋|－x|)－＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．∵当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－，在(0，＋∞)上y＝ln(1＋x)递增，y＝－也递增，根据单调性的性质知，f(x)在(0，＋∞)上递增．综上可知：f(x)>f(2x－1)⇔f(|x|)>f(|2x－1|)⇔|x|>|2x－1|⇔x2>(2x－1)2⇔3x2－4x＋1<0⇔<x<1.故选A.]