2020版新一线高考理科数学（北师大版）一轮复习教学案：第2章第7节函数的图像

第七节　函数的图像[考纲传真]　1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质，并运用函数的图像解简单的方程(不等式)问题．1．利用描点法作函数的图像方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)；(4)描点连线．2．利用图像变换法作函数的图像(1)平移变换(2)对称变换①y＝f(x)的图像y＝－f(x)的图像；②y＝f(x)的图像y＝f(－x)的图像；③y＝f(x)的图像y＝－f(－x)的图像；④y＝ax(a＞0且a≠1)的图像y＝logax(a＞0且a≠1)的图像．(3)伸缩变换[常用结论]1．关于对称的三个重要结论(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图像关于直线x＝a对称．(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图像关于点(a，b)中心对称．(3)若函数y＝f(x)的定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称．2．函数图像平移变换八字方针(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(1－x)的图像，可由y＝f(－x)的图像向左平移1个单位得到． (　　)(2)函数y＝f(x)的图像关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图像关于y轴对称．  (　　)(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(|x|)的图像与y＝|f(x)|的图像相同． (　　)(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图像关于直线x＝1对称．   (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．(教材改编)函数f(x)＝－x的图像关于(　　)A．y轴对称　　　　　　　 B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称   D．直线y＝x对称C　[∵f(x)＝－x是奇函数，∴图像关于原点对称．]3．函数f(x)的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝(　　)A．ex＋1   B．ex－1C．e－x＋1   D．e－x－1D　[依题意，与曲线y＝ex关于y轴对称的曲线是y＝e－x，于是f(x)相当于y＝e－x向左平移1个单位的结果，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.]4．(教材改编)函数f(x)＝x2－x的大致图像是(　　)　　　　　              A　　　　　　　　B　　　　　              C　　　　　　　　DB　[∵f(0)＝－1＜0，故排除选项D；又f(－2)＝0，f(－4)＝0，故排除选项A、C，故选B.]5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．(0，＋∞)　[在同一个坐标系中画出函数y＝|x|与y＝a－x的图像，如图所示．由图像知当a＞0时，方程|x|＝a－x只有一个解．]作函数的图像【例1】　作出下列函数的图像：(1)y＝|x|；(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝；(4)y＝x2－2|x|－1.[解]　(1)先作出y＝x的图像，保留y＝x图像中x≥0的部分，再作出y＝x的图像中x＞0部分关于y轴的对称部分，即得y＝|x|的图像，如图①实线部分．　　　　　　             ①　　　　　　　②(2)将函数y＝log2x的图像向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图像，如图②.(3)∵y＝＝2＋，故函数图像可由y＝图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图③.　　　　　　            ③　　　　　　　　 ④(4)∵y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图像，再根据对称性作出(－∞，0)上的图像，得图像如图④.[规律方法]　函数图像的常用画法(1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图像的关键点，进而直接作出图像．(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图像．(3)图像变换法：若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图像变换作出．易错警示：注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．识图与辨图【例2】　(1)(2018·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝的图像大致为(　　)　　　　　         A　　　　　　　　　B　　　　　             C　　　　　　　　　 D(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图像如图所示，则y＝－f(2－x)的图像为(　　)　　　　　　          A　　　　　　　　B　　　　　　           C　　　　　　　　　　D(1)B　(2)B　[(1)当x＜0时，因为ex－e－x＜0，所以此时f(x)＝＜0，故排除A、D；又f(1)＝e－＞2，故排除C，选B.(2)当x＝0时，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；当x＝1时，－f(2－x)＝－f(1)＝－1.观察各选项可知，应选B.][规律方法]　函数图像的辨识可从以下方面入手：1从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置；2从函数的单调性，判断图像的变化趋势；3从函数的奇偶性，判断图像的对称性；4从函数的周期性，判断图像的循环往复；5从函数的特征点，排除不合要求的图像. (1)已知图1中的图像对应的函数为y＝f(x)，则图2中的图像对应的函数为(　　)　　　　　　　            图1　　　　　图2A．y＝f(|x|)　　　　　　 B．y＝|f(x)|C．y＝f(－|x|)   D．y＝－f(|x|)(2)如图，圆与两坐标轴分别切于A，B两点，圆上一动点P从A开始沿圆周按逆时针方向匀速旋转回到A点，则与△OBP的面积随时间变化的图像相符合的是(　　)　　　        A　　　　　B　　　　　C　　　　　　D(1)C　(2)A　[(1)由题图知，图2中的图像对应的函数为y＝f(－|x|)，故选C.(2)当P从A运动到B的过程中，△OBP的面积逐渐减小，在点B处，△OBP的面积为零，当P从B运动到圆的最高点的过程中，△OBP的面积又逐渐增大，且当P位于圆的最高点时，△OBP的面积达到最大值，当P从最高点运动到A点的过程中，△OBP的面积又逐渐减小，故选A.]函数图像的应用►考法1　研究函数的性质【例3】　设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝1－x，则：①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；④当x∈(3,4)时，f(x)＝x－3.其中所有正确命题的序号是________．①②④　[由已知条件得f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)是以2为周期的周期函数，①正确；当－1≤x≤0时，0≤－x≤1，f(x)＝f(－x)＝1＋x，函数y＝f(x)的部分图像如图所示：由图像知②正确，③不正确；当3＜x＜4时，－1＜x－4＜0，f(x)＝f(x－4)＝x－3，因此④正确．故正确命题的序号为①②④.]►考法2　求参数的取值范围【例4】　(1)已知函数f(x)＝x2＋ex－(x＜0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图像上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是(　　)A.   B．(－∞，)C.   D.(2)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是________．(1)B　(2)(0,1]　[(1)由题意知，设x0∈(－∞，0)，使得f(x0)＝g(－x0)，即x＋e x0－＝(－x0)2＋ln(－x0＋a)，∴ex0－ln(－x0＋a)－＝0.令y1＝ex－，y2＝ln(－x＋a)，要使得函数图像的交点A在y轴左侧，如图，则ln a＜＝ln e，∴a＜e.(2)作出函数y＝f(x)与y＝k的图像，如图所示，由图可知k∈(0,1]．][规律方法]　1注意函数图像特征与性质的对应关系.2方程、不等式的求解可转化为函数图像的交点和上下关系问题. (1)(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则(　　)A．f(x)在(0,2)递增B．f(x)在(0,2)递减C．y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称D．y＝f(x)的图像关于点(1,0)对称(2)已知函数f(x)＝ln x－x2与g(x)＝(x－2)2＋－m(m∈R)的图像上存在关于(1,0)对称的点，则实数m的取值范围是(　　)A．(－∞，1－ln 2)   B．(－∞，1－ln 2]C．(1－ln 2，＋∞)   D．[1－ln 2，＋∞)(1)C　(2)D　[(1)f(x)的定义域为(0,2)．f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)．设u＝－x2＋2x，x∈(0,2)，则u＝－x2＋2x在(0,1)上递增，在(1,2)上递减．又y＝ln u在其定义域上递增，∴f(x)＝ln(－x2＋2x)在(0,1)上递增，在(1,2)上递减．∴选项A，B错误．∵f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝f(2－x)，∴f(x)的图像关于直线x＝1对称，∴选项C正确．∵f(2－x)＋f(x)＝[ln(2－x)＋ln x]＋[ln x＋ln(2－x)]＝2[ln x＋ln(2－x)]，不恒为0，∴f(x)的图像不关于点(1,0)对称，∴选项D错误．故选C.(2)∵f(x)＝ln x－x2与g(x)＝(x－2)2＋－m(m∈R)的图像上存在关于(1,0)对称的点，∴f(x)＋g(2－x)＝0有解，∴ln x－x2＝－x2－＋m，∴m＝ln x＋在(0，＋∞)内有解．∵m′＝，∴函数在内递减，在内递增，∴m≥ln ＋1＝1－ln 2.]1．(2018·全国卷Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图像大致为(　　)　　　 　　             A　　　　　　　　　B　　　 　　            C　　　　　　　　　　DD　[当x＝1时，y＝2，排除A，B.由y′＝－4x3＋2x＝0，得x＝0或x＝±，结合三次函数的图像特征，知原函数在(－1,1)上有三个极值点，所以排除C，故选D.]2．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图像的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则(xi＋yi)＝(　　)A．0　　　　B．m　　　　C．2m　　　　D．4mB　[因为f(－x)＝2－f(x)，所以f(－x)＋f(x)＝2.因为＝0，＝1，所以函数y＝f(x)的图像关于点(0,1)对称．函数y＝＝1＋，故其图像也关于点(0,1)对称．所以函数y＝与y＝f(x)图像的交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以xi＝0，yi＝2×＝m，所以(xi＋yi)＝m.]