2020版新一线高考理科数学（北师大版）一轮复习教学案：第2章第12节定积分与微积分基本定理

第十二节　定积分与微积分基本定理[考纲传真]　1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义．1．定积分的概念与几何意义(1)定积分的定义如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点δi(i＝1,2，…，n)，作和式s′＝f(δ1)Δx1＋f(δ2)Δx2＋…＋f(δi)Δxi＋…＋f(δn)Δxn.当每个小区间的长度Δx趋于0时，s′的值趋于一个常数A.我们称常数A叫作函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dx＝A.在f(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．(2)定积分的几何意义图形阴影部分面积S＝f(x)dxS＝－f(x)dxS＝f(x)dx－f(x)dxS＝f(x)dx－g(x)dx＝[f(x)－g(x)]dx 2．定积分的性质(1)1dx＝b－a；(2)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)；(3)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；(4)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a<c<b)．3．微积分基本定理如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿­莱布尼茨公式．通常称F(x)是f(x)的一个原函数．为了方便，常把F(b)－F(a)记作F(x)|，即f(x)dx＝F(x)|＝F(b)－F(a)．　函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有(1)若f(x)为偶函数，则－af(x)dx＝2f(x)dx.(2)若f(x)为奇函数，则－af(x)dx＝0.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)dx＝f(t)dt. (　　)(2)定积分一定是曲边梯形的面积． (　　)(3)若f(x)dx＜0，那么由y＝f(x)的图像，直线x＝a，直线x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．                            (　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)×2.exdx的值等于(　　)A．e　　　　　　　  B．1－eC．e－1    D．(e－1)C　[exdx＝ex＝e－1.]3．(教材改编)已知质点的速率v＝10t，则从t＝0到t＝t0质点所经过的路程是(　　)A．10t　　　　B．5t　　　　C.t　　　　 D．tB　[S＝∫t00vdt＝∫t0010tdt＝5t2|t00＝5t.]4．(教材改编)曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________．　[如图，阴影部分的面积即为所求．由得A(1,1)．故所求面积为S＝(x－x2)dx＝＝.]5.dx＝________.　[dx表示曲线y＝与直线x＝－1，x＝1及x轴围成的曲边梯形的面积，故dx＝.]定积分的计算1．(2019·玉溪模拟)计算dx的值为(　　)A.　　　　　　　  B．＋ln 2C.＋ln 2    D．3＋ln 2B　[dx＝＝2＋ln 2－＝＋ln 2.故选 B．]2．(2018·吉林三模)|x－1|dx＝(　　)A．1    B．2C．3    D．D　[|x－1|dx＝(1－x)dx＝＝1－＝.]3．设f(x)＝则f(x)dx等于(　　)A.    B．C.    D．不存在C　[如图，f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx＝x3＋＝＋＝.]4.(sin x－cos x)dx＝________.2　[(sin x－cos x)dx＝(-cos x-sin x)|＝1+1＝2.][规律方法]　1.运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点(1)对被积函数要先化简，再求积分．(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号，再求积分．(4)注意用“F′(x)＝f(x)”检验积分的对错．2．根据定积分的几何意义，可利用面积求定积分．定积分的几何意义【例1】　(1)(2019·皖南八校联考)用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值，设f(x)＝min，则由函数f(x)的图像，x轴与直线x＝和直线x＝2所围成的封闭图形的面积为________．(2)(2019·黄山模拟)已知曲线y＝x2与直线y＝kx(k＞0)所围成的曲边图形的面积为，则k＝________.(1)＋ln 2　(2)2[(1)由题意，围成的封闭图形如图中阴影部分，由题意，S＝dx＋dx＝x1＋ln x＝＋ln 2＝＋ln 2，故答案为＋ln 2.(2)由得或则曲线y＝x2与直线y＝kx(k＞0)所围成的曲边梯形的面积为(kx－x2)dx＝|＝－k3＝，即k3＝8，所以k＝2.][规律方法]　利用定积分求平面图形面积的步骤1根据题意画出图形.2借助图形确定被积函数，求交点坐标，确定积分的上、下限.3把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和.4计算定积分，写出答案.易错警示：利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数.当图形的边界不同时，要分不同情况讨论. (1)曲线y＝－x＋2，y＝与x轴所围成的面积为________．(2)如图所示，由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(0，－3)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积为________．(1)　(2)　[(1)如图所示，由y＝及y＝－x＋2可得交点横坐标为x＝1.由定积分的几何意义可知，由y＝，y＝－x＋2及x轴所围成的封闭图形的面积为dx＋(－x＋2)dx＝x|＋|＝.(2)由y＝－x2＋4x－3，得y′＝－2x＋4，∴y′|x＝0＝4，y′|x＝3＝－2，∴抛物线在A点处的切线方程为y＝4x－3，在B点处的切线方程为y＝－2x＋6，联立方程解得∴两切线交点的横坐标为，定积分在物理中的应用【例2】　(1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是(　　)A．1＋25ln 5　　　　　　  B．8＋25lnC．4＋25ln 5    D．4＋50ln 2(2)(2019·渭南模拟)一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时，F(x)做的功为(　　)A. J    B． JC. J    D．2 J(1)C　(2)C　[(1)由v(t)＝7－3t＋＝0，可得t＝4，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s，此期间行驶的距离为v(t)dt＝dt＝ |＝4＋25ln 5.(2)变力F在位移方向上的分力为Fcos 30°，故F(x)做的功为W＝(5－x2)cos 30°dx＝(5－x2)dx＝5x－x3＝.][规律方法]　定积分在物理中的两个应用1求物体变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v＝vt，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝vtdt.2变力做功，一物体在变力Fx的作用下，沿着与Fx相同方向从x＝a运动到x＝b时，力Fx所做的功是W＝Fxdx. 物体A以速度v＝3t2＋1(t的单位：s，v的单位：m/s)在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5 m处以v＝10t(t的单位：s，v的单位：m/s)的速度与A同向运动，当两物体相遇时，相遇地与物体A的出发地的距离是________m.130　[设A追上B时，所用的时间为t0，则SA＝SB＋5，即∫t00(3t2＋1)dt＝∫t00(10t)dt＋5，∴(t3＋t)t00＝5t＋5∴t＋t0＝5(t＋1)即t0＝5，∴SA＝5t＋5＝5×52＋5＝130(m)．]