2020版新一线高考理科数学（北师大版）一轮复习教学案：第8章第5节第1课时椭圆的定义、标准方程及其性质


第五节　椭　圆
[考纲传真]　1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用．

1．椭圆的定义
把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形


性
质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
离心率
e＝，且e∈(0,1)
a，b，c
的关系
c2＝a2－b2

1．点P(x0，y0)和椭圆的位置关系
(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋＜1.
(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1.
(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋＞1.
2．焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中：
(1)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
(2)S＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
(3)a－c≤|PF1|≤a＋c.
3．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2.
4．已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.
5．椭圆中点弦的斜率公式
若M(x0，y0)是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦AB(AB不平行y轴)的中点，则有kAB·kOM＝－，即kAB＝－.
6．弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长
|AB|＝|x1－x2|
＝
＝|y1－y2|＝(k为直线斜率)．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆． (　　)
(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)． (　　)
(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆． (　　)
(4)关于x，y的方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2．椭圆＋＝1的焦点坐标为(　　)
A．(±3,0)　　　　　　　　 B．(0，±3)
C．(±9,0) D．(0，±9)
B　[由题意可知a2＝25，b2＝16，∴c2＝25－16＝9，∴c＝±3，
又焦点在y轴上，故焦点坐标为(0，±3)．]
3．已知动点M到两个定点A(－2,0)，B(2,0)的距离之和为6，则动点M的轨迹方程为(　　)
A.＋y2＝1 B．＋＝1
C.＋x2＝1 D．＋＝1
D　[由题意有6＞2＋2＝4，故点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，则2a＝6，c＝2，故a2＝9，所以b2＝a2－c2＝5，故椭圆的方程为＋＝1，故选D．]
4．若一个椭圆长轴的长、短轴的长和焦距成等比数列，则该椭圆的离心率是(　　)
A. B．
C. D．
C　[由题意有b2＝ac.又b2＝a2－c2，则a2－c2＝ac，即1－2＝，则e2＋e－1＝0，解得e＝.因为0＜e＜1，所以e＝.故选C.]
5．(教材改编)椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点，则△F1AB的周长为________．
20　[由椭圆的定义可知，△F1AB的周长为4a＝4×5＝20.]
第1课时　椭圆的定义、标准方程及其性质

椭圆的定义及其应用

【例1】　(1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A.－＝1　　　　　 B．＋＝1
C.－＝1 D．＋＝1
(2)F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为(　　)
A．7 B．
C. D．
(1)D　(2)C　[(1)设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，又|C1C2|＝8＜16，∴动圆圆心M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，则a＝8，c＝4，∴b2＝48，故所求的轨迹方程为＋＝1.
(2)由题意得a＝3，b＝，c＝，
∴|F1F2|＝2，|AF1|＋|AF2|＝6.
∵|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cos 45°＝|AF1|2－4|AF1|＋8，
∴(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8.
∴|AF1|＝，∴S△AF1F2＝××2×＝.]
[规律方法]　(1)椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等．
(2)椭圆的定义式必须满足2a＞|F1F2|.
(1)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
(2)(2019·徐州模拟)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
(1)A　(2)3　[(1)由题意可知，CD是线段MF的垂直平分线，
∴|MP|＝|PF|，
∴|PF|＋|PO|＝|PM|＋|PO|＝|MO|(定值)．
又|MO|＞|FO|，
∴点P的轨迹是以F，O为焦点的椭圆，故选A.
(2)设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，
则所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2，所以S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，所以b＝3.]
椭圆的标准方程

【例2】　(1)在△ABC中，A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方程是(　　)
A.＋＝1(y≠0) B．＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(y≠0) D．＋＝1(y≠0)
(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆方程为________．
(3)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．
(1)A　(2)＋＝1　(3)＋＝1　[(1)由|AC|＋|BC|＝18－8＝10＞8知，顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(A，B，C不共线)．设其方程为＋＝1(a＞b＞0)，则a＝5，c＝4，从而b＝3.由A，B，C不共线知y≠0.故顶点C的轨迹方程是＋＝1(y≠0)．
(2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n＞0，m≠n)．
由
解得m＝，n＝.
∴椭圆方程为＋＝1.
(3)法一：椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.
由椭圆的定义知，
2a＝＋，
解得a＝2.
由c2＝a2－b2可得b2＝4，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：∵所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，
∴其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.
设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∵c2＝16，且c2＝a2－b2，
故a2－b2＝16.①
又点(，－)在所求椭圆上，
∴＋＝1，
则＋＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.]
[规律方法]　(1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法．
(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a＞|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式．
(1)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)
A.＋＝1 B．＋y2＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
(2)椭圆E的焦点在x轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E的标准方程为(　　)
A.＋＝1 B．＋y2＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
(3)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．
(1)A　(2)C　(3)x2＋y2＝1　[(1)△AF1B的周长是4a＝4，
所以a＝，e＝＝，
所以c＝1，
那么b2＝a2－c2＝2，
所以方程是＋＝1.故选A.
(2)由条件可知b＝c＝，a＝2，所以椭圆方程为＋＝1，故选C.
(3)不妨设点A在第一象限，如图所示．
∵AF2⊥x轴，∴A(c，b2)(其中c2＝1－b2,0＜b＜1，c＞0)．
又∵|AF1|＝3|F1B|，
∴由＝3得B，
代入x2＋＝1得＋＝1.
又c2＝1－b2，∴b2＝.
故椭圆E的方程为x2＋y2＝1.]
椭圆的几何性质

►考法1　求离心率或范围
【例3】　(1)(2019·深圳模拟)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(　　)
A. B．
C. D．
(2)(2017·全国卷Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　　)
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，]∪[4，＋∞)
(1)D　(2)A　[(1)法一：
如图，在Rt△PF2F1中，
∠PF1F2＝30°，|F1F2|＝2c，
∴|PF1|＝＝，
|PF2|＝2c·tan 30°＝.
∵|PF1|＋|PF2|＝2a，
即＋＝2a，可得c＝a.
∴e＝＝.
法二：(特殊值法)在Rt△PF2F1中 ，令|PF2|＝1，
∵∠PF1F2＝30°，
∴|PF1|＝2，|F1F2|＝.
∴e＝＝＝.故选D．
(2)由题意知，当M在短轴顶点时，∠AMB最大．
①如图1，当焦点在x轴，即m＜3时，
a＝，b＝，tan α＝≥tan 60°＝，∴0＜m≤1.

　　　　　 图1　　　　　　　　　　　　图2
②如图2，当焦点在y轴，即m＞3时，
a＝，b＝，tan α＝≥tan 60°＝，∴m≥9.
综上，m∈(0,1]∪[9，＋∞)，故选A.]
►考法2　与椭圆的几何性质有关的最值问题
【例4】　(2019·合肥质检)如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则·的最大值为________．
4　[由题意知a＝2，因为e＝＝，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3.故椭圆方程为＋＝1.
设P点坐标为(x0，y0)．所以－2≤x0≤2，－≤y0≤.
因为F(－1,0)，A(2,0)，
＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，
所以·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2.
则当x0＝－2时，·取得最大值4.]
[规律方法]　(1)求椭圆离心率的方法
①直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解．
②列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解．
(2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路
求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系．建立关于a、b、c的方程或不等式．
(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为(　　)
A．1－ B．2－
C. D．－1
(2)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)
A．2 B．3
C．6 D．8
(1)D　(2)C　[(1)由题设知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝c.由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，即c＋c＝2a，所以(＋1)c＝2a，故椭圆C的离心率e＝＝＝－1.故选 D．
(2)由椭圆＋＝1可得F(－1,0)，点O(0,0)，设P(x，y)(－2≤x≤2)，
则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，－2≤x≤2，
当且仅当x＝2时，·取得最大值6.]

1.(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)
A.　　　　　　　　 B．
C. D．
D　[由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|＝2c，∵△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c.∵|OF2|＝c，∴点P坐标为(c＋2ccos 60°，2csin 60°)，即点P(2c，c)．∵点P在过点A，且斜率为的直线上，∴＝，解得＝，∴e＝，故选D．]
2．(2016·全国卷Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　　)
A.　　　　　　　　　　 B．
C. D．
B　[如图，|OB|为椭圆中心到l的距离，则|OA|·|OF|＝|AF|·|OB|，即bc＝a·，所以e＝＝.]