2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第27课__三角函数的图象与性质（1）

____第27课__三角函数的图象与性质(1)____

1. 能描绘y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，并能根据图象理解三角函数的性质(定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、最值、对称性等)．

2. 了解三角函数的周期性，理解三角函数y＝Asin(ωx＋φ)、y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T＝及y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝.

1. 阅读：必修4第24～33页．

2. 解悟：①如何理解周期函数？三角函数y＝Asin(ωx＋φ)、y＝Acos(ωx＋φ)、y＝Atan(ωx＋φ)的周期各是多少？②怎样作出三角函数的图象？如何抓住其中的关键之处？③你能根据图象说出三角函数的有关性质吗？④你能领会必修4第30～33页例题的意图吗？体会每个例题的作用．

3. 践习：在教材空白处，完成必修4第32页练习第2、3、4、5、7题.

　基础诊断　

1.  关于正弦函数y＝sinx有下列说法：

①图象关于原点对称；

②图象关于y轴对称；

③关于直线x＝对称；

④关于(π，0)对称；

⑤在[－2π，2π]上是周期函数；

⑥在第一象限是单调增函数．

其中正确的是__①③④__．(填序号)

2.  函数y＝2cos2x的单调增区间是，k∈Z．

解析：函数y＝2cos2x＝1＋cos2x，则函数y的增区间为－π＋2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，即kπ－≤x≤kπ，k∈Z.

3.  函数f(x)＝sin在区间上的最小值为__－__．

解析：因为x∈，所以2x－∈，所以f(x)min＝f(0)＝sin＝－.

4.  下列函数中，最小正周期为π的奇函数有__②__．(填序号)

①y＝sin；

②y＝cos；

③y＝sin2x＋cos2x；

④y＝sinx＋cosx.

解析：y＝sin＝cos2x为偶函数；y＝cos＝－sin2x为奇函数，且周期为π；y＝sin2x＋cos2x＝sin为非奇非偶函数；y＝sinx＋cosx＝sin为非奇非偶函数．

　范例导航　

考向❶  三角函数的定义域与值域问题

例1　(1) 求下列函数的定义域：

①y＝lg；

②y＝.

(2) 求下列函数的值域：

①y＝1－2sinx，x∈；

②y＝.

【点评】 结合函数图象或单位圆考察函数的定义域，可以数形结合，降低思维难度．

解析：(1) ①由＋2cosx>0得cosx>－，

所以x∈，k∈Z.

②由tanx－≥0，得x∈[kπ＋，kπ＋)，k∈Z.

(2) ①因为x∈，所以sinx∈，

所以－2sinx∈[－2，－1]，所以y∈[－1，0]．

②方法一： y＝＝＝－＋，　

因为sinx∈∪，所以－4sinx∈[－4，－2)∪(－2，4]，所以2－4sinx∈[－2，0)∪(0，6]．

所以y∈(－∞，－3]∪.

方法二：y＝，则sinx＝，所以－1≤<或<≤1，

所以y∈(－∞，－3]∪.

【注】 有关三角函数的定义域、值域问题的求解，处理方法与其他函数大体相同，要注意的是三角函数自身有定义域和值域的限定．如： tanx，x≠kπ＋，k∈Z；|sinx|≤1，|cosx|≤1.单位圆是处理求角、求值问题的有力的工具，要熟练掌握．

当0<x<π时，求函数y＝的值域．

解析：令t＝sinx－cosx，则t＝sin.

因为0<x<π，所以－<x－<，

所以－1<t≤.又因为sinxcosx＝，

所以y＝＝＝，

所以≤y<1，故值域为.

考向❷  三角函数的性质

例2　已知函数f(x)＝(sinx＋cosx)2＋cos2x.

(1) 求函数f(x)的最小正周期；

(2) 求函数f(x)在上的最大值和最小值．

解析：(1) f(x)＝(sinx＋cosx)2＋cos2x＝1＋sin2x＋cos2x＝1＋sin，

所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.

(2) 因为x∈，所以2x＋∈，

所以sin∈，

所以函数f(x)的最大值为1＋，最小值为0.

【注】 y＝asinx＋bcosx型的最值：f(x)max＝，f(x)min＝－.求解中运用的基本方法是“利用辅助角法”，将较复杂的三角式转化成“y＝Asin(ωx＋φ)”的形式，将异名三角式化归成同名三角式．当x的取值范围受限制时，其值域还得进一步对自变量的取值范围仔细地考察.

已知函数f(x)＝1－2sin2＋2sin(x＋)cos，求：

(1) 函数f(x)的最小正周期；

(2) 函数f(x)的单调增区间．

解析：f(x)＝cos＋sin

＝sin＝sin

＝cos2x.

(1) 函数f(x)的最小正周期是T＝＝π.

(2) 当2kπ－π≤2x≤2kπ即kπ－≤x≤kπ(k∈Z)时，函数f(x)＝cos2x 是增函数，故函数f(x)的单调增区间是(k∈Z)．

【变式题】

已知函数f(x)＝2sinωx·cosωx＋cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.

(1) 求ω的值；

(2)  求函数f(x)的单调增区间．

解析：(1) 因为f(x)＝2sinωx·cosωx＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＝sin，所以f(x)的最小正周期T＝＝. 由题设知＝π，解得ω＝1.

(2)  由(1)知f(x)＝sin，函数y＝sinx的单调增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)．由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．

考向❸  三角函数的性质及三角求值的综合应用

　　例3　已知函数f(x)＝sin.

(1) 求函数f(x)的单调增区间；

(2) 若α是第二象限角，f＝cos(α＋)·cos2α，求cosα－sinα.

解析：(1) 由2kπ－≤3x＋≤2kπ＋，k∈Z得－≤x≤＋，k∈Z，

所以函数f(x)的单调增区间为[－，＋]，k∈Z.

(2) f＝sin＝cos(α＋)(cos2α－sin2α)，

即(sinα＋cosα)＝·(sinα－cosα)2(sinα＋cosα)．

当sinα＋cosα＝0时，α是第二象限角，则α＝2kπ＋，k∈Z，

此时cosα－sinα＝－；

当sinα＋cosα≠0时，(cosα－sinα)2＝.

因为α是第二象限角，

所以cosα－sinα＝－.

综上可得，cosα－sinα＝－或－.

【注】 求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间是从ωx＋φ到x的运算，就是求x的范围使得ωx＋φ在y＝Asin(ωx＋φ)能够单调．

　自测反馈　

1. 已知函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在上单调递增，则ω的取值范围是____．

解析：因为函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在上单调递增，所以0·ω≥2kπ－且≤2kπ＋，k∈Z.因为ω>0，所以当k＝0时可得0<ω≤.

2. 设函数f(x)＝A＋Bsinx，当B<0时，f(x)的最大值是，最小值是－，则A＋B＝__－__．

解析：由题意得所以A＝，B＝－1，所以A＋B＝－.

3. 若关于x的方程sin＝k在[0，π]上有两解，则实数k的取值范围是____．

解析：因为x∈[0，π]，所以x＋∈，所以sin∈，所以sin∈[－1，]，因为sin＝k在[0，π]上有两解，所以k∈[1，)．

4. 已知函数f(x)＝sin，若y＝f(x－φ)(0<φ<)是偶函数，则φ的值为____．

解析：因为f(x)＝sin，所以y＝f(x－φ)＝sin＝sin.因为y＝f(x－φ)是偶函数，所以－2φ＋＝kπ＋，k∈Z，所以φ＝－－，k∈Z，因为0<φ<，所以φ＝.

1. 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角函数不等式，常借助三角函数图象来求解．

2. 三角函数求值域时要熟悉几种常见形式，主要有：①形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式；②含sinx，cosx，tanx的复合函数形式；③整体思想求解含sinx±cosx，sinxcosx形式，比如求函数y＝sinx＋cosx＋sinxcosx的值域．

3. 对于形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)，可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t的性质．

4. 你还有哪些体悟，写下来：