2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第85课综合法与分析法

第85课综合法与分析法　　了解三种证明方法：分析法、综合法和反证法的思考过程和特点，会用分析法、综合法和反证法证明一些简单的数学命题.1.  阅读：文科：选修12第46～51页；理科：选修22第82～87页.2.  解悟：①分析法、综合法的思考过程和特点分别是什么？这两种证明方法有什么不同之处？②反证法证明的一般步骤是什么？试举例说明.3.  践习：文科完成教材选修12第48页练习第1、4题；理科完成教材选修22第84页练习第1、4题.　基础诊断　1. 用反证法证明命题“a，b∈R，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是　a，b都不能被5整除　.2. 求证：＋<＋.解析：要证＋<＋，即证(＋)2<(＋)2，即证3＋6＋2<4＋5＋2，即证<，即证18<20，这个显然成立，所以原不等式成立.3. 设a，b为非零向量，且a，b不平行，求证：a＋b与a－b不平行.解析：假设a＋b与a－b平行，则a＋b＝λ，λ∈R，λ≠0， 所以a＋b＝0.因为a，b不平行，所以该方程组无解，故假设不成立，所以原命题成立.　范例导航　考向❶   用综合法与分析法证明命题例1　若a，b，c是不全相等的正数，求证：lg＋lg＋lg>lg a＋lg b＋lg c.　　解析：方法一：要证lg＋lg＋lg>lga＋lgb＋lgc， 只需证lg>lg.因为a，b，c>0，所以只需证··>abc，由基本不等式得≥，≥，≥，把三个式子左边、右边分别相乘，得··≥abc.又a，b，c不全相等，所以··>abc成立，所以原不等式lg＋lg＋lg>lga＋lgb＋lgc成立.方法二：因为a，b，c是不全相等的正数，由基本不等式得≥，≥，≥，把三个式子左边、右边分别相乘，得··≥abc.又a，b，c不全相等，所以··>abc>0，两边同时取对数，得lg>lg，所以lg＋lg＋lg>lga＋lgb＋lgc.已知a>0，求证：－≥a＋－2.解析：要证－≥a＋－2，只需要证＋2≥a＋＋.因为a>0，故只需要证≥，　即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2＋2，从而只需要证2≥，只需要证4≥2，即a2＋≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立.考向❷   用反证法证明命题例2　已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.(1) 求数列{an}的通项公式；(2) 求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列.解析：(1) 当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，两式相减得an＋1＝an，所以{an}是首项为1，公比为的等比数列，所以an＝.(2)  反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p<q<r，且p，q，r∈N*)，则2·＝＋，所以2·2r－q＝2r－p＋1.①因为p<q<r，所以r－q，r－p∈N*，所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立，所以假设不成立，原命题得证.设数列{an}是公比为q的等比数列.(1)  推导{an}的前n项和公式；(2)  设q≠1，求证：数列{an＋1}不是等比数列.解析：(1)  设{an}的前n项和为Sn，则Sn＝a1＋a2＋…＋an.因为数列{an}是公比为q的等比数列，所以当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1.当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，　①qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，　②①－②得(1－q)Sn＝a1－a1qn，所以Sn＝.综上所述，Sn＝(2)  假设数列{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，即a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1.因为a1≠0，所以2qk＝qk－1＋qk＋1.因为q≠0，所以q2－2q＋1＝0，所以q＝1，这与已知矛盾，所以假设不成立，故数列{an＋1}不是等比数列.　自测反馈　1. 已知a，b，c成等差数列，且公差d≠0，求证：，，不可能成等差数列.解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.假设，，成等差数列，则＝＋，所以b(a＋c)＝2ac，所以(a＋c)2＝4ac，所以(a－c)2＝0，所以a＝c，所以d＝0，这与题设d≠0矛盾，  所以，，不可能成等差数列.2. 求证：＝.解析：方法一：由题意知，x的终边不在y轴上.要证＝，只需证cos2x＝(1－sinx)(1＋sinx)＝1－sin2x，只需证sin2x＋cos2x＝1，这个式子显然成立，故原式成立.方法二：由题意知，x的终边不在y轴上.因为sin2x＋cos2x＝1，所以cos2x＝1－sin2x＝(1＋sinx)(1－sinx).①因为x的终边不在y轴上，所以cosx≠0，1－sinx≠0，将①式左、右两端同时除以cosx(1－sinx)，得＝.3. △ABC的三个内角A，B，C成等差数列，求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.解析：要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，即证＋＝，即证＋＝3，即证＋＝1，需证c2＋a2＝ac＋b2.因为△ABC的内角A，B，C成等差数列，所以2B＝A＋C.又A＋B＋C＝π，所以B＝.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos＝a2＋c2－ac，所以c2＋a2＝ac＋b2成立，所以(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1成立. 1. 综合法一般从条件出发，“由因导果”； 分析法一般紧抓证题目标，“执果索因”.2. 反证法就是一种常用的间接证明方法.反证法的实质在于：若肯定命题的假设而否定其结论，则会导致矛盾，从而命题成立.3. 你还有哪些体悟，写下来：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　