2021版高考物理（基础版）一轮复习学案：第一章　3素养探究课（一）　运动观念——运动图象　追及和相遇问题

素养探究课(一)　运动观念——运动图象　追及和相遇问题

　运动图象问题[学生用书P10]
【题型解读】
1．运动学图象主要有x－t、v－t、a－t图象，应用图象解题时主要看图象中的“轴”“线”“斜率”“点”“面积”“截距”六要素：

一般意义
x－t图象
v－t图象
a－t图象
轴
图象描述哪两个物理量之间的关系
纵轴—位移
横轴—时间
纵轴—速度
横轴—时间
纵轴—加速度
横轴—时间
线
表示物理量y随物理量x的变化过程和规律
运动物体的位移与时间的关系
运动物体的速度与时间的关系
运动物体的加速度与时间的关系
斜率
k＝，定性表示y随x变化的快慢
某点的斜率表示该点的瞬时速度
某点的斜率表示该点的加速度
某点的斜率表示该点加速度的变化率
点
两线交点表示对应纵、横坐标轴物理量相等
两线交点
表示两物体相遇
两线交点表示两物体在该时刻速度相同
两线交点表示两物体该时刻加速度相同
面积
图线和时间轴所围的面积，也往往代表一个物理量，这要看两物理量的乘积有无意义
无意义
图线和时间轴所围的面积，表示物体运动的位移
图线和时间轴所围的面积，表示物体的速度变化量
截距
图线在坐标轴上的截距一般表示物理过程的“初始”情况
在纵轴上的截距表示t＝0时的位移
在纵轴上的截距表示t＝0时的速度
在纵轴上
的截距表
示t＝0时
的加速度
2.图象问题常见的是x－t和v－t图象，在处理特殊图象的相关问题时，可以把处理常见图象的思想以及方法加以迁移，通过物理情境遵循的规律，从图象中提取有用的信息，根据相应的物理规律或物理公式解答相关问题．处理图象问题可参考如下操作流程：

【典题例析】
制动防抱死系统(antilock brake system)简称ABS，其作用就是在汽车制动时，自动控制制动器制动力的大小，使车轮不被抱死，处于边滚边滑的状态，以保证车轮与地面的附着力为最大值．某汽车在启用ABS刹车系统和不启用该刹车系统紧急刹车时，其车速与时间的变化关系分别如图中的①、②图线所示．由图可知，启用ABS后(　　)

A．瞬时速度总比不启用ABS时小
B．加速度总比不启用ABS时大
C．刹车后的平均速度比不启用ABS时小
D．刹车后前行的距离比不启用ABS更短
[解析]　图象中各点的纵坐标表示对应的速度，由题图可知，启用ABS后瞬时速度开始时比不启用时要大，故A错误；图象的斜率表示加速度，由题图可知，开始时的加速度小于不启用时的加速度，故B错误；由题图可知，启用后经过的位移明显小于不启用时的位移，但由于时间关系不明显，无法确定平均速度大小，故C错误，D正确．
[答案]　D
【迁移题组】
迁移1　x－t图象
1.(多选)(2018·高考全国卷Ⅲ)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动．甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示．下列说法正确的是(　　)

A．在t1时刻两车速度相等
B．从0到t1时间内，两车走过的路程相等
C．从t1到t2时间内，两车走过的路程相等
D．在t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等
解析：选CD.x－t图象某点的切线斜率表示瞬时速度，A错误；前t1时间内，由于甲、乙的出发点不同，故路程不同，B错误；t1～t2时间内，甲、乙的位移和路程都相等，大小都为x2－x1，C正确；t1～t2时间内，甲的x－t图象在某一点的切线与乙的x－t图象平行，此时刻两车速度相等，D正确．
迁移2　v－t图象
2．(2020·云南昆明模拟)汽车在限速为40 km/h的道路上匀速行驶，驾驶员发现前方斑马线上有行人，于是减速礼让，汽车到达斑马线处时行人已通过斑马线，驾驶员便加速前进，监控系统绘制出该汽车的速度v随时间t变化的图象如图所示，下列说法正确的是(　　)

A．减速前该车已超速
B．汽车在加速阶段的加速度大小为3 m/s2
C．驾驶员开始减速时距斑马线18 m
D．汽车在加速阶段发动机的输出功率保持不变
解析：选B.由速度时间图象可知：汽车减速前的行驶速度为v0＝10 m/s＝36 km/h，未超速，故A错误；汽车在加速阶段的加速度大小为a＝＝ m/s2＝3 m/s2，故B正确；由速度时间图象不能精确求解驾驶员开始减速时距斑马线的距离，故C错误；加速阶段，汽车做匀加速直线运动，由牛顿第二定律F－f＝ma知，牵引力F恒定，速度增加时，据P＝Fv知，功率P增加，故D错误．
迁移3　a－t图象
3．(多选)(2020·河北唐山三模)一质点在0～6 s内竖直向上运动，其加速度a随时间t变化的关系图象如图所示，取竖直向下为加速度的正方向，重力加速度为g＝10 m/s2，则下列说法正确的是(　　)

A．在0～2 s内质点发生的位移为20 m
B．在2～4 s内质点做加速运动
C．质点的初速度不小于66 m/s
D．在2～4 s内质点速度变化量为22 m/s
解析：选CD.质点在0～6 s内竖直向上运动，加速度一直竖直向下，初速度未知，不能求解质点在0～2 s内发生的位移，故A错误；在2～4 s内质点的速度与加速度反向，做加速度增大的减速运动，故B错误；质点在0～6 s内的速度改变量为a－t图象的“面积”，故Δv＝(2×10＋×2＋12×2)m/s＝66 m/s，故质点初速度不小于66 m/s，故C正确；在2～4 s内质点速度变化量Δv′＝×2 m/s＝22 m/s，故D正确．
迁移4　非常规运动图象
4.(多选)一个物体沿直线运动，从t＝0 时刻开始，物体的－t的图象如图所示，图线与纵、横坐标轴的交点分别为0.5 m/s和－1 s，由此可知(　　)

A．物体做匀加速直线运动
B．物体做变加速直线运动
C．物体的初速度大小为0.5 m/s
D．物体的初速度大小为1 m/s
解析：选AC.图线的斜率为0.5 m/s2、纵截距为0.5 m/s.由位移公式x＝v0t＋at2两边除以对应运动时间t为＝v0＋at，可得纵截距的物理意义为物体运动的初
速度，斜率的物理意义为物体加速度的一半，所以物体做初速度为v0＝0.5 m/s，加速度大小为a＝1 m/s2的匀加速直线运动．

　对追及和相遇问题的分析[学生用书P12]
【题型解读】
1．追及和相遇问题常见情景
(1)速度小者追速度大者

追及类型
图象描述
相关结论
匀加速
追匀速

设x0为开始时两物体间的距离，则应有下面结论：
①t＝t0以前，后面物体与前面物体间的距离增大
②t＝t0时，两物体相距最远，为x0＋Δx
③t＝t0以后，后面物体与前面物体间的距离减小
④一定能追上且只能相遇一次
匀速追
匀减速

匀加速追
匀减速

(2)速度大者追速度小者

追及类型
图象描述
相关结论
匀减速追匀速

设x0为开始时两物体间的距离，开始追及时，后面物体与前面物体间的距离在减小，当两物体速度相等时，即t＝t0时刻：
①若Δx＝x0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件
②若Δx 匀速追匀加速

匀减速
追匀
加速

③若Δx>x0，则相遇两次，设t1时刻两物体第一次相遇，则t2＝2t0－t1时刻两物体第二次相遇
2.求解追及和相遇问题的两点技巧

【跟进题组】
1．A车在直线公路上以20 m/s的速度匀速行驶，因大雾天气能见度低，当司机发现正前方有一辆静止的B车时，两车距离仅有76 m，A车司机立即刹车(不计反应时间)做匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s2(两车均视为质点)．
(1)通过计算判断A能否撞上B车？若能，求A车从刹车开始到撞上B车的时间(假设B车一直静止)；
(2)为了避免碰撞，A车在刹车的同时，如果向B车发出信号，B车收到信号经Δt＝2 s的反应时间才开始匀加速向前行驶，问：B车加速度a2至少为多大才能避免事故．
解析：(1)设A车从刹车到停止所用的时间为t0、位移为x
由速度时间公式v0＝a1t0
解得t0＝10 s
由速度位移关系有0－v＝－2a1x
代入数据解得x＝100 m>76 m，所以A车能撞上B车
设撞上B车的时间为t1，有x0＝v0t1－a1t，其中x0＝76 m
解得t1＝(10－2) s，t′1＝(10＋2) s，
(10＋2) s大于10 s，故舍去
故时间为(10－2) s.
(2)假设A车恰能追上B车，设B车运动时间为t，则A车运动时间为t＋Δt，此时两车速度相等，即
v0－a1(t＋Δt)＝a2t
解得t＝
由位移关系xA＝x0＋xB
可知v0(t＋Δt)－a1(t＋Δt)2＝x0＋a2t2
整理得a2＝
解得a2＝1.2 m/s2
因此欲使A、B两车不相撞，B车的最小加速度为a2＝1.2 m/s2.
答案：见解析
2．在水平轨道上有两列火车A和B相距x，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同．要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件．
解析：法一　临界条件法

设两车运动速度相等时，所用时间为t，
由v0－(2a)t＝at得，t＝①
A车位移：xA＝v0t－(2a)t2
B车位移：xB＝at2
两车不相撞的条件：xB＋x≥xA
即：at2＋x≥v0t－at2②
联立①②式得：
v0≤.
法二　二次函数极值法
设两车运动了时间t，则xA＝v0t－at2
xB＝at2
两车不相撞需要满足Δx＝xB＋x－xA＝at2－v0t＋x≥0
则Δxmin＝≥0，
解得v0≤.
法三　图象法
利用速度－时间

图象求解，先作A、B两车的速度－时间图象，其图象如图所示，设经过t时间两车刚好不相撞，则对A车有
vt＝v0－2at，
对B车有vt＝at
以上两式联立解得t＝
经时间t两车发生的位移之差，即为原来两车间的距离x，它可用图中的阴影面积来表示，由图象可知x＝v0t＝v0·＝，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤.
法四　相对运动法
巧选参考系求解．以B车为参考系，A车的初速度为v0，加速度为a′＝－2a－a＝－3a.A车追上B车且刚好不相撞的条件是：v＝0，这一过程A车相对于B车的位移为x，由运动学公式v2－v＝2ax得：
02－v＝2·(－3a)·x
所以v0＝.
故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤.
答案：v0≤

1．分析追及、相遇问题的方法技巧可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”
(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上、追不上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点．
(2)两个等量关系：时间关系和位移关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口．
2．能否追上的判断方法
(1)做匀速直线运动的物体B追赶从静止开始做匀加速直线运动的物体A：开始时，两个物体相距x0.若vA＝vB时，xA＋x0xB，则不能追上．
(2)数学判别式法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ＜0，说明追不上或不能相遇．
　
[学生用书P13]
运动图象与追及、相遇问题的综合应用

【对点训练】
1．(多选)(2020·河北唐山高三二模)甲、乙两个物体在t＝0时从同一地点出发，两者沿同一直线运动的v－t图象如图所示．规定甲的初速度方向为正，下列说法正确的是(　　)

A．乙在t＝2 s时加速度改变方向
B．甲、乙两物体在t＝2 s时距离为8 m
C．甲、乙两物体在t＝3 s时距离为6 m
D．甲、乙两物体加速度大小相同
解析：选BD.v－t图象的斜率表示加速度，则乙物体的加速度恒定，A错误；两物体同时同地出发，由v－t图象知，乙物体的初速度方向与甲相反，则二者刚开始相向运动，v－t图象与坐标轴围成的面积表示位移，且面积在横轴上方为正，在横轴下方为负，则t＝2 s甲物体位移为x1＝6 m，乙物体位移为x2＝－2 m，则二者相距8 m，B正确；同理t＝3 s，两物体相距9 m，C错误；由图象斜率知，甲、乙两物体的加速度分别为a1＝－1 m/s2，a2＝1 m/s2，则大小相等，方向相反，D正确．
2．(2020·四川泸州泸县一中三诊)入冬以来，全国多地出现大雾天气，能见度不足20 m．在这样的恶劣天气中，甲、乙两汽车在一条平直的单行道上，乙在前、甲在后同向行驶．某时刻两车司机同时听到前方有事故发生的警笛提示，同时开始刹车．两辆车刹车时的v－t图象如图，则(　　)

A．若两车发生碰撞，开始刹车时两辆车的间距一定等于112.5 m
B．若两车发生碰撞，开始刹车时两辆车的间距一定小于90 m
C．若两车发生碰撞，则一定是在刹车后20 s之内的某时刻发生相撞
D．若两车发生碰撞，则一定是在刹车后20 s以后的某时刻发生相撞
解析：选C.由图可知，两车速度相等经历的时间为20 s，甲车的加速度a1＝ m/s2＝－1 m/s2，乙车的加速度a2＝ m/s2＝－0.5 m/s2，此时甲车的位移x甲＝v甲t＋a1t2＝25×20 m－×1×202 m＝300 m，乙车的位移x乙＝v乙t＋a2t2＝15×20 m－×0.5×202 m＝200 m，可知要不相撞，则两车的最短距离Δx＝300 m－200 m＝100 m，因为两车发生碰撞，则两车的距离小于100 m，故A、B错误；因为速度相等后，若不相撞，两者的距离又逐渐增大，可知两辆车一定是在刹车后的20 s之内的某时刻发生相撞的，故C正确，D错误．

[学生用书P297(单独成册)]
(建议用时：40分钟)
一、单项选择题
1.图示为甲、乙两质点沿同一直线运动的位移－时间图象．下列判断正确的是(　　)

A．在0～t1时间内，甲做匀加速直线运动
B．在0～t1时间内，甲的位移小于乙的位移
C．在t1时刻后，甲的速度一直比乙的速度大
D．在0～t1时间内，必有某时刻甲、乙速度相同
解析：选D.在x－t图象中，斜率代表速度，在0～t1时间内，甲的斜率不变，故速度不变，做匀速直线运动，A错误；在x－t图象中，物体运动的位移为物体位置的变化量，在0～t1时间内，甲、乙的位置变化量相同，故位移相等，B错误；在x－t图象中，斜率代表速度，在t1时刻后，经过一段时间后，甲、乙的斜率均为零，故两物体速度均为零，C错误；由于t＝0时刻乙图线切线斜率大于甲图线斜率，而在t1时刻乙图线切线的斜率小于甲图线的斜率，故在0～t1时间内，必有某时刻乙图线切线斜率等于甲图线斜率，即甲、乙速度相同，D正确．
2.某物体运动的v－t图象如图所示，根据图象可知，下列说法错误的是(　　)

A．在0到2 s末的时间内，加速度为1 m/s2
B．在0到5 s末的时间内，位移为10 m
C．在0到6 s末的时间内，位移为6.5 m
D．在0到6 s末的时间内，路程为7.5 m
解析：选B.0～2 s内的加速度a＝ m/s2＝1 m/s2，A正确；0～5 s内的位移x1＝×(2＋5)×2 m＝7 m，B错误；5～6 s内的位移x2＝×1×(－1) m＝－0.5 m，所以0～6 s内的总位移x＝x1＋x2＝6.5 m，总路程s＝x1＋|x2|＝7.5 m，C、D正确．
3．折线ABCD和曲线OE分别为甲、乙物体沿同一直线运动的位移－时间图象，如图所示，t＝2 s时，两图线相交于C点，下列说法正确的是(　　)

A．两个物体同时、同地、同向出发
B．第3 s内，甲、乙运动方向相反
C．2～4 s内，甲做减速运动，乙做加速运动
D．2 s末，甲、乙未相遇
解析：选B.两物体同时、同向出发，但不是同地出发，A错误；第3 s内甲物体x－t图线的斜率为负，向负方向运动，乙物体x－t图线的斜率为正，向正方向运动，二者运动方向相反，B正确；2～4 s内，甲向负方向做匀速直线运动，乙向正方向做加速运动，C错误；2 s末，甲、乙的位置相同，甲、乙相遇，D错误．
4．(2020·山东济南调研)某同学欲估算飞机着陆时的速度，他假设飞机在平直跑道上做匀减速运动，飞机在跑道上滑行的距离为x，从着陆到停下来所用的时间为t，实际上，飞机的速度越大，所受的阻力越大，则飞机着陆时的速度应是(　　)
A．v＝　　　　　　 B．v＝
C．v＞ D.＜v＜
解析：选C.由题意知，当飞机的速度减小时，所受的阻力减小，因而它的加速度会逐渐变小，画出相应的v－t图象大致如图所示．根据图象的意义可知，实线与坐标轴包围的面积为x，虚线(匀减速运动)下方的“面积”表示的位移为t.应有t＞x，所以v＞，所以C正确．

5．太原晚报消息，为了让电动汽车跑得更“欢”，太原未来五年将建5万个充电桩．如图所示为某新型电动汽车试车时的v－t 图象，则下列说法中正确的是(　　)

A．在0～6 s内，新型电动汽车速度均匀变化
B．在6～10 s内，新型电动汽车处于静止状态
C．在4 s末，新型电动汽车向相反方向运动
D．在12 s末，新型电动汽车的加速度为－1 m/s2
解析：选D.新型电动汽车在0～4 s内加速度恒为1.5 m/s2，速度增大，在4～6 s内加速度恒为－1 m/s2，速度均匀减小，在6～10 s内以4 m/s的速度做匀速运动，在10～14 s内加速度恒为－1 m/s2，速度又均匀减小，综上所述，D正确．
6．小球从一定高度处由静止下落，与地面碰撞后回到原高度再次下落，重复上述运动．取小球的落地点为原点建立坐标系，竖直向上为正方向．下列速度v和位置x的关系图象中，能描述该过程的是(　　)

解析：选A.小球从一定高度处由静止下落，与地面碰撞后能回到原高度，重复原来的过程，以落地点为原点，速度为零时，位移最大，速度最大时位移为零，设高度为h，则速度大小与位移的关系满足v2＝2g(h－x)，A正确．
二、多项选择题
7.(2020·山东济南模拟)一质点从坐标原点沿x轴方向做匀变速直线运动，在0～8 s内的x－t图象如图所示．若t＝1 s时，图线所对应的切线的斜率为3 m/s，则(　　)

A．t＝1 s时，质点的加速度为3 m/s2
B．t＝2 s和t＝6 s时，质点的速度大小相等
C．t＝2 s和t＝6 s时，质点加速度的方向相反
D．t＝4 s时，质点的位移为8 m
解析：选BD.已知质点做匀变速直线运动，设其位移随时间变化的关系式为x＝v0t＋at2，根据0～8 s内的x－t图象的对称轴可知－＝4 s；t＝1 s时，图线所对应的切线的斜率(即此时的速度)为3 m/s，可知v0＋a×1 s＝3 m/s，解得a＝－1 m/s2，v0＝4 m/s，因为质点做匀变速直线运动，所以质点的加速度不会发生变化，A、C均错误；利用速度公式v＝v0＋at，可得t＝2 s时，质点的速度为2 m/s，t＝6 s时，质点的速度为－2 m/s，这两个时刻质点的速度大小都为2 m/s，B正确；将t＝4 s代入x＝v0t＋at2，解得x＝8 m，即t＝4 s时质点的位移为8 m，D正确．
8．如图所示是做匀变速直线运动的质点在0～6 s内的位移－时间图线．若t＝1 s时，图线所对应的切线斜率为4(单位：m/s)．则　(　　)

A．t＝1 s时，质点在x＝2 m的位置
B．t＝1 s和t＝5 s时，质点的速率相等
C．t＝1 s和t＝5 s时，质点加速度的方向相反
D．前5 s内，质点通过的最大位移为9 m
解析：选BD.由图可知质点做匀减速直线运动，设其初速度为v0、加速度大小为a，由题意及图知当t1＝6 s时x1＝0、t2＝1 s时v2＝4 m/s，则由x1＝v0t1－at、v2＝v0－at2联立可得a＝2 m/s2、v0＝6 m/s.则当t＝1 s时，x＝6×1 m－×2×12 m＝5 m，A错误；质点在t＝5 s时的速度v＝6 m/s－2×5 m/s＝－4 m/s，B正确；质点做匀变速运动，加速度恒定不变，C错误；由图线的对称性可知，t＝3 s时质点的位移最大，故xm＝6×3 m－×2×32 m＝9 m，D正确．
9.甲、乙、丙是三个在同一直线上运动的物体，它们运动的v－t图象如图所示，下列说法正确的是(　　)

A．丙与甲的运动方向相反
B．丙与乙的运动方向相同
C．乙的加速度大于甲的加速度
D．丙的加速度小于乙的加速度
解析：选BC.甲、乙、丙三个物体的速度均为正值，运动方向相同，A错误，B正确．根据图象斜率表示加速度可知，乙的加速度大于甲的加速度，丙的加速度大于乙的加速度，C正确，D错误．　
10．甲、乙两车某时刻由同一地点，沿同一方向开始做直线运动，以该时刻作为计时起点，得到两车的位移—时间图象，即x－t图象如图所示，甲图象过O点的切线与AB平行，过C点的切线与OA平行，则下列说法中正确的是(　　)

A．在两车相遇前，t1时刻两车相距最远
B．t3时刻甲车在乙车的前方
C．0～t2时间内甲车的瞬时速度始终大于乙车的瞬时速度
D．甲车的初速度等于乙车在t3时刻的速度
解析：选AD.题中图象的纵坐标表示物体所在的位置，由题图可知t1时刻两图线相距最大，即两车的距离最大，故A正确；t3时刻两车处在同一位置，故B错误；图线斜率表示速度，由题图可知，0～t1时间内甲图线的斜率大于乙图线的斜率，之后甲图线的斜率小于乙图线的斜率，故C错误；图线的斜率表示物体的速度，由题图可知，甲车的初速度等于乙车在t3时刻的速度，故D正确．
三、非选择题
11．平直公路上有一辆摩托车以v＝12 m/s的速度匀速行驶，在其前方有一辆静止的汽车，当摩托车距汽车l＝20 m 时，汽车以2 m/s2的加速度沿同方向匀加速启动行驶．求：
(1)摩托车追上汽车所用时间；
(2)摩托车追上汽车后，摩托车仍以12 m/s速度行驶，汽车再经过多长时间追上摩托车．
解析：(1)设经过时间t摩托车与汽车相遇
则摩托车的位移x1＝vt
汽车的位移x2＝at2
相遇满足的条件x1＝x2＋l
联立解得t＝2 s或t＝10 s
即摩托车经过2 s追上汽车，经过10 s，汽车又追上摩托车．
(2)两车第一次相遇后，由以上可得再经过t′＝10 s－2 s＝8 s汽车追上摩托车．
答案：(1)2 s　(2)8 s
12．前一段时间，全国不少城市被雾霾笼罩，空中浮有大量有害物质，不仅影响市民的身体健康，道路交通环境也受到一定的影响．某日雾霾天气，路上能见度(观察者与能看见的最远目标间的距离)为70 m，一汽车在平直公路上以v0＝90 km/h 的速度行驶，该司机的反应时间Δt＝0.5 s，汽车刹车时能产生的最大加速度大小a＝5 m/s2.　
(1)汽车在司机反应时间Δt内行驶多长距离？
(2)请根据以上数据分析，一旦在能见度处出现障碍物，汽车能否避免与障碍物碰撞．
解析：(1)汽车的初速度v0＝90 km/h＝25 m/s
在反应时间Δt内，汽车仍做匀速运动，故前进的距离s＝v0Δt＝25×0.5 m＝12.5 m.
(2)设从刹车到静止，汽车前进的位移为x，则
0－v＝－2ax
解得x＝＝ m＝62.5 m
由于s＋x＝75 m>70 m
所以在能见度处出现障碍物时，汽车会与障碍物碰撞．
答案：(1)12.5 m　(2)见解析