2021届浙江省高考数学一轮学案：第二章第3节　基本不等式：ab≤a＋b2


第3节　基本不等式：≤
考试要求　1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.

知 识 梳 理
1.基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.
2.几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(3)≥(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.
3.利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小).
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).
[常用结论与易错提醒]
1.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤≤，≤≤(a>0，b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.
2.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.
3.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.
4.基本不等式的一般形式：(a1＋a2＋a3＋…＋an)≥(其中a1，a2，a3，…，an∈(0，＋∞)，当且仅当a1＝a2＝a3＝…＝an时等号成立).
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
(1)当a≥0，b≥0时，≥.(　　)
(2)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.(　　)
(3)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)
(4)函数f(x)＝sin x＋的最小值为4.(　　)
(5)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件.(　　)
解析　(2)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；
不等式≥成立的条件是a≥0，b≥0.
(3)函数y＝x＋值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.
(4)函数f(x)＝sin x＋无最小值.
(5)x>0且y>0是＋≥2的充分不必要条件.
答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×
2.设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)
A.80 B.77
C.81 D.82
解析　xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时取等号.
答案　C
3.若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于(　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
解析　因为直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，所以＋＝1.所以a＋b＝(a＋b)·＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，故选C.
答案　C
4.若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝(　　)
A.1＋ B.1＋
C.3 D.4
解析　当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a＝3，选C.
答案　C
5.(必修5P100A2改编)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为______m，宽为________m时菜园面积最大.
解析　设矩形的长为x m，宽为y m.则x＋2y＝30，所以S＝xy＝x·(2y)≤＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号.
答案　15　
6.已知正数x，y满足x＋y＝1，则x－y的取值范围为________，＋的最小值为________.
解析　∵正数x，y满足x＋y＝1，
∴y＝1－x，0 ∴x－y＝2x－1，又0 ∴0<2x<2，∴－1<2x－1<1，
即x－y的取值范围为(－1，1).
＋＝＋＝1＋＋≥1＋2＝1＋2＝3，当且仅当x＝y＝时取“＝”，∴＋的最小值为3.
答案　(－1，1)　3

考点一　配凑法求最值
【例1】 (1)已知x＜，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________.
(2)已知正实数x，y满足xy＋2x＋3y＝42，则xy＋5x＋4y的最小值为________.
解析　(1)因为x＜，所以5－4x＞0，
则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤
－2＋3＝－2＋3＝1.
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立.
故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.
(2)因为正实数x，y满足xy＋2x＋3y＝42，所以y＝>0且x>0，解得0 答案　(1)1　(2)55
规律方法　(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.
(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.
【训练1】 (1)函数y＝(x>1)的最小值为________.
(2)当x>0时，x＋(a>0)的最小值为3，则实数a的值为________.
解析　(1)y＝＝
＝
＝(x－1)＋＋2≥2＋2.
当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立.
(2)因为当x>0，a>0时，x＋＝x＋1＋－1≥2－1，当且仅当x＋1＝时，等号成立，又x＋(a>0)的最小值为3，所以2－1＝3，解得a＝4.
答案　(1)2＋2　(2)4
考点二　常数代换或消元法求最值 易错警示
【例2】 (1)(2020·浙江“超级全能生”联考)已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值是(　　)
A. B.
C. D.
(2)(一题多解)已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.
解析　(1)∵x＋y＝1，∴2x＋2＋2y＋1＝5，∴＋＝(2x＋2＋2y＋1)·＝≥，当且仅当2x2－4y2＋4x－4y＋1＝0时等号成立，故选C.
(2)由已知得x＝.
法一　(消元法)
因为x＞0，y＞0，所以0＜y＜3，所以x＋3y＝＋3y
＝＋3(y＋1)－6≥2－6＝6，
当且仅当＝3(y＋1)，即y＝1，x＝3时，(x＋3y)min＝6.
法二　∵x＞0，y＞0，9－(x＋3y)＝xy＝x·(3y)≤·，
当且仅当x＝3y时等号成立.
设x＋3y＝t＞0，则t2＋12t－108≥0，
∴(t－6)(t＋18)≥0，
又∵t＞0，∴t≥6.故当x＝3，y＝1时，(x＋3y)min＝6.
答案　(1)C　(2)6
规律方法　条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.
易错警示　(1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致.
【训练2】 (1)(一题多解)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为________.
(2)已知正数x，y满足2x＋y＝2，则当x＝________时，－y取得最小值为________.
解析　(1)法一　由x＋3y＝5xy可得＋＝1，
∴3x＋4y＝(3x＋4y)
＝＋＋＋≥＋＝5(当且仅当＝，即x＝1，y＝时，等号成立)，
∴3x＋4y的最小值是5.
法二　由x＋3y＝5xy，得x＝，
∵x>0，y>0，∴y>，
∴3x＋4y＝＋4y＝＋4y＝＋·＋4
≥＋2＝5，
当且仅当x＝1，y＝时等号成立，∴(3x＋4y)min＝5.
(2)∵x，y为正数，则2x＋y＝2⇒y＝2－2x>0⇒0 答案　(1)5　(2)　2－2
考点三　一般形式的基本不等式的应用(选用)
【例3】 (一题多解)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝2sin x＋sin 2x，则f(x)的最小值是________.
解析　法一　因为f(x)＝2sin x＋sin 2x，
所以f′(x)＝2cos x＋2cos 2x＝4cos2x＋2cos x－2
＝4(cos x＋1)，
由f′(x)≥0得≤cos x≤1，即2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，
由f′(x)≤0得－1≤cos x≤，
即2kπ＋≤x≤2kπ＋π或2kπ－π≤x≤2kπ－，k∈Z，
所以当x＝2kπ－(k∈Z)时，f(x)取得最小值，
且f(x)min＝f
＝2sin＋sin 2＝－.
法二　因为f(x)＝2sin x＋sin 2x＝2sin x(1＋cos x)＝4sincos·2cos2＝8sincos3
＝，
所以[f(x)]2＝×3sin2cos6≤·＝，
当且仅当3sin2＝cos2，即sin2＝时取等号，
所以0≤[f(x)]2≤，所以－≤f(x)≤，
所以f(x)的最小值为－.
法三　因为f(x)＝2sin x＋sin 2x＝2sin x(1＋cos x)，
所以[f(x)]2＝4sin2x(1＋cos x)2
＝4(1－cos x)(1＋cos x)3，
设cos x＝t，则y＝4(1－t)(1＋t)3(－1≤t≤1)，
所以y′＝4[－(1＋t)3＋3(1－t)(1＋t)2]
＝4(1＋t)2(2－4t)，
所以当－10；当 所以函数y＝4(1－t)(1＋t)3(－1≤t≤1)在上单调递增，在上单调递减.
所以当t＝时，ymax＝；当t＝±1时，ymin＝0.
所以0≤y≤，即0≤[f(x)]2≤，
所以－≤f(x)≤，所以f(x)的最小值为－.
法四　因为f(x)＝2sin x＋sin 2x＝2sin x(1＋cos x)，
所以[f(x)]2＝4sin2x(1＋cos x)2
＝4(1－cos x)(1＋cos x)3≤
·＝，
当且仅当3(1－cos x)＝1＋cos x，
即cos x＝时取等号，
所以0≤[f(x)]2≤，所以－≤f(x)≤，
所以f(x)的最小值为－.
答案　－
规律方法　(1)三角函数式拆项时要注意满足平方关系.
(2)拆项时要满足各项都相等这个条件成立.
【训练3】 (1)已知θ∈，求sin2θ cos θ的最大值.
(2)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1，证明(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
(1)解　∵θ∈，
∴sin2θ cos θ>0，
而(sin2θ cos θ)2＝4···cos2θ≤
4＝，
当且仅当sin2θ＝cos2θ，
即cos θ＝，θ∈时等号成立.
∴sin2θ cos θ的最大值为.
(2)证明　因为a，b，c为正数且abc＝1，
故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3
≥3＝3(a＋b)(b＋c)(c＋a)
≥3×(2)×(2)×(2)＝24.
当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立，
所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.

基础巩固题组
一、选择题
1.下列不等式一定成立的是(　　)
A.lg>lg x(x>0)
B.sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C.x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.＜1(x∈R)
解析　当x＞0时，x2＋≥2·x·＝x，所以lg≥lg x(x＞0)，故选项A不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，当x≠kπ，k∈Z时，sin x的正负不定，故选项B不正确；显然选项C正确；当x＝0时，有＝1，选项D不正确.
答案　C
2.(2019·诸暨期末)已知a＋2b＝1(a＞0，b＞0)，则＋的最小值等于(　　)
A.4 B.2＋2
C. D.2＋1
解析　由题意得＋＝＋＝＋＋2≥2＋2＝2＋2，当且仅当a＝b＝－1时，等号成立，所以＋的最小值为2＋2，故选B.
答案　B
3.若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是(　　)
A. B.
C.2 D.
解析　由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，当且仅当x＝，y＝时取等号，∴xy的最大值为2.
答案　C
4.已知a>0，b>0，a＋b＝＋，则＋的最小值为(　　)
A.4 B.2
C.8 D.16
解析　由a>0，b>0，a＋b＝＋＝，得ab＝1，
则＋≥2＝2.当且仅当＝，
即a＝，b＝时等号成立.故选B.
答案　B
5.若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　)
A.≤ B.＋≤1
C.≥2 D.a2＋b2≥8
解析　4＝a＋b≥2(当且仅当a＝b时，等号成立)，即≤2，ab≤4，≥，选项A，C不成立；＋＝＝≥1，选项B不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8，选项D成立.
答案　D
6.若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)
A. B.2
C.2 D.4
解析　依题意知a＞0，b＞0，则＋≥2＝，当且仅当＝，即b＝2a时，“＝”成立.因为＋＝，所以≥，即ab≥2(当且仅当a＝2，b＝2时等号成立)，所以ab的最小值为2，故选C.
答案　C
7.已知a，b，c，d≥0，a＋b＝c＋d＝2，则(a2＋c2)(b2＋d2)的最大值是(　　)
A.4 B.8
C.16 D.32
解析　∵≤≤＝4，
∴(a2＋c2)(b2＋d2)≤16，当a＝d＝2，b＝c＝0或b＝c＝2，a＝d＝0时取到等号，故选C.
答案　C
8.(2019·台州期末评估)已知实数a，b满足a2＋b2＝4，则ab的取值范围是(　　)
A.[0，2]
B.[－2，0]
C.(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D.[－2，2]
解析　∵a2＋b2＝4，∴根据基本不等式得4＝a2＋b2≥2|ab|，∴|ab|≤2，∴－2≤ab≤2，∴ab的取值范围是[－2，2]，故选D.
答案　D
9.已知x＋y＝＋＋8(x，y>0)，则x＋y的最小值为(　　)
A.5 B.9
C.4＋ D.10
解析　由x＋y＝＋＋8得x＋y－8＝＋，则(x＋y－8)(x＋y)＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即y＝2x时，等号成立，令t＝x＋y，所以(t－8)·t≥9，解得t≤－1或t≥9，因为x＋y>0，所以x＋y≥9，所以x＋y的最小值为9，故选B.
答案　B
二、填空题
10.(2019·天津卷)设x>0，y>0，x＋2y＝5，则的最小值为________.
解析　∵x>0，y>0，∴>0.
∵x＋2y＝5，∴＝
＝＝2＋≥2＝4，
当且仅当2＝，即x＝3，y＝1或x＝2，y＝时取等号.
∴的最小值为4.
答案　4
11.(2020·镇海中学模拟)已知a，b∈(0，＋∞)且a＋2b＝3，则＋的最小值是________.
解析　因为a，b＞0，且a＋2b＝3，所以＋＝＝＋＋≥＋×2＝＋＝3，当且仅当＝，即a＝b＝1时取等号.
答案　3
12.(2018·江苏卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________.
解析　因为∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，所以∠ABD＝∠CBD＝60°，由三角形的面积公式可得acsin 120°＝a×1×sin 60°＋c×1×sin 60°，化简得ac＝a＋c，又a>0，c>0，所以＋＝1，则4a＋c＝(4a＋c)·＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当c＝2a时取等号，故4a＋c的最小值为9.
答案　9
13.若正数a，b满足：＋＝1，则＋的最小值为________.
解析　∵正数a，b满足＋＝1，
∴a＋b＝ab，＝1－＞0，＝1－＞0，
∴b＞1，a＞1，
则＋≥2＝2＝6(当且仅当a＝，b＝4时等号成立)，
∴＋的最小值为6.
答案　6
14.(一题多解)若实数x，y，z满足x＋2y＋3z＝1，x2＋4y2＋9z2＝1，则z的最小值是________.
解析　法一　因为1－9z2＝(x＋2y)2－2·x·2y≥(x＋2y)2－2，又x＋2y＝1－3z，则1－9z2≥(1－3z)2，解得－≤z≤，即z的最小值为－.
法二　由x2＋(2y)2＝1－9z2，设x＝cos θ，2y＝sin θ，则1－3z＝(cos θ＋sin θ)＝sin，由三角函数的有界性，得|1－3z|≤，解得－≤z≤，即z的最小值为－.
答案　－
能力提升题组
15.设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为(　　)
A.0 B.1
C. D.3
解析　由已知得z＝x2－3xy＋4y2，(*)
则＝＝≤1，当且仅当x＝2y时取等号，把x＝2y代入(*)式，得z＝2y2，所以＋－＝＋－＝－＋1≤1.
答案　B
16.(2020·金华一中月考)已知正实数a，b满足：a＋b＝1，则＋的最大值是(　　)
A.2 B.1＋
C.1＋ D.1＋
解析　因为正实数a，b满足a＋b＝1，
所以＋＝＋＝.
令t＝a＋1∈(1，2)，则原式＝＝≤＝＝1＋.
当且仅当t＝，即t＝＝a＋1，a＝－1，b＝2－时取等号，故选C.
答案　C
17.(一题多解)(2017·北京卷改编)已知x≥0，y≥0，且x＋y＝1，则x2＋y2的最小值为________，最大值为________.
解析　法一　∵x≥0，y≥0且x＋y＝1，
∴2≤x＋y＝1，当且仅当x＝y＝时取等号，从而0≤xy≤，
因此x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝1－2xy，
所以≤x2＋y2≤1.
法二　∵x＋y＝1，x≥0，y≥0，
∴y＝1－x，x∈[0，1]，
∴x2＋y2＝x2＋(1－x)2＝2x2－2x＋1＝2＋，对称轴为x＝，故x＝时，有最小值为，x＝0或x＝1时有最大值为1.

法三　可转化为线段AB上的点到原点距离平方的范围.AB上的点到原点距离的范围为，则x2＋y2的取值范围为.
答案　
18.(2020·杭州四中仿真)已知实数x，y，z满足则xyz的最小值为________；此时z＝________.
解析　由xy＋2z＝1得z＝，则5＝x2＋y2＋z2＝x2＋y2＋≥2|xy|＋，即x2y2＋6xy－19≤0或x2y2－10xy－19≤0，解得5－2≤xy≤－3＋2，则xyz＝xy×＝－＋，则当xy＝5－2时，xyz取得最小值9－32，此时z＝＝－2.
答案　9－32　－2
19.设a＋b＝2，b>0，则当a＝________时，＋取得最小值为________.
解析　由于a＋b＝2，
所以＋＝＋＝＋＋，
由于b>0，|a|>0，
所以＋≥2＝1，
因此当a>0时，＋的最小值是＋1＝.
当a<0时，＋的最小值是－＋1＝.
故＋的最小值为，此时
即a＝－2.
答案　－2　
20.已知a，b，c>0，且a2＋b2＋c2＝10，则ab＋ac＋bc的最大值是________，ab＋ac＋2bc的最大值是________.
解析　因为ab＋ac＋bc≤＝10，当且仅当a＝b＝c时取等号，又因为a2＋xb2≥ab(0≤x≤1)，a2＋yc2≥ac(0≤y≤1)，(1－x)b2＋(1－y)c2≥2bc，令＝＝，即x＝y＝2－，故此时有a2＋b2＋c2≥(－1)(ab＋ac＋2bc)，即ab＋ac＋2bc≤5＋5，当且仅当a＝()b＝()c时取等号.
答案　10　5＋5