2021届浙江省高考数学一轮学案：第三章第5节　根式、指数、对数


第5节　根式、指数、对数
考试要求　1.了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算；2.理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式.

知 识 梳 理
1.根式与指数幂的运算
(1)根式
①概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
②性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝
(2)分数指数幂
①规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
②有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
2.对数与对数的运算
(1)对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.(2)对数的性质
①loga1＝0；②logaa＝1；③alogaN＝N；④logaab＝b(a>0，且a≠1).
(3)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R).
(4)换底公式
logbN＝(a，b均大于零且不等于1).
[常用结论与易错提醒]
已知a，b，c，d，M，N都满足条件，则：
(1)logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0)；
(2)logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.
诊 断 自 测
1.(必修1P52例5改编)化简[(－2)6]－(－1)0的结果为(　　)
A.－9 B.7
C.－10 D.9
解析　原式＝(26)－1＝8－1＝7.
答案　B
2.若loga2 A.0 C.a>b>1 D.b>a>1
解析　loga2 答案　B
3.×＋8×－＝________.
解析　原式＝×1＋2×2－＝2.
答案　2
4.(2015·浙江卷)计算：log2＝________；2log23＋log43＝________.
解析　log2＝log2－log22＝－1＝－；
2log23＋log43＝2log23·2log43＝3×2log43＝3×2log2＝3.
答案　－　3
5.设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.
解析　由一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝，则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝，(2α)β＝2αβ＝2.
答案　　2
6.(2020·杭州质检)设a＝log23，b＝log38，则2a＝________；ab＝________.
解析　由a＝log23得2a＝3，ab＝log23×log38＝×＝＝＝3.
答案　3　3

考点一　指数幂的运算
【例1】 化简：(1)(a>0，b>0)；
(2)＋(0.002)－－10(－2)－1＋(－)0.
解　(1)原式＝＝a＋－1＋b1＋－2－＝ab－1.
(2)原式＝＋－＋1
＝＋500－10(＋2)＋1
＝＋10－10－20＋1＝－.
规律方法　(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序.
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
【训练1】 化简求值：
(1)＋2－2×－(0.01)0.5；
(2).
解　(1)原式＝1＋×－
＝1＋×－＝1＋－＝.
(2)原式＝＝a－－－×b＋－＝.
考点二　对数的运算
【例2】 (1)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(　　)
A. B.10 C.20 D.100
(2)计算：÷100－＝________.
解析　(1)由已知，得a＝log2m，b＝log5m，
则＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.
解得m＝.
(2)原式＝(lg 2－2－lg 52)×100＝lg×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.
答案　(1)A　(2)－20
规律方法　(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.
(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
(3)ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
【训练2】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　)
A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y
C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z
(2)若实数a＞b＞1，且logab＋logba＝，则logab＝__________，＝__________.
解析　(1)取对数：xln 2＝yln 3＝zln 5，＝>(由ln 32>ln 23可得)，又x，y为正数，∴2x>3y.xln 2＝zln 5，则＝<(由ln 52＜ln 25可得)，又x，z为正数，∴2x<5z，∴3y<2x<5z，故选D.
(2)由a＞b＞1，得0 所以＝1.
答案　(1)D　(2)　1

基础巩固题组
一、选择题
1.化简(x<0，y<0)得(　　)
A.2x2y B.2xy
C.4x2y D.－2x2y
解析　∵x<0，y<0，∴＝2x2|y|＝－2x2y.
答案　D
2.(log29)×(log34)＝(　　)
A. B.
C.2 D.4
解析　(log29)×(log34)＝2log23×2log32＝4.
答案　D
3.已知log23＝a，log25＝b，则log2＝(　　)
A.a2－b B.2a－b
C. D.
解析　∵log23＝a，log25＝b，∴log2＝log29－log25＝2log23－log25＝2a－b.
答案　B
4.已知x，y为正实数，则(　　)
A.2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y B.2lg(x＋y)＝2lg x＋2lg y
C.2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y D.2lg(xy)＝2lg x·2lg y
解析　∵x，y∈(0，＋∞)，∴2lg (xy)＝2lg x＋lg y＝2lg x·2lg y，A不成立，D成立；对于B，C，不妨取x＝y＝1，代入B，C易知不成立，故选D.
答案　D
5.已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为(　　)
A.3 B.8
C.4 D.log48
解析　由2x＝3得x＝log23，又log4＝y，
∴x＋2y＝log23＋2 log4
＝log23＋log2＝log23＋log28－log23＝3.
答案　A
6.设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　)
A.2x＜3y＜5z B.5z＜2x＜3y
C.3y＜5z＜2x D.3y＜2x＜5z
解析　(特值法)令x＝1，则由已知条件可得3y＝2，且5z＝2，所以y＝，z＝，从而3y＝＝＜＝2，5z＝＝＞2，则3y＜2x＜5z.
答案　D
7.已知a>0，b>0，则下列等式不正确的是(　　)
A.alg b·blg a＝1 B.alg b＋blg a＝2alg b
C.alg b·blg a＝(alg b)2 D.alg b·blg a＝blg a2
解析　由于a>0，b>0，故当a＝b时，有alg bblg a＝(alg b)2，alg b＋blg a＝alg b＋alg b＝2alg b，alg b·blg a＝(blg a)2＝b2lg a＝blg a2，故选A.
答案　A
8.(2019·北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　)
A.1010.1 B.10.1
C.lg 10.1 D.10－10.1
解析　设太阳的星等为m1，天狼星的星等为m2，则太阳与天狼星的亮度分别为E1，E2.
由题意知m1＝－26.7，m2＝－1.45，代入所给公式得－1.45－(－26.7)＝lg，所以lg＝10.1，所以＝1010.1.故选A.
答案　A
9.已知m>0且m≠1，则logmn>0是(1－m)(1－n)>0的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析　∵m>0且m≠1，由logmn>0得或∴(1－m)(1－n)>0，
反过来，当(1－m)(1－n)>0时，不妨取m＝，n＝－1，此时logmn无意义，故选A.
答案　A
二、填空题
10.若log2x＝log43，则x＝________.
解析　由等式可得log2x＝log23，解得x＝.
答案　
11.(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝________.
解析　(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25
＝lg 2·(lg 2＋lg 50)＋lg 25
＝2(lg 2＋lg 5)＝2.
答案　2
12.若x＝log43，则(2x－2－x)2＝________.
解析　∵x＝log43，∴4x＝3，4－x＝，
∴(2x－2－x)2＝4x－2＋4－x＝3－2＋＝.
答案　
13.已知a＋a－＝3，则a＋a－1＝________，a2＋a－2＝________.
解析　∵a＋a－＝3，
∴两边平方得a＋a－1＋2＝9，
∴a＋a－1＝7，
对上式两边平方得a2＋2＋a－2＝49，
∴a2＋a－2＝47.
答案　7　47
14.(2019·嘉兴测试)计算：2lg 2＋lg 25＝________，方程log2(x＋1)＝3的解为x＝________.
解析　2lg 2＋lg 25＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，∵方程log2(x＋1)＝3，∴x＋1＝23＝8，解得x＝7.
答案　2　7
能力提升题组
15.(2018·全国Ⅲ卷)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则(　　)
A.a＋b C.a＋b<0 解析　由a＝log0.20.3得＝log0.30.2，由b＝log20.3得＝log0.32，所以＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，所以0<＋<1，得0<<1.又a>0，b<0，所以ab<0，所以ab 答案　B
16.函数f(x)＝的图象为(　　)

解析　f(x)＝
＝故选D.
答案　D
17.(2019·全国Ⅱ卷)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
＋＝(R＋r).
设α＝.由于α的值很小，因此在近似计算中≈3α3，则r的近似值为(　　)
A.R B.R
C.R D.R
解析　由α＝得r＝αR，
代入＋＝(R＋r)，
整理得＝.
又≈3α3，即3α3≈，所以α≈，
故r＝αR≈R.
答案　D
18.(2020·杭州四中仿真)比较lg 2，(lg 2)2，lg(lg 2)的大小，其中最大的是________；最小的是________.
解析　因为0＜lg 2＜1，所以lg(lg 2)＜0＜(lg 2)2＜lg 2，即最大的是lg 2，最小的是lg(lg 2).
答案　lg 2　lg(lg 2)
19.已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则xy的最大值是________.
解析　由题意得lg 2x＋lg 8y＝lg(2x×23y)＝lg 2x＋3y＝lg 2(x>0，y>0)，所以x＋3y＝1，则xy＝x×3y≤＝，当且仅当x＝3y＝时，等号成立，所以xy的最大值为.
答案　
20.(2019·浙江名校新高考研究联盟三联)已知方程loga(5x－3x)＝x(其中a＞0，a≠1)，若x＝2是方程的解，则a＝________；当a＝2时，方程的解x＝________.
解析　若x＝2是方程的解，则loga(52－32)＝loga42＝2，所以a＝4；当a＝2时，log2(5x－3x)＝x，即5x－3x＝2x，通过对比可知该方程的解为x＝1.
答案　4　1