2021届浙江省高考数学一轮学案：第五章第3节　两角和与差的正弦、余弦和正切公式


第3节　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
考试要求　掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式.

知 识 梳 理
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.
cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.
tan(α±β)＝.
2.有关公式的逆用、变形等
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).
(2)tan αtan β＝1－＝－1.
3.式子f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ).特别地，sin α±cos α＝sin.
[常用结论与易错提醒]
1.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”.
(1)变角：对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角；(2)变名：尽可能减少函数名称；(3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.
2.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差角的相对性，要注意“1”的各种变通.如tan＝1，sin2α＋cos2α＝1等.
3.在(0，π)范围内，sin α＝所对应的角α不是唯一的.
4.在三角求值时，常需要确定角的范围.
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.(　　)
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.(　　)
(3)在两角和、差的正切公式中，使两端分别有意义的角的范围不完全相同.(　　)
(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β
＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.(　　)
解析　(4)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠＋kπ，k∈Z.
答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
2.(2019·全国Ⅰ卷)tan 255°＝(　　)
A.－2－ B.－2＋
C.2－ D.2＋
解析　tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋.故选D.
答案　D
3.若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝(　　)
A. B.
C. D.
解析　tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝，故选A.
答案　A
4.(一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)已知tan＝，则tan α＝________.
解析　法一　因为tan＝，所以＝，即＝，解得tan α＝.
法二　因为tan＝，
所以tan α＝tan
＝＝＝.
答案　
5.(2020·南京、盐城一模)已知锐角α，β满足(tan α－1)·(tan β－1)＝2，则α＋β的值为________.
解析　因为(tan α－1)(tan β－1)＝2，所以tan α＋tan β＝tan αtan β－1，因此tan(α＋β)＝＝－1，
因为α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
答案　
6.(2019·宁波调研)已知sin β＝，β∈，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝________.
解析　因为sin β＝，β∈，所以cos β＝－，由sin(α＋β)＝cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－cos(α＋β)＋sin(α＋β)得sin(α＋β)＝－cos(α＋β)，所以tan(α＋β)＝－2.
答案　－2

考点一　两角和、差公式的正用
【例1】 (1)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________.
(2)若sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，求的值.
(1)解析　∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝
＝＝>0，又α∈(0，π)，
∴0