2021届浙江省高考数学一轮学案：第五章第8节　正弦定理和余弦定理及其应用


第8节　正弦定理和余弦定理及其应用
考试要求　掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.

知 识 梳 理
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
公式
＝＝＝2R
a2＝b2＋c2－2bccos__A；
b2＝c2＋a2－2cacos__B；
c2＝a2＋b2－2abcos__C
常见变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A；
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.
3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：

A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsin A
bsin Asin B，则A>B.(　　)
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(　　)
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a20时，A为锐角，但B、C不一定为锐角，△ABC不一定为锐角三角形.
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√
2.在△ABC中，内角C为钝角，sin C＝，AC＝5，AB＝3，则BC＝(　　)
A.2 B.3
C.5 D.10
解析　由题意知cos C＝－，设BC＝x，由余弦定理得(3)2＝52＋x2－2×5x·，化简得x2＋8x－20＝0，解得x1＝2，x2＝－10(舍去)，所以BC＝2，故选A.
答案　A
3.(必修5P10B2改编)在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________.
解析　由正弦定理得sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.
答案　等腰三角形或直角三角形
4.(2019·九江一模)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知cos2A－cos2B＋sin2C＝sin Bsin C＝，且△ABC的面积为，则a的值为________.
解析　△ABC中，由cos2A－cos2B＋sin2C＝sin Bsin C＝，
得1－sin2A－(1－sin2B)＋sin2C＝sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，∴b2＋c2－a2＝bc，
由余弦定理得cos A＝＝，
又A∈(0，π)，∴A＝；
由正弦定理＝＝，
∴＝，即＝，
化简得a2＝3bc；
又△ABC的面积为S△ABC＝bcsin A＝，
∴bc＝4，∴a2＝12，解得a＝2.
答案　2
5.(2019·杭州质检)设a，b，c分别为△ABC的三边长，若a＝3，b＝5，c＝7，则cos C＝________；△ABC的外接圆半径等于________.
解析　由题意得cos C＝＝＝－，则sin C＝＝，则△ABC的外接圆的半径等于＝.
答案　－　
6.(2020·绍兴适应性考试)已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c.若cos A＝，b＝c，且△ABC的面积是，则b＝________，sin C＝________.
解析　由cos A＝得sin A＝＝，则△ABC的面积为bcsin A＝b××＝，解得b＝，则c＝，由余弦定理得a＝＝＝c，所以sin A＝sin C＝.
答案　　

考点一　利用正、余弦定理解三角形
【例1】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　)
A.4 B.
C. D.2
(2)(2020·杭州四中仿真)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，△ABC的面积为.且sin A＋sin C＝2sin B，则b的值为(　　)
A.4＋2 B.4－2
C.－1 D.＋1
(3)(2019·浙江卷)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上.若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________.
解析　(1)因为cos C＝2cos2－1＝2×－1＝－，所以由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝25＋1－2×5×1×＝32，所以AB＝4，故选A.
(2)由题意得△ABC的面积为acsin B＝acsin 30°＝，解得ac＝6，又由sin A＋sin C＝2sin B结合正弦定理得a＋c＝2b，则由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac－ac＝4b2－12－6，解得b＝＋1，故选D.
(3)如图，易知sin C＝，cos C＝.

在△BDC中，由正弦定理可得
＝，
∴BD＝＝＝.
由∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝90°，
可得cos ∠ABD＝cos(90°－∠CBD)＝sin ∠CBD
＝sin[π－(C＋∠BDC)]
＝sin(C＋∠BDC)
＝sin C·cos ∠BDC＋cos C·sin ∠BDC
＝×＋×＝.
答案　(1)A　(2)D　(3)　
规律方法　已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时需判断其解的个数，用余弦定理时可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.
【训练1】 (1)在△ABC中，已知A＝30°，AB＝2，BC＝，则cos∠ACB＝________，AC＝________.
(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________.
解析　(1)根据正弦定理＝，可得sin∠ACB＝，故cos∠ACB＝，又因为cos A＝＝＝，所以AC＝＋.
(2)在△ABC中，由cos A＝，cos C＝，可得sin A＝，sin C＝，sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝，由正弦定理得b＝＝.
答案　(1)　＋　(2)
考点二　利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 变式迁移
【例2】 (经典母题)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
解析　由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即A＝.
∴△ABC为直角三角形.
答案　B
【变式迁移1】 (一题多解)将本例条件变为“若2sin Acos B＝sin C”，那么△ABC一定是(　　)
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
解析　法一　由已知得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin(A－B)＝0，因为－π