2021届浙江省高考数学一轮学案：第六章第3节　平面向量的数量积及其应用


第3节　平面向量的数量积及其应用
考试要求　1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

知 识 梳 理
1.平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos__θ 叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘积.
2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝＝.
(3)夹角：cos θ＝＝.
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·.
3.平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
[常用结论与易错提醒]
1.设e是单位向量，且e与a的夹角为θ，则e·a＝a·e＝|a|cos θ.
2.当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝a2或|a|＝.
3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量.
4.两个向量的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a·b＜0，反之也不成立.
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
(1)两个向量的夹角的范围是.(　　)
(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.(　　)
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(　　)
(4)若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角.(　　)
(5)a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.(　　)
解析　(1)两个向量夹角的范围是[0，π].
(4)若a·b>0，a和b的夹角可能为0；若a·b<0，a和b的夹角可能为π.
(5)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|cos〈a，b〉＝|a||c|·cos〈a，c〉，所以向量b和c不一定相等.
答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×
2.(2019·北京昌平区二模)在平行四边形ABCD中，AB∥CD，＝(2，－2)，＝(2，1)，则·＝(　　)
A.－3 B.2
C.3 D.4
解析　在平行四边形ABCD中，AB∥CD，＝(2，－2)，＝(2，1)，＝＋＝(4，－1)，＝－＝(0，－3)，
则·＝4×0＋(－1)×(－3)＝3.
答案　C
3.(必修4P104例1改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________.
解析　由数量积的定义知b在a方向上的投影为
|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.
答案　－2
4.(2019·北京卷)已知向量a＝(－4，3)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m＝________.
解析　∵a⊥b，∴a·b＝0.又∵a＝(－4，3)，b＝(6，m)，
∴－4×6＋3m＝0，解得m＝8.
答案　8
5.(2019·北京朝阳区二模)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＝(　　)
A.3 B.
C.7 D.
解析　|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos ＝1＋4＋2×1×2×＝3，所以|a＋b|＝.
答案　B
6.已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，2)，|b|＝1，且a＋b与a－2b垂直，则向量a·b＝________；a与b的夹角θ的余弦值为________.
解析　∵(a＋b)⊥(a－2b)，∴(a＋b)·(a－2b)＝0，
即|a|2－a·b－2|b|2＝0，∴5－a·b－2＝0，
∴a·b＝3，∴cos θ＝＝.
答案　3　

考点一　平面向量的数量积运算
【例1】 (1)(一题多解)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　)
A.－ B.
C. D.
(2)(2019·天津卷)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________.
解析　(1)法一　如图所示，根据已知得，＝，所以＝＋＝＋，＝－，

则·＝·(－)
＝·－2＋2－·
＝2－2－·＝－－×1×1×cos 60°＝.故选B.
法二　建立如图所示的平面直角坐标系.

则B，C，A，所以＝(1，0).
易知|DE|＝|AC|，∠FEC＝∠ACE＝60°，
则|EF|＝|AC|＝，
所以点F的坐标为，
则＝，
所以·＝·(1，0)＝.
(2)如图，∵E在线段CB的延长线上，∴EB∥AD.

∵∠DAB＝30°，∴∠ABE＝30°.
∵AE＝BE，∴∠EAB＝30°.
又∵AB＝2，∴BE＝2.
∵AD＝5，∴＝.
∴＝＋＝－.
又∵＝－，
∴·＝(－)·
＝·－2－2＋·
＝||·||·cos 30°－×52－(2)2
＝×5×2×－10－12＝21－22＝－1.
答案　(1)B　(2)－1
规律方法　(1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.
(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.
【训练1】 (1)(2019·全国Ⅱ卷)已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝(　　)
A.－3 B.－2
C.2 D.3
(2)(一题多解)已有正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________.
解析　(1)因为＝－＝(3，t)－(2，3)＝(1，t－3)，所以||＝＝1，解得t＝3，所以＝(1，0)，
所以·＝2×1＋3×0＝2.
(2)法一　如图，·＝(＋)·＝·＋·＝2＝1，
·＝(＋)·
＝·＋·
＝·＝||·||≤||2＝1.
法二　以A为坐标原点，以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，

则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，
设E(t，0)，t∈[0，1]，
则＝(t，－1)，＝(0，－1)，
所以·＝(t，－1)·(0，－1)＝1.因为＝(1，0)，
所以·＝(t，－1)·(1，0)＝t≤1，
故·的最大值为1.
法三　由图知，无论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB＝1，

∴·＝||·1＝1.
当E运动到B点时，在方向上的投影最大即为DC＝1，
∴(·)max＝||·1＝1.
答案　(1)C　(2)1　1
考点二　平面向量的夹角与垂直、模的计算
【例2】 (1)(一题多解)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则(　　)
A.a⊥b B.|a|＝|b|
C.a∥b D.|a|＞|b|
(2)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________.
(3)已知平面向量a与b的夹角等于，若|a|＝2，|b|＝3，则|2a－3b|＝(　　)
A. B.
C.57 D.61
解析　(1)法一　∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2.
∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.
∴a·b＝0.∴a⊥b.
法二　利用向量加法的平行四边形法则.
在▱ABCD中，设＝a，＝b，
由|a＋b|＝|a－b|知||＝||，
从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.
(2)∵2a－3b与c的夹角为钝角，∴(2a－3b)·c<0，
即(2k－3，－6)·(2，1)<0，解得k＜3.
又若(2a－3b)∥c，
则2k－3＝－12，即k＝－.
当k＝－时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，
即2a－3b与c反向.
综上，k的取值范围为∪.
(3)由题意可得a·b＝|a|·|b|cos＝3，
所以|2a－3b|＝＝＝＝，故选B.
答案　(1)A　(2)∪　(3)B
规律方法　(1)根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，cos θ＝(夹角公式)，a⊥b⇔a·b＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.
(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角.
(3)计算向量的模：①当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；②利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；③几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.
【训练2】 (1)(2019·全国Ⅲ卷)已知向量a＝(2，2)，b＝(－8，6)，则cos〈a，b〉＝________.
(2)(2020·杭州质检)已知正三角形ABC的边长为2，设＝2a，＝b，则(　　)
A.|a＋b|＝1 B.a⊥b
C.a·b＝1 D.(4a＋b)⊥b
(3)(2019·浙江十校联盟适考)|a|＝2|b|＝2，a·b＝－1，b⊥(ta＋b)(t∈R)，则|a＋2b|＝________，t＝________.
解析　(1)∵a＝(2，2)，b＝(－8，6)，
∴a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4，
|a|＝＝2，|b|＝＝10.
∴cos〈a，b〉＝＝＝－.
(2)设AB的中点为点D，则由＝2a，得a＝，因为△ABC是边长为2的等边三角形，所以||＝1，||＝2，向量与向量的夹角为120°，所以|a＋b|＝||＝，A错误；a·b＝||·||cos 120°＝－1，所以向量a与向量b不垂直，B，C错误；(4a＋b)·b＝4||·||cos 120°＋||2＝－4＋4＝0，所以(4a＋b)⊥b，D正确.
(3)由题意得|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝4＋4×(－1)＋4×1＝4，所以|a＋2b|＝2，由b⊥(ta＋b)得b·(ta＋b)＝ta·b＋|b|2＝－t＋1＝0，解得t＝1.
答案　(1)－　(2)D　(3)2　1
考点三　向量与三角函数的交汇
【例3】 设向量a＝(2sin x，－cos x)，b＝(cos x，2cos x)，f(x)＝a·b＋1.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若方程f(x)＝|t2－t|(t∈R)无实数解，求t的取值范围.
解　(1)因为f(x)＝a·b＋1＝2sin xcos x－2cos2x＋1
＝sin 2x－cos 2x＝2sin，
故f(x)的最小正周期为π.
(2)若方程f(x)＝|t2－t|无实数解，
则|t2－t|>f(x)max＝2，所以t2－t>2或t2－t<－2，
由t2－t>2，解得t>2或t<－1；
由t2－t＋2＝＋>0，
故不等式t2－t<－2无实数解，
所以t的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).
规律方法　此类问题一般通过向量的运算转化为三角函数问题解决.
【训练3】 已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(－，)，x∈[0，π].
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
解　(1)由题意得－cos x＋sin x＝0，
所以tan x＝，又x∈[0，π]，所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝－cos x＋sin x
＝2sin，
因为x∈[0，π]，所以x－∈，
即f(x)的最大值为2，此时x－＝，于是x＝；
f(x)的最小值为－，此时x－＝－，于是x＝0.

基础巩固题组
一、选择题
1.(一题多解)(2020·武汉调研)设向量a＝(1，－2)，b＝(0，1)，向量λa＋b与向量a＋3b垂直，则实数λ＝(　　)
A. B.1
C.－1 D.－
解析　法一　因为a＝(1，－2)，b＝(0，1)，所以λa＋b＝(λ，－2λ＋1)，a＋3b＝(1，1)，由已知得(λ，－2λ＋1)·(1，1)＝0，所以λ－2λ＋1＝0，解得λ＝1，故选B.
法二　因为向量λa＋b与向量a＋3b垂直，所以(λa＋b)·(a＋3b)＝0，
所以λ|a|2＋(3λ＋1)a·b＋3|b|2＝0，因为a＝(1，－2)，b＝(0，1)，
所以|a|2＝5，|b|2＝1，a·b＝－2，所以5λ－2(3λ＋1)＋3×1＝0，解得λ＝1，故选B.
答案　B
2.(2020·广州综测一)若等边三角形ABC的边长为1，点M满足＝＋2，则·＝(　　)
A. B.2
C.2 D.3
解析　因为＝＋2，所以＝－＝－－2＝－－，＝－＝－－2＝－2，·＝(－－)·(－2)＝22＋2·＝2＋2×1×1×＝3，选D.
答案　D
3.(2019·北仑中学模拟)设向量a，b满足：|a|＝1，|b|＝2，a·(a＋b)＝0，则a与b的夹角是(　　)
A.30° B.60°
C.90° D.120°
解析　设a与b的夹角为θ，因为|a|＝1，|b|＝2，a(a＋b)＝0，所以a2＋a·b＝1＋2cos θ＝0，即cos θ＝－，因为0°＜θ＜180°，所以a与b的夹角θ＝120°，故选D.
答案　D
4.(2020·北京延庆区模拟)△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若2＋＋＝0，且||＝||，则·＝(　　)
A. B.
C.3 D.2
解析　∵2＋＋＝0，∴＝－，故点O是BC的中点，且△ABC为直角三角形，又△ABC外接圆半径为1，||＝||，所以BC＝2，CA＝，∠BCA＝30°，∴·＝||·||cos 30°＝2××＝3.
答案　C
5.(2019·北京平谷区监控)设a，b是非零向量，则“|a－b|＝|a|＋|b|”是“a∥b”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　由“|a－b|＝|a|＋|b|”平方得|a|2－2a·b＋|b|2＝|a|2＋2|a|·|b|＋|b|2，
即－a·b＝|a|·|b|，
则|a|·|b|cos〈a，b〉＝－|a|·|b|，
即cos〈a，b〉＝－1，即〈a，b〉＝180°，此时a∥b成立，充分性成立，
若〈a，b〉＝0°时，满足a∥b，且－a·b＝|a|·|b|不成立，即必要性不成立，
即“|a－b|＝|a|＋|b|”是“a∥b”的充分不必要条件.
答案　A
6.已知不共线的两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|2a－b|，则(　　)
A.|a|<2|b| B.|a|>2|b|
C.|b|<|a－b| D.|b|>|a－b|
解析　设向量a，b的夹角为θ，则由|a＋b|＝|2a－b|得(a＋b)2＝(2a－b)2，即|a|2＋2|a||b|cos θ＋|b|2＝4|a|2－4|a||b|cos θ＋|b|2，化简得|a|＝2|b|cos θ，因为向量a，b不共线，所以cos θ∈(0，1)，所以|a|<2|b|，故选A.
答案　A
二、填空题
7.(2019·长沙二模)已知两个单位向量a和b的夹角为120°，则a＋b在b方向上的投影为________.
解析　因为(a＋b)·b＝a·b＋|b|2＝，
所以a＋b在b方向上的投影为＝.
答案　
8.(2020·北京朝阳区期末)已知四边形的顶点A，B，C，D在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则·＝________.

解析　如图，以A为坐标原点，以AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，2)，C(7，0)，D(3，－2)，

∴＝(7，0)，＝(1，4)，∴·＝7×1＋0×4＝7.
答案　7
9.如图，四个边长为1的正方形排成一个正方形，AB是大正方形的一条边，Pi(i＝1，2，…，7)是小正方形的其余的顶点，则·i(i＝1，2，…，7)的不同值的个数为________.

解析　由数量积的定义及投影知识解决.∵·＝||·||cos〈，〉＝2·0，或2·1，或2·2，∴有3个不同的值.
答案　3
10.(2019·全国Ⅲ卷)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝________.
解析　由题意得cos〈a，c〉＝
＝＝＝.
答案　
11.在同一个平面内，向量，，的模分别为1，2，3，与的夹角为α，且cos α＝，与的夹角为60°，若＝m＋n(m，n∈R)，则m＋3n＝________.
解析　由＝m＋n得||2＝m·＋n·，即32＝m×1×3cos α＋n×2×3cos 60°，化简得m＋3n＝9.
答案　9
三、解答题
12.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|；
(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积.
解　(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，
∴64－4a·b－27＝61，
∴a·b＝－6.∴cos θ＝＝＝－.
又0≤θ≤π，∴θ＝.
(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2
＝42＋2×(－6)＋32＝13，
∴|a＋b|＝.
(3)∵与的夹角θ＝，
∴∠ABC＝π－＝.
又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，
∴S△ABC＝||||sin∠ABC＝×4×3×＝3.
13.已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π].
(1)若a∥b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
解　(1)∵a∥b，∴3sin x＝－cos x，
∴3sin x＋cos x＝0，
即sin＝0.
∵0≤x≤π，∴≤x＋≤π，
∴x＋＝π，∴x＝.
(2)f(x)＝a·b＝3cos x－sin x＝－2sin.
∵x∈[0，π]，∴x－∈，
∴－≤sin≤1，
∴－2≤f(x)≤3，
当x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最大值3；
当x－＝，即x＝时，f(x)取得最小值－2.
能力提升题组
14.(2017·浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记I1＝·，I2＝·，I3＝·，则(　　)

A.I1＜I2＜I3 B.I1＜I3＜I2
C.I3＜I1＜I2 D.I2＜I1＜I3
解析　如图所示，四边形ABCE是正方形，F为正方形的对角线的交点，易得AO 根据题意，I1－I2＝·－·＝·(－)＝·
＝||||·cos∠AOB<0，
∴I1I3，作AG⊥BD于G，
又AB＝AD，
∴OB ∴||||<||||，
而cos∠AOB＝cos∠COD<0，∴·>·，
即I1>I3.∴I3 答案　C
15.(2019·北京南阳区二模)在同一平面内，已知A为动点，B，C为定点，且∠BAC＝，∠ACB≠，BC＝1，P为BC中点.过点P作PQ⊥BC交AC所在直线于Q，则在方向上投影的最大值是(　　)
A. B.
C. D.
解析　建立如图所示的平面直角坐标系，则B，C，P(0，0)，
由∠BAC＝可知A，B，C三点在一个定圆上，且弦BC所对的圆周角为，所以圆心角为.圆心在BC的中垂线即y轴上，且圆心与直线BC的距离为＝，即圆心为，半径为＝.
所以点A的轨迹方程为x2＋＝，则x2≤，则－≤x≤，
由在方向上投影的几何意义可得在方向上投影为|DP|＝|x|，则在方向上投影的最大值是.
答案　
16.(一题多解)(2019·江苏卷)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O.若·＝6·，则的值是________.

解析　法一　如图，过点D作DF∥CE交AB于点F，由D是BC的中点，可知F为BE的中点.又BE＝2EA，则知EF＝EA，从而可得AO＝OD，则有＝＝(＋)，＝－＝－，所以6·＝(＋)·＝2－2＋·＝·，整理可得2＝32，所以＝.
法二　以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示.

设E(1，0)，C(a，b)，则B(3，0)，D.
⇒O.
∵·＝6·，
∴(3，0)·(a，b)＝6·(a－1，b)，
即3a＝6，
∴a2＋b2＝3，∴AC＝.∴＝＝.
答案　
17.(2020·杭州质检)如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD⊥BC，M，N分别为AB，AC的中点.若·＝－6，求BC.

解　由AD⊥BC可知DM＝AM，DN＝AN，
所以∠MDN＝∠MAN，
因为·＝12cos∠MAN＝－6，
所以cos∠MAN＝－，
所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠MAN＝148，
所以BC＝2.
18.在平面直角坐标系xOy中，设向量a＝(cos α，sin α)，b＝(－sin β，cos β)，c＝.
(1)若|a＋b|＝|c|，求sin(α－β)的值；
(2)设α＝，0<β<π，且a∥(b＋c)，求β的值.
解　(1)∵向量a＝(cos α，sin α)，b＝(－sin β，cos β)，c＝，
∴|a|＝|b|＝|c|＝1，且a·b＝－cos αsin β＋sin αcos β＝sin(α－β).
∵|a＋b|＝|c|，
∴|a＋b|2＝|c|2，即|a|2＋2a·b＋|b|2＝1.
∴1＋2sin(α－β)＋1＝1，即sin(α－β)＝－.
(2)∵α＝，∴a＝.
依题意，b＋c＝.
∵a∥(b＋c)，
∴－－＝0，化简得，
sin β－cos β＝，
∴sin＝.
∵0<β<π，∴－<β－<.
∴β－＝，即β＝.