2021届浙江省高考数学一轮学案：第八章第2节　空间几何体的表面积与体积


第2节　空间几何体的表面积与体积
考试要求　了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.

知 识 梳 理
1.多面体的表(侧)面积
多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图



侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
3.柱、锥、台和球的表面积和体积

表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝Sh
台体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝(S上＋S下＋)h
球
S＝4πR2
V＝πR3
[常用结论与易错提醒]
1.表面积应为侧面积和底面积的和，要注意组合体中哪些部分暴露或遮挡.
2.求空间几何体体积的常用方法
(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算.
(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等.
(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体.
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
(1)锥体的体积等于底面面积与高之积.(　　)
(2)球的体积之比等于半径比的平方.(　　)
(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.(　　)
(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R＝a.(　　)
解析　(1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确.
(2)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确.
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2.已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　　)
A.1 cm B.2 cm
C.3 cm D. cm
解析　S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2(cm).
答案　B
3.(2020·北京通州期末)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中面积最小的侧面面积为(　　)

A.1 B.
C.2 D.
解析　由三视图画出该四棱锥的直观图，如图所示：在此四棱锥P－ABCD的四个侧面中，面积最小的侧面是Rt△PBC，它的面积为BC·PB＝×1×＝.
答案　B
4.(2018·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(　　)

A.2 B.4
C.6 D.8
解析　由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积V＝×(1＋2)×2×2＝6.故选C.
答案　C
5.(2019·江苏卷)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E－BCD的体积是________.

解析　设长方体中BC＝a，CD＝b，CC1＝c，则abc＝120，
∴VE－BCD＝×ab×c＝abc＝10.
答案　10
6.(2020·杭州质检)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是________cm3；表面积是________cm2.

解析　由三视图得该几何体为一个长、宽、高分别为6，6，8的长方体挖去两个底面半径为3，高为4的圆锥体后剩余的部分，则其体积为6×6×8－2××4×π×32＝288－24π，表面积为2(6×6＋6×8＋6×8)－2×π×32＋2××5×2×π×3＝264＋12π.
答案　288－24π　264＋12π

考点一　空间几何体的表面积
【例1】 (1)(2020·温州适应性测试)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是(　　)

A.8 cm2 B.12 cm2
C.(4＋2)cm2 D.(4＋4)cm2
(2)(2020·浙江新高考仿真卷五)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝(　　)
A.1　　　　　　　　 B.2
C.4 D.8
解析　(1)由视图得该几何体是底面为边长为2的正方形，高为2的正四棱锥，则其侧面的高为＝，所以该几何体的表面积为2×2＋4××2×＝4＋4，故选D.
(2)由三视图得该几何体为一个半球和一个半圆柱的组合体，且半圆柱的底面和半球体的一半底面重合，则其表面积为×4πr2＋πr2＋2r×2r＋×2πr×2r＝4r2＋5πr2＝16＋20π，解得r＝2，故选B.
答案　(1)D　(2)B
规律方法　空间几何体表面积的求法.
(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.
(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.
【训练1】 (1)一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图均为半径是2的圆，则这个几何体的表面积是________.

(2)(2020·浙江新高考仿真卷一)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有一“阳马”P－ABCD，已知其体积为8，AB＝2，BC＝3，则该“阳马”的最长侧棱长为________，表面积为________.
解析　(1)根据给定的三视图可知该几何体为个球体，其半径为2，因此该几何体的表面积为S＝×4π×22＋π×22＝16π.
(2)由题意知，该“阳马”直观图如图所示.由体积V＝×AB×BC×PA＝8可知高PA＝4，∴该四棱锥的最长侧棱长PC＝＝，表面积为2×3＋(2×4＋3×4＋2×5＋3×2)＝21＋3.

答案　(1)16π　(2)　21＋3
考点二　空间几何体的体积
【例2】 (1)(一题多解)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(　　)

A.90π B.63π
C.42π D.36π
(2)(2019·北京卷)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为________.

解析　(1)法一　(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得，如图所示.
将圆柱补全，并将圆柱体从点A处水平分成上下两部分.由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积V＝π×32×4＋π×32×6×＝63π.
法二　(估值法)由题意知，V圆柱