2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第1章第1讲　集合的概念与运算




第一章　集合与常用逻辑用语
第1讲　集合的概念与运算

[考纲解读]　1.了解集合的含义．体会元素与集合的关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述具体问题．
2．理解集合间的相等与包含关系，会求集合的子集，了解全集与空集的含义．(重点)
3．在理解集合间的交、并、补的含义的基础上，会求两个集合的并集与交集，会求给定子集的补集．(重点、难点)
4．能使用Venn图表达集合间的基本关系及基本运算．

[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的必考内容．预测2021年高考会以考查集合交、并、补的运算为主，结合不等式的解法，求函数的定义域、值域等简单综合命题，试题难度不大，以选择题形式呈现.


1.集合与元素
(1)集合中元素的三个特征： 确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系有属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法

集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R

2．集合间的基本关系
(1)基本关系

关系
自然语言
符号语言
Venn图
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)
A⊆B
(或B⊇A)

真子
集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中
AB
(或BA)

集合
相等
集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集
A＝B

(2)结论
①空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集，符号表示为∅⊆A，∅B(B≠∅)．
②对于任意集合A，A⊆A.
③若A⊆B，B⊆C，则A⊆C.
3．集合的基本运算
　　表示
运算　　
文字语言
符号语言
图形语言
记法
交集
属于A且属于B的元素组成的集合
{x|x∈A，
且x∈B}

A∩B
并集
属于A或属于B的元素组成的集合
{x|x∈A，
或x∈B}

A∪B
补集
全集U中不属于A的元素组成的集合
{x|x∈U，且
x∉A}　

∁UA

4．集合的运算性质
(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.
(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.
(3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．
(4)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n－1个，真子集有2n－1个，非空真子集的个数为2n－2个．

1．概念辨析
(1)若1∈{x，x2}，则x＝±1.(　　)
(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．(　　)
(3){x|x≥2}＝{t|t≥2}．(　　)
(4)对于任意两个集合A，B，总有(A∩B)⊆A，A⊆(A∪B)．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．小题热身
(1)已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x∈Z|－3＜2x－1≤3}，则A∪B＝(　　)
A．{－2,1} B．{0,1,2}
C．{－2，－1,0,1,2} D．{－2,0,1,2}
答案　D
解析　因为A＝{－2,1}，B＝{x∈Z|－1＜x≤2}＝{0,1,2}，所以A∪B＝{－2,0,1,2}．
(2)设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁RB)＝(　　)
A．{x|0＜x≤1} B．{x|0＜x＜1}
C．{x|1≤x＜2} D．{x|0＜x＜2}
答案　B
解析　因为B＝{x|x≥1}，所以∁RB＝{x|x＜1}．因为A＝{x|0＜x＜2}，所以A∩(∁RB)＝{x|0＜x＜1}，故选B.
(3)已知集合A＝{x|x＝3n，n∈N}，B＝{x|x＝6m，m∈N}，则A与B的关系为________．
答案　BA
解析　任取x∈B，则x＝6m＝3·2m,2m∈N，所以x∈A，所以B⊆A，又3∈A但3∉B，所以BA.
(4)已知集合A＝，B＝{0，x2}，且A＝B，则集合A的子集为_______．
答案　∅，{0}，{4}，{0,4}
解析　由题意得＝x2，y＝0，解得x＝2，
所以A＝{0,4}，其子集为∅，{0}，{4}，{0,4}．


题型 一　集合的基本概念与表示方法

1．(2019·厦门一中模拟)设集合M＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}，P＝{y|y＝2m，m∈Z}，若x0∈M，y0∈P，a＝x0＋y0，b＝x0y0，则(　　)
A．a∈M，b∈P B．a∈P，b∈M
C．a∈M，b∈M D．a∈P，b∈P
答案　A
解析　解法一：设x0＝2n＋1，y0＝2k(n，k∈Z)，
则x0＋y0＝2n＋1＋2k＝2(n＋k)＋1∈M，
x0y0＝(2n＋1)(2k)＝2(2nk＋k)∈P，
故a∈M，b∈P.
解法二：由已知得，集合M是所有奇数构成的集合，集合P是所有偶数构成的集合，根据奇数＋偶数是奇数，奇数×偶数是偶数可知a∈M，b∈P.
2．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　)
A．9 B．8
C．5 D．4
答案　A
解析　∵x2＋y2≤3，∴x2≤3，∵x∈Z，∴x＝－1,0,1，
当x＝－1时，y＝－1,0,1；当x＝0时，y＝－1,0,1；当x＝1时，y＝－1,0,1，所以A中元素共有9个，故选A.
3．若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________.
答案　0或1
解析　因为－3∈A，所以a－3＝－3或2a－1＝－3或a2－4＝－3，
解得a＝0或a＝－1或a＝1.
当a＝0时，A＝{－3，－1，－4}，符合题意；
当a＝－1时，2a－1＝a2－4＝－3，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
当a＝1时，A＝{－2,1，－3}，符合题意．
综上知a＝0或1.

1．用描述法表示集合的两个关键点
(1)搞清楚集合中的代表元素是什么．如举例说明1,3是数，举例说明2是有序数对(或平面内的点)．
(2)看这些元素满足什么共同特征．如举例说明1，集合M是所有奇数构成的集合，集合P是所有偶数构成的集合．如举例说明2，x，y是整数且满足x2＋y2≤3.
2．两个易错点
(1)忽视集合中元素的互异性．如举例说明3，求出a值后应注意检验．
(2)忽视分类讨论．如举例说明2，要分x＝－1，x＝0和x＝1三种情况讨论，可以保证不重不漏．
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1．设集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|－x∈A,1－x∉A}，则集合B中元素的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　A
解析　若x∈B，则－x∈A，所以x只可能取0，－1，－2，－3.逐一检验可知B＝{－3}，只有1个元素．
2．已知单元素集合A＝{x|x2－(a＋2)x＋1＝0}，则a等于(　　)
A．0 B．－4
C．－4或1 D．－4或0
答案　D
解析　因为集合A只有一个元素，所以一元二次方程x2－(a＋2)x＋1＝0有两个相等的实根，所以Δ＝(a＋2)2－4＝0，解得a＝－4或0.
题型 二　集合间的基本关系　
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．集合M＝{x|x＝3n，n∈N}，集合N＝{x|x＝3n，n∈N}，则集合M与集合N的关系为(　　)
A．MN B．NM
C．M＝N D．MN且NM
答案　D
解析　因为1∈M,1∉N，所以MN，因为0∈N,0∉M，所以NM.综上知，M⃘N且N⃘M.
2．已知集合M＝x＝＋，k∈Z，集合N＝x＝－，k∈Z，则(　　)
A．MN B．NM
C．M＝N D．以上都不对
答案　A
解析　∵＋＝π，k∈Z，
－＝π，k∈Z，
∴任取x∈M，有x∈N，且∈N，但∉M，
∴MN.
3．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．
答案　(－∞，3]
解析　因为B⊆A，所以①若B＝∅，则2m－1