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2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第2章第6讲 对数与对数函数
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第6讲 对数与对数函数
[考纲解读] 1.理解对数的概念及其运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数，熟悉对数在简化运算中的作用．
2．理解对数函数的概念及对数函数的相关性质，掌握其图象通过的特殊点．(重点、难点)
3．通过具体实例了解对数函数模型所刻画的数量关系，并体会对数函数是一类重要的函数模型．
4．了解指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数．
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲为高考中的一个热点．预测2021年高考主要以考查对数函数的单调性的应用、最值、比较大小为主要命题方向，此外，与对数函数有关的复合函数也是一个重要的考查方向，主要以复合函数的单调性、恒成立问题呈现.
1.对数的概念
如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的性质
①alogaN＝N(a>0，且a≠1)；②logaaN＝N(a＞0，且a≠1)；③零和负数没有对数．
(2)对数的运算法则(a＞0，且a≠1，M ＞0，N＞0)
①loga(M·N)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)．
(3)对数的换底公式
logab＝(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b＞0)．
3．对数函数的图象与性质
函数
y＝logax(a>0，且a≠1)
图象
a>1
0
续表
函数
y＝logax(a>0，且a≠1)
图象
特征
在y轴右侧，过定点(1,0)
当x逐渐增大时，图象是上升的
当x逐渐增大时，图象是下降的
性
质
定义域
(0，＋∞)
值域
R
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
函数值变化
规律
当x＝1时，y＝0
当x>1时，y>0；
当0
当00
4．反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
1．概念辨析
(1)若MN＞0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.( )
(2)若a，b均大于零且不等于1，则logab＝.( )
(3)函数y＝logax2与函数y＝2logax是相等函数．( )
(4)若M＞N＞0，则logaM＞logaN.( )
(5)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，.( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√
2．小题热身
(1)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )
A．a＞1，c＞1
B．a＞1,0＜c＜1
C．0＜a＜1，c＞1
D．0＜a＜1,0＜c＜1
答案 D
解析 由选项可知，只需研究c＞0的情况．y＝logax的图象向左平移c个单位可得函数y＝loga(x＋c)的图象，结合图象可知0＜a＜1,0＜c＜1.
(2)若a＝log0.20.3，b＝log0.20.4，c＝20.2，则( )
A．a＜b＜c B．b＜a＜c
C．b＜c＜a D．a＜c＜b
答案 B
解析 因为y＝log0.2x是减函数，所以log0.20.2＞log0.20.3＞log0.20.4，即1＞a＞b.又c＝20.2＞20＝1，所以b＜a＜c.
(3)有下列结论：①lg (lg 10)＝0；②lg (ln e)＝0；③若lg x＝1，则x＝10；④若log22＝x，则x＝1；⑤若logmn·log3m＝2，则n＝9.其中正确结论的序号是________．
答案 ①②③④⑤
解析 lg (lg 10)＝lg 1＝0，故①正确；lg (ln e)＝lg 1＝0，故②正确；③④正确；logmn·log3m＝·log3m＝log3n＝2，故n＝9，故⑤正确．
(4)若函数y＝f(x)是函数y＝2x的反函数，则f(2)＝________.
答案 1
解析 由已知得f(x)＝log2x，所以f(2)＝log22＝1.
题型 一 对数式的化简与求值
1．计算log29×log34＋2log510＋log50.25等于( )
A．0 B．2
C．4 D．6
答案 D
解析 log29×log34＋2log510＋log50.25＝2log23×＋log5(102×0.25)＝4＋2＝6.
2．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于( )
A. B．10
C．20 D．100
答案 A
解析 由2a＝5b＝m，得a＝log2m，b＝log5m，所以＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，所以m＝.
3．已知log189＝a,18b＝5，则用a，b表示log3645＝________.
答案
解析 因为log189＝a,18b＝5，所以log185＝b，于是log3645＝＝＝＝.
4．(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax，若f(ln 2)＝8，则a＝________.
答案 －3
解析 设x>0，则－x<0.
∵当x<0时，f(x)＝－eax，∴f(－x)＝－e－ax.
∵f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝e－ax，
∴f(ln 2)＝e－aln 2＝(eln 2)－a＝2－a.
又f(ln 2)＝8，∴2－a＝8，∴a＝－3.
对数运算的一般思路
(1)转化：①利用ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)对题目条件进行转化．如举例说明2.
②利用换底公式化为同底数的对数运算．如举例说明3.
(2)恒等式：关注loga1＝0，logaaN＝N，alogaN＝N的应用．如举例说明4.
(3)拆分：将真数化为积、商或底数的指数幂形式，正用对数的运算法则化简．如举例说明3.
(4)合并：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．如举例说明1.
1．(2019·山东省实验中学模拟)已知正实数a，b，c满足log2a＝log3b＝log6c，则( )
A．a＝bc B．b2＝ac
C．c＝ab D．c2＝ab
答案 C
解析 设log2a＝log3b＝log6c＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝6k，所以ab＝2k·3k＝(2×3)k＝6k＝c.
2．计算(lg 2)2＋lg 2×lg 50＋lg 25的结果为________．
答案 2
解析 原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 52＝lg 2×lg 100＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2lg 10＝2.
3．设35x＝49，若用含x的式子表示log535，则log535＝________.
答案
解析 因为35x＝49，所以x＝log3549＝＝＝＝，解得log535＝.
题型 二 对数函数的图象及应用
1．(2019·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a>0，且a≠1)的图象可能是( )
答案 D
解析 当01时，函数y＝ax的图象过定点(0,1)，在R上单调递增，于是函数y＝的图象过定点(0,1)，在R上单调递减，函数y＝loga的图象过定点，在上单调递增．显然A，B，C都不符合．故选D.
2．当0
C．(1，) D．(，2)
答案 B
解析
构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，要使0＜x≤时，4x＜logax，只需f(x)在上的图象在g(x)的图象下方即可．当a＞1时不满足条件；当0＜a＜1时，画出两个函数在上的图象，可知只需f＜g，即2＜loga，则a＞，所以a的取值范围为.
条件探究1 将本例变为：若方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax在上有交点，由图象知解得0
答案
解析 由x2－logax<0得x2
当0
1．对数函数图象的特征
(1)底数与1的大小关系决定了图象的升降，即a>1时，图象上升；0
在x轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大．
(无论在x轴的上侧还是下侧，底数都按顺时针方向变大)
2．利用对数函数的图象可求解的三类问题
(1)对数型函数图象的识别．解此类问题应从对数函数y＝logax的图象入手，抓住图象上的三个关键点(a,1)，(1,0)，，特别地要注意a>1和0
(3)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．如举例说明2.
1．已知lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝－logbx的图象可能是( )
答案 B
解析 因为lg a＋lg b＝0，所以lg (ab)＝0，所以ab＝1，即b＝，故g(x)＝－logbx＝－logx＝logax，则f(x)与g(x)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，结合图象知，B正确．
2．设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a
解析 由图象可知0
题型 三 对数函数的性质及应用
角度1 比较对数值的大小
1．(2019·天津高考)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为( )
A．a
解析 因为y＝log5x是增函数，所以a＝log52log0.50.5＝1.因为y＝0.5x是减函数，所以0.5＝0.51
2．设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0,1)
答案 C
解析 若a>0，则log2a>loga，即2log2a>0，所以a>1.
若a<0，则log(－a)>log2(－a)，即2log2(－a)<0，
所以0<－a<1，所以－1
角度3 与对数函数有关的函数性质问题
3．函数y＝loga(2－ax)在区间[0,1]上是减函数，则a的取值范围是( )
A．(0,1) B．(0,2)
C．(1,2) D．(2，＋∞)
答案 C
解析 题中隐含a>0，∴2－ax在区间[0,1]上是减函数．∴y＝logau应为增函数，且u＝2－ax在区间[0,1]上应恒大于零，∴∴1
答案 (1,2]
解析 当x≤2时，f(x)＝－x＋6≥4.
因为f(x)的值域为[4，＋∞)，
所以当a＞1时，3＋logax＞3＋loga2≥4，
所以loga2≥1，所以1＜a≤2；
当0＜a＜1时，3＋logax＜3＋loga2，不符合题意．
故a∈(1,2]．
1．比较对数值大小的方法
若底数相同，真数不同
若底数为同一常数，可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论
若底数不同，真数相同
可以先用换底公式化为同底后，再进行比较
若底数与真数都不同
常借助1,0等中间量进行比较，如举例说明1
2．求解对数不等式的两种类型及方法
类型
方法
形如
logax>logab
借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0
logax>b
需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解
3．解与对数函数有关的函数性质问题的三个关注点
(1)定义域，所有问题都必须在定义域内讨论．如举例说明3.
(2)底数与1的大小关系．
(3)复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．
1．(2019·遵义模拟)已知a＝log26，b＝log515，c＝log721，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＜b＜c B．c＜b＜a
C．c＜a＜b D．b＜c＜a
答案 B
解析 因为a＝log26＞log24＝2，b＝log515＝1＋log53，c＝log721＝1＋log73，又log37＞log35＞1，所以＜＜1，即log73＜log53＜1，所以c＜b＜2＜a.
2．函数y＝的定义域是( )
A．[1,2] B．[1,2)
C. D.
答案 D
解析 要使函数解析式有意义，须有log(2x－1)≥0，所以0<2x－1≤1，所以
答案 －
解析 f(x)＝log2x·2log2(2x)＝log2x(log22＋log2x)＝log2x＋(log2x)2＝2－，所以当log2x＝－，即x＝时，f(x)取得最小值－.
组 基础关
1．(2019·沈阳模拟)设函数f(x)＝则f＝( )
A．－1 B．1
C．－ D.
答案 A
解析 f＝log2＝－1.
2．(2019·全国卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
A．a
解析 因为a＝log20.2<0，b＝20.2>1,0c>a.故选B.
3．函数f(x)＝loga(x＋b)的大致图象如图，则函数g(x)＝ax－b的图象可能是( )
答案 D
解析 由图象可知0
由②得loga1
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由loga>1>loga，得
由①得，当a>1时，a<，此时a∈∅；当0，则.因此
A．1010.1 B．10.1
C．lg 10.1 D．10－10.1
答案 A
解析 由题意知，m1＝－26.7，m2＝－1.45，代入所给公式得－1.45－(－26.7)＝lg ，所以lg＝10.1，所以＝1010.1.故选A.
6．(2019·曲靖模拟)设a＝log0.30.4，b＝log30.4，则( )
A．ab＜a＋b＜0 B．a＋b＜ab＜0
C．ab＜0＜a＋b D．a＋b＜0＜ab
答案 A
解析 因为a＝log0.30.4＞log0.31＝0，b＝log30.4＜log31＝0，所以ab＜0，又＝＋＝log0.40.3＋log0.43＝log0.40.9∈(0,1)，所以0＜＜1，所以ab＜a＋b＜0.
7．已知函数f(x)＝ln x＋ln (2－x)，则( )
A．f(x)在(0,2)上单调递增
B．f(x)在(0,2)上单调递减
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称
答案 C
解析 f(x)的定义域为(0,2)．f(x)＝ln x＋ln (2－x)＝ln [x(2－x)]＝ln (－x2＋2x)．设u＝－x2＋2x，x∈(0,2)，则u＝－x2＋2x在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．又y＝ln u在其定义域上单调递增，∴f(x)＝ln (－x2＋2x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．∴A，B错误．∵f(x)＝ln x＋ln (2－x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴C正确．∵f(2－x)＋f(x)＝[ln (2－x)＋ln x]＋[ln x＋ln (2－x)]＝2[ln x＋ln (2－x)]，不恒为0，∴f(x)的图象不关于点(1,0)对称，∴D错误．故选C.
8．计算：log23·log38＋()log34＝________.
答案 5
解析 原式＝·＋3log34＝3＋3log32＝3＋2＝5.
9．已知函数y＝loga(x－1)(a＞0，且a≠1)的图象过定点A，若点A也在函数f(x)＝2x＋b的图象上，则f(log23)＝________.
答案 －1
解析 函数y＝loga(x－1)(a＞0，且a≠1)的图象过定点A(2,0)，
因为点A在函数f(x)＝2x＋b的图象上，
所以22＋b＝0，所以b＝－4.f(x)＝2x－4.
所以f(log23)＝2log23－4＝3－4＝－1.
10．已知函数y＝logax(2≤x≤4)的最大值比最小值大1，则a的值为________．
答案 2或
解析 ①当a>1时，y＝logax在[2,4]上为增函数．
由已知得loga4－loga2＝1，所以loga2＝1，所以a＝2.
②当0
所以loga＝1，所以a＝.
综上可知，a的值为2或.
组 能力关
1．设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( )
A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y
C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z
答案 D
解析 ∵2x＝3y＝5z，∴ln 2x＝ln 3y＝ln 5z，∴xln 2＝yln 3＝zln 5，∴＝，∴＝＝＝＞1，∴2x＞3y，同理可得2x＜5z.∴3y＜2x＜5z.故选D.
2．(2020·北京海淀模拟)如图，点A，B在函数y＝log2x＋2的图象上，点C在函数y＝log2x的图象上，若△ABC为等边三角形，且直线BC∥y轴，设点A的坐标为(m，n)，则m＝( )
A．2 B．3
C. D.
答案 D
解析 因为直线BC∥y轴，所以B，C的横坐标相同；又B在函数y＝log2x＋2的图象上，点C在函数y＝log2x的图象上，所以|BC|＝2.即正三角形ABC的边长为2.由点A的坐标为(m，n)，得B(m＋，n＋1)，所以
所以log2m＋2＋1＝log2(m＋)＋2，所以m＝.
3．(2019·湖北宜昌一中模拟)若函数f(x)＝log0.9(5＋4x－x2)在区间(a－1，a＋1)上单调递增，且b＝lg 0.9，c＝20.9，则( )
A．c
解析 由5＋4x－x2>0，得－1
A. B.
C．(0，＋∞) D.
答案 B
解析 因为函数f(x)＝loga(ax＋t)(a＞0且a≠1)在其定义域内为增函数，若函数f(x)为“半保值函数”；则方程f(x)＝x必有两个不同的实数根，loga(ax＋t)＝x⇔ax＋t＝a⇔ax－a＋t＝0，令s＝a，则关于s的方程s2－s＋t＝0有两个不同的正根．所以Δ＝(－1)2－4t＞0，结合t＞0，知t∈.
5．已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________.
答案 4 2
解析 令logab＝t，∵a>b>1，∴0
答案 (0,1)∪[2，＋∞)
解析 当0＜a＜1时，函数f(x)＝loga(x2－ax＋1)(a＞0且a≠1)没有最小值，当a＞1时，若函数f(x)＝loga(x2－ax＋1)(a＞0且a≠1)没有最小值，则x2－ax＋1≤0有解，所以Δ＝a2－4≥0，解得a≥2，综上可知，a的取值范围是(0,1)∪[2，＋∞)．
第6讲 对数与对数函数
[考纲解读] 1.理解对数的概念及其运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数，熟悉对数在简化运算中的作用．
2．理解对数函数的概念及对数函数的相关性质，掌握其图象通过的特殊点．(重点、难点)
3．通过具体实例了解对数函数模型所刻画的数量关系，并体会对数函数是一类重要的函数模型．
4．了解指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数．
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲为高考中的一个热点．预测2021年高考主要以考查对数函数的单调性的应用、最值、比较大小为主要命题方向，此外，与对数函数有关的复合函数也是一个重要的考查方向，主要以复合函数的单调性、恒成立问题呈现.
1.对数的概念
如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的性质
①alogaN＝N(a>0，且a≠1)；②logaaN＝N(a＞0，且a≠1)；③零和负数没有对数．
(2)对数的运算法则(a＞0，且a≠1，M ＞0，N＞0)
①loga(M·N)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)．
(3)对数的换底公式
logab＝(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b＞0)．
3．对数函数的图象与性质
函数
y＝logax(a>0，且a≠1)
图象
a>1
0
续表
函数
y＝logax(a>0，且a≠1)
图象
特征
在y轴右侧，过定点(1,0)
当x逐渐增大时，图象是上升的
当x逐渐增大时，图象是下降的
性
质
定义域
(0，＋∞)
值域
R
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
函数值变化
规律
当x＝1时，y＝0
当x>1时，y>0；
当0
当0
4．反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
1．概念辨析
(1)若MN＞0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.( )
(2)若a，b均大于零且不等于1，则logab＝.( )
(3)函数y＝logax2与函数y＝2logax是相等函数．( )
(4)若M＞N＞0，则logaM＞logaN.( )
(5)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，.( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√
2．小题热身
(1)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )
A．a＞1，c＞1
B．a＞1,0＜c＜1
C．0＜a＜1，c＞1
D．0＜a＜1,0＜c＜1
答案 D
解析 由选项可知，只需研究c＞0的情况．y＝logax的图象向左平移c个单位可得函数y＝loga(x＋c)的图象，结合图象可知0＜a＜1,0＜c＜1.
(2)若a＝log0.20.3，b＝log0.20.4，c＝20.2，则( )
A．a＜b＜c B．b＜a＜c
C．b＜c＜a D．a＜c＜b
答案 B
解析 因为y＝log0.2x是减函数，所以log0.20.2＞log0.20.3＞log0.20.4，即1＞a＞b.又c＝20.2＞20＝1，所以b＜a＜c.
(3)有下列结论：①lg (lg 10)＝0；②lg (ln e)＝0；③若lg x＝1，则x＝10；④若log22＝x，则x＝1；⑤若logmn·log3m＝2，则n＝9.其中正确结论的序号是________．
答案 ①②③④⑤
解析 lg (lg 10)＝lg 1＝0，故①正确；lg (ln e)＝lg 1＝0，故②正确；③④正确；logmn·log3m＝·log3m＝log3n＝2，故n＝9，故⑤正确．
(4)若函数y＝f(x)是函数y＝2x的反函数，则f(2)＝________.
答案 1
解析 由已知得f(x)＝log2x，所以f(2)＝log22＝1.
题型 一 对数式的化简与求值
1．计算log29×log34＋2log510＋log50.25等于( )
A．0 B．2
C．4 D．6
答案 D
解析 log29×log34＋2log510＋log50.25＝2log23×＋log5(102×0.25)＝4＋2＝6.
2．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于( )
A. B．10
C．20 D．100
答案 A
解析 由2a＝5b＝m，得a＝log2m，b＝log5m，所以＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，所以m＝.
3．已知log189＝a,18b＝5，则用a，b表示log3645＝________.
答案
解析 因为log189＝a,18b＝5，所以log185＝b，于是log3645＝＝＝＝.
4．(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax，若f(ln 2)＝8，则a＝________.
答案 －3
解析 设x>0，则－x<0.
∵当x<0时，f(x)＝－eax，∴f(－x)＝－e－ax.
∵f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝e－ax，
∴f(ln 2)＝e－aln 2＝(eln 2)－a＝2－a.
又f(ln 2)＝8，∴2－a＝8，∴a＝－3.
对数运算的一般思路
(1)转化：①利用ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)对题目条件进行转化．如举例说明2.
②利用换底公式化为同底数的对数运算．如举例说明3.
(2)恒等式：关注loga1＝0，logaaN＝N，alogaN＝N的应用．如举例说明4.
(3)拆分：将真数化为积、商或底数的指数幂形式，正用对数的运算法则化简．如举例说明3.
(4)合并：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．如举例说明1.
1．(2019·山东省实验中学模拟)已知正实数a，b，c满足log2a＝log3b＝log6c，则( )
A．a＝bc B．b2＝ac
C．c＝ab D．c2＝ab
答案 C
解析 设log2a＝log3b＝log6c＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝6k，所以ab＝2k·3k＝(2×3)k＝6k＝c.
2．计算(lg 2)2＋lg 2×lg 50＋lg 25的结果为________．
答案 2
解析 原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 52＝lg 2×lg 100＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2lg 10＝2.
3．设35x＝49，若用含x的式子表示log535，则log535＝________.
答案
解析 因为35x＝49，所以x＝log3549＝＝＝＝，解得log535＝.
题型 二 对数函数的图象及应用
1．(2019·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a>0，且a≠1)的图象可能是( )
答案 D
解析 当0
2．当0
C．(1，) D．(，2)
答案 B
解析
构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，要使0＜x≤时，4x＜logax，只需f(x)在上的图象在g(x)的图象下方即可．当a＞1时不满足条件；当0＜a＜1时，画出两个函数在上的图象，可知只需f＜g，即2＜loga，则a＞，所以a的取值范围为.
条件探究1 将本例变为：若方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax在上有交点，由图象知解得0
答案
解析 由x2－logax<0得x2
当0
1．对数函数图象的特征
(1)底数与1的大小关系决定了图象的升降，即a>1时，图象上升；0
在x轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大．
(无论在x轴的上侧还是下侧，底数都按顺时针方向变大)
2．利用对数函数的图象可求解的三类问题
(1)对数型函数图象的识别．解此类问题应从对数函数y＝logax的图象入手，抓住图象上的三个关键点(a,1)，(1,0)，，特别地要注意a>1和0
(3)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．如举例说明2.
1．已知lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝－logbx的图象可能是( )
答案 B
解析 因为lg a＋lg b＝0，所以lg (ab)＝0，所以ab＝1，即b＝，故g(x)＝－logbx＝－logx＝logax，则f(x)与g(x)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，结合图象知，B正确．
2．设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a
解析 由图象可知0
题型 三 对数函数的性质及应用
角度1 比较对数值的大小
1．(2019·天津高考)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为( )
A．a
解析 因为y＝log5x是增函数，所以a＝log52
2．设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0,1)
答案 C
解析 若a>0，则log2a>loga，即2log2a>0，所以a>1.
若a<0，则log(－a)>log2(－a)，即2log2(－a)<0，
所以0<－a<1，所以－1
角度3 与对数函数有关的函数性质问题
3．函数y＝loga(2－ax)在区间[0,1]上是减函数，则a的取值范围是( )
A．(0,1) B．(0,2)
C．(1,2) D．(2，＋∞)
答案 C
解析 题中隐含a>0，∴2－ax在区间[0,1]上是减函数．∴y＝logau应为增函数，且u＝2－ax在区间[0,1]上应恒大于零，∴∴1
答案 (1,2]
解析 当x≤2时，f(x)＝－x＋6≥4.
因为f(x)的值域为[4，＋∞)，
所以当a＞1时，3＋logax＞3＋loga2≥4，
所以loga2≥1，所以1＜a≤2；
当0＜a＜1时，3＋logax＜3＋loga2，不符合题意．
故a∈(1,2]．
1．比较对数值大小的方法
若底数相同，真数不同
若底数为同一常数，可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论
若底数不同，真数相同
可以先用换底公式化为同底后，再进行比较
若底数与真数都不同
常借助1,0等中间量进行比较，如举例说明1
2．求解对数不等式的两种类型及方法
类型
方法
形如
logax>logab
借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0
logax>b
需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解
3．解与对数函数有关的函数性质问题的三个关注点
(1)定义域，所有问题都必须在定义域内讨论．如举例说明3.
(2)底数与1的大小关系．
(3)复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．
1．(2019·遵义模拟)已知a＝log26，b＝log515，c＝log721，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＜b＜c B．c＜b＜a
C．c＜a＜b D．b＜c＜a
答案 B
解析 因为a＝log26＞log24＝2，b＝log515＝1＋log53，c＝log721＝1＋log73，又log37＞log35＞1，所以＜＜1，即log73＜log53＜1，所以c＜b＜2＜a.
2．函数y＝的定义域是( )
A．[1,2] B．[1,2)
C. D.
答案 D
解析 要使函数解析式有意义，须有log(2x－1)≥0，所以0<2x－1≤1，所以
答案 －
解析 f(x)＝log2x·2log2(2x)＝log2x(log22＋log2x)＝log2x＋(log2x)2＝2－，所以当log2x＝－，即x＝时，f(x)取得最小值－.
组 基础关
1．(2019·沈阳模拟)设函数f(x)＝则f＝( )
A．－1 B．1
C．－ D.
答案 A
解析 f＝log2＝－1.
2．(2019·全国卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
A．a
解析 因为a＝log20.2<0，b＝20.2>1,0
3．函数f(x)＝loga(x＋b)的大致图象如图，则函数g(x)＝ax－b的图象可能是( )
答案 D
解析 由图象可知0
由②得loga1
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由loga>1>loga，得
由①得，当a>1时，a<，此时a∈∅；当0
A．1010.1 B．10.1
C．lg 10.1 D．10－10.1
答案 A
解析 由题意知，m1＝－26.7，m2＝－1.45，代入所给公式得－1.45－(－26.7)＝lg ，所以lg＝10.1，所以＝1010.1.故选A.
6．(2019·曲靖模拟)设a＝log0.30.4，b＝log30.4，则( )
A．ab＜a＋b＜0 B．a＋b＜ab＜0
C．ab＜0＜a＋b D．a＋b＜0＜ab
答案 A
解析 因为a＝log0.30.4＞log0.31＝0，b＝log30.4＜log31＝0，所以ab＜0，又＝＋＝log0.40.3＋log0.43＝log0.40.9∈(0,1)，所以0＜＜1，所以ab＜a＋b＜0.
7．已知函数f(x)＝ln x＋ln (2－x)，则( )
A．f(x)在(0,2)上单调递增
B．f(x)在(0,2)上单调递减
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称
答案 C
解析 f(x)的定义域为(0,2)．f(x)＝ln x＋ln (2－x)＝ln [x(2－x)]＝ln (－x2＋2x)．设u＝－x2＋2x，x∈(0,2)，则u＝－x2＋2x在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．又y＝ln u在其定义域上单调递增，∴f(x)＝ln (－x2＋2x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．∴A，B错误．∵f(x)＝ln x＋ln (2－x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴C正确．∵f(2－x)＋f(x)＝[ln (2－x)＋ln x]＋[ln x＋ln (2－x)]＝2[ln x＋ln (2－x)]，不恒为0，∴f(x)的图象不关于点(1,0)对称，∴D错误．故选C.
8．计算：log23·log38＋()log34＝________.
答案 5
解析 原式＝·＋3log34＝3＋3log32＝3＋2＝5.
9．已知函数y＝loga(x－1)(a＞0，且a≠1)的图象过定点A，若点A也在函数f(x)＝2x＋b的图象上，则f(log23)＝________.
答案 －1
解析 函数y＝loga(x－1)(a＞0，且a≠1)的图象过定点A(2,0)，
因为点A在函数f(x)＝2x＋b的图象上，
所以22＋b＝0，所以b＝－4.f(x)＝2x－4.
所以f(log23)＝2log23－4＝3－4＝－1.
10．已知函数y＝logax(2≤x≤4)的最大值比最小值大1，则a的值为________．
答案 2或
解析 ①当a>1时，y＝logax在[2,4]上为增函数．
由已知得loga4－loga2＝1，所以loga2＝1，所以a＝2.
②当0
所以loga＝1，所以a＝.
综上可知，a的值为2或.
组 能力关
1．设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( )
A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y
C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z
答案 D
解析 ∵2x＝3y＝5z，∴ln 2x＝ln 3y＝ln 5z，∴xln 2＝yln 3＝zln 5，∴＝，∴＝＝＝＞1，∴2x＞3y，同理可得2x＜5z.∴3y＜2x＜5z.故选D.
2．(2020·北京海淀模拟)如图，点A，B在函数y＝log2x＋2的图象上，点C在函数y＝log2x的图象上，若△ABC为等边三角形，且直线BC∥y轴，设点A的坐标为(m，n)，则m＝( )
A．2 B．3
C. D.
答案 D
解析 因为直线BC∥y轴，所以B，C的横坐标相同；又B在函数y＝log2x＋2的图象上，点C在函数y＝log2x的图象上，所以|BC|＝2.即正三角形ABC的边长为2.由点A的坐标为(m，n)，得B(m＋，n＋1)，所以
所以log2m＋2＋1＝log2(m＋)＋2，所以m＝.
3．(2019·湖北宜昌一中模拟)若函数f(x)＝log0.9(5＋4x－x2)在区间(a－1，a＋1)上单调递增，且b＝lg 0.9，c＝20.9，则( )
A．c
解析 由5＋4x－x2>0，得－1
A. B.
C．(0，＋∞) D.
答案 B
解析 因为函数f(x)＝loga(ax＋t)(a＞0且a≠1)在其定义域内为增函数，若函数f(x)为“半保值函数”；则方程f(x)＝x必有两个不同的实数根，loga(ax＋t)＝x⇔ax＋t＝a⇔ax－a＋t＝0，令s＝a，则关于s的方程s2－s＋t＝0有两个不同的正根．所以Δ＝(－1)2－4t＞0，结合t＞0，知t∈.
5．已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________.
答案 4 2
解析 令logab＝t，∵a>b>1，∴0
答案 (0,1)∪[2，＋∞)
解析 当0＜a＜1时，函数f(x)＝loga(x2－ax＋1)(a＞0且a≠1)没有最小值，当a＞1时，若函数f(x)＝loga(x2－ax＋1)(a＞0且a≠1)没有最小值，则x2－ax＋1≤0有解，所以Δ＝a2－4≥0，解得a≥2，综上可知，a的取值范围是(0,1)∪[2，＋∞)．
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