2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第2章第7讲　函数的图象


第7讲　函数的图象
[考纲解读]　1.掌握基本初等函数的图象特征，能熟练地运用基本初等函数的图象解决问题．
2．掌握作函数图象的常用方法：①描点法；②平移法；③对称法．(重点)
3．能运用函数图象理解和研究函数的性质、解决方程解的个数或与不等式相关的问题．(难点)
[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的热点．预测2021年高考将会考查：①已知函数解析式识别函数的图象；②利用函数图象求函数零点的个数、解不等式或求参数的取值范围．题型以客观题为主，在解答题中也会用到数形结合的思想进行求解.

1.利用描点法作函数图象的流程

2．变换法作图
(1)平移变换

提醒：对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减．
(2)对称变换
①y＝f(x)y＝－f(x)；
②y＝f(x)y＝f(－x)；
③y＝f(x)y＝－f(－x)；
④y＝ax(a>0且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1)．
(3)翻折变换
①y＝f(x)y＝|f(x)|；
②y＝f(x)y＝f(|x|)．
(4)伸缩变换


1．概念辨析
(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(x)与y＝f(|x|)的图象相同．(　　)
(2)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．(　　)
(3)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　)
(4)若函数y＝f(x)满足f(π＋x)＋f(π－x)＝0，则函数f(x)的图象关于点(π，0)中心对称．(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
2．小题热身
(1)设a＜b，函数y＝(x－a)2(x－b)的图象可能是(　　)

答案　C
解析　因为(x－a)2≥0，所以当x＞b时，y＞0，当x＜b时，y≤0，对照四个选项，C中的图象符合题意．
(2)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到(　　)
A．函数y＝f(－x－1)的图象
B．函数y＝f(－x＋1)的图象
C．函数y＝f(－x)－1的图象
D．函数y＝f(－x)＋1的图象
答案　B
解析　函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度，得到函数y＝f(－(x－1))，即y＝f(－x＋1)的图象．
(3)把函数y＝ln x的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到的图象的函数解析式是________．
答案　y＝ln
解析　函数f(x)＝ln x的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到的图象的函数解析式是f＝ln ，即y＝ln .
(4)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是________．

答案　(－1,1]

解析　作出函数y＝log2(x＋1)的图象，如图所示：
其中函数f(x)与y＝log2(x＋1)的图象的交点为D(1,1)，由图象可知f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－11，f(π)＝>0，排除B，C.故选D.
2．已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为(　　)



答案　B
解析　解法一：由y＝f(x)的图象知，
f(x)＝
当x∈[0,2]时，2－x∈[0,2]，
所以f(2－x)＝
故y＝－f(2－x)＝
图象应为B.
解法二：当x＝0时，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；
当x＝1时，－f(2－x)＝－f(1)＝－1.
观察各选项，可知应选B.

函数图象辨识的策略
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性，如举例说明1.
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．
(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象，如举例说明1.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．函数f(x)＝sin(πx)e－的图象可能是(　　)

答案　A
解析　由f＝e－＞0，排除D；由f(－x)＝－f(x)，可知f(x)是奇函数，可排除C；由f＝sine－＝－e－＞－e0＝－1，可排除B.故选A.

2．如图，在不规则图形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB于点E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分面积为y，则y关于x的大致图象为(　　)

答案　D
解析　直线l在AD圆弧段时，面积y的变化率逐渐增大，l在DC段时，y随x的变化率不变；l在CB段时，y随x的变化率逐渐变小，故选D.
题型 三　函数图象的应用　

角度1　研究函数的性质
1．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝1－x，则下列说法：
①2是函数f(x)的周期；
②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；
③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；
④当x∈(3,4)时，f(x)＝x－3.
其中所有正确说法的序号是________．
答案　①②④
解析　由已知条件，得f(x＋2)＝f(x)，
故y＝f(x)是以2为周期的周期函数，①正确；
当－1≤x≤0时，0≤－x≤1，
f(x)＝f(－x)＝1＋x，
函数y＝f(x)的图象如图所示，

当3c” “x>1”，即“a>b>c”是“x>1”的必要不充分条件．故选B.

3．(2019·山西四校联考)已知函数f(x)＝|x2－1|，若0＜a＜b且f(a)＝f(b)，则b的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(1，) D．(1,2)
答案　C
解析　依题意，f(x)＝|x2－1|，作出f(x)的图象如图所示．

因为0＜a＜b且f(a)＝f(b)，设直线y＝1与函数f(x)图象的最右边的交点是A，函数f(x)图象与x轴正半轴的交点是B，所以要使得在(0，＋∞)上存在两个数a，b，使得它们的函数值f(a)＝f(b)，则a∈(0，xA)，b∈(0，xA)，又b＞a，所以b∈(xB，xA)，易得xB＝1，当y＝1时，|x2－1|＝1，x＝±.所以xA＝，b∈(1，)．
高频考点　高考中的函数图象及应用问题
考点分析　高考中函数图象问题的考查主要有函数图象的识别、变换及应用等，多以小题形式考查，难度不大，常利用特殊点法、排除法、数形结合法等解决，所以熟练掌握高中所学的几种基本初等函数的图象是解决问题的前提．
1．特殊点法
[典例1]　函数y＝lg 的大致图象为(　　)

答案　D
解析　函数y＝lg 的定义域为{x|x≠－1}，由此排除A，C.当x＝9时，y＝lg ＝－1＜0.由此排除B.故选D.
2．性质检验法
[典例2]　(2019·全国卷Ⅲ)函数y＝在[－6,6]的图象大致为(　　)

答案　B
解析　∵y＝f(x)＝，x∈[－6,6]，∴f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，排除C.当x＝4时，y＝＝∈(7,8)，排除A，D.故选B.
3．导数法

[典例3]　若函数f(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式是(　　)
A．f(x)＝x＋sinx
B．f(x)＝
C．f(x)＝xcosx
D．f(x)＝x··
答案　C
解析　由图象知函数为奇函数，排除D，又f＝0，排除A，又当0