2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第2章第10讲　导数的概念及运算


第10讲　导数的概念及运算
[考纲解读]　1.了解导数概念的实际背景，能通过函数图象直观理解导数的几何意义．
2．能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数．
3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并能利用复合函数的求导法则求简单复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数．
[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是高考中的必考内容．预测2021年高考将会涉及导数的运算及几何意义．以客观题的形式考查导数的定义，求曲线的切线方程．导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档.



1.变化率与导数
(1)平均变化率
概念
对于函数y＝f(x)，＝叫做函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
几何
意义
函数y＝f(x)图象上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率
物理
意义
若函数y＝f(x)表示变速运动的质点的运动方程，则就是该质点在[x1，x2]上的平均速度

(2)导数
定义
一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝ ，称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记为f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝

几何意义
函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)就是函数图象在该点处切线的斜率．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
续表
物理意义
函数y＝f(x)表示变速运动的质点的运动方程，则函数在x＝x0处的导数就是质点在x＝x0时的瞬时速度

2．导数的运算
常用
导数
公式
原函数
导函数
特例或推广
常数
函数
C′＝0(C为常数)
—
幂函数
(xα)′＝αxα－1(α∈Q*)
′＝－
三角
函数
(sinx)′＝cosx，
(cosx)′＝－sinx
偶(奇)函数的导数是奇(偶)函数，周期函数的导数是周期函数
指数
函数
(ax)′＝axln_a
(a>0，且a≠1)
(ex)′＝ex
对数
函数
(logax)′＝
(x>0，a>0，且a≠1)
(ln x)′＝
(x>0)
续表
四则
运算
法则
加减
[f(x)±g(x)]′＝
f_′(x)±g′(x)
—
乘法
[f(x)·g(x)]′＝
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
[cf(x)]′＝cf ′(x)
除法
′＝

′＝－
复合
函数
导数
复合函数y＝f[g(x)]的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数之间具有关系y′x＝y′u·u′x，这个关系用语言表达就是“y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积”


1．概念辨析
(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．(　　)
(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　)
(3)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同．(　　)
(4)函数f(x)＝sinπ的导数f′(x)＝cosπ.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．小题热身
(1)下列函数求导运算正确的个数为(　　)
①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝；
③(e1－x)′＝e1－x；④′＝x.
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　A
解析　①中，(3x)′＝3xln 3，错误；②中，(log2x)′＝，正确；③中，(e1－x)′＝－e1－x，错误；④中，′＝＝－，错误，因此求导运算正确的个数为1.
(2)有一机器人的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　s′＝′＝2t－，当t＝2时，s′＝2×2－＝，所以该机器人在t＝2时的瞬时速度为.
(3)函数f(x)＝x3＋4x＋5的图象在x＝1处的切线在x轴上的截距为(　　)
A．10 B．5
C．－1 D．－
答案　D
解析　∵f(x)＝x3＋4x＋5，∴f′(x)＝3x2＋4，
∴f′(1)＝7，即切线的斜率为7，
又f(1)＝10，故切点坐标为(1,10)，
∴切线的方程为y－10＝7(x－1)，
当y＝0时，x＝－，切线在x轴上的截距为－.
(4)已知直线y＝－x＋1是函数f(x)＝－·ex图象的切线，则实数a＝________.
答案　e2
解析　设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－·ex0＝－1，∴ex0＝a，又－·ex0＝－x0＋1，∴x0＝2，a＝e2.

题型 一　导数的运算

1．(2019·华中师范大学第一附中模拟)设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝x3＋x2－x，则f′(1)＝________.
答案　0
解析　因为f(x)＝x3＋x2－x，
所以f′(x)＝3x2＋2x－1.
所以f′＝3×2＋2×－1.
解得f′＝－1.
所以f′(x)＝3x2－2x－1，所以f′(1)＝0.
2．求下列函数的导数：
(1)y＝(2x2－1)(3x＋1)；
(2)y＝x－sin2xcos2x；
(3)y＝excosx；
(4)y＝.
解　(1)因为y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，
所以y′＝18x2＋4x－3.
(2)因为y＝x－sin2xcos2x，所以y＝x－sin4x，
所以y′＝1－cos4x×4＝1－2cos4x.
(3)y′＝(excosx)′＝(ex)′cosx＋ex(cosx)′
＝excosx－exsinx＝ex(cosx－sinx)．
(4)y′＝′
＝
＝
＝
＝.

1．谨记一个原则
先化简解析式，使之变成能用求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．
2．熟记求导函数的五种形式及解法
(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导，如举例说明2(1)．
(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；
(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；
(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；
(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．如举例说明2(2)．
3．求复合函数的导数的一般步骤
(1)确定复合关系．注意内层函数通常为一次函数．
(2)由外向内逐层求导．如举例说明2(4)中对ln (2x＋1)的求导．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

求下列函数的导数：
(1)y＝ln x＋；(2)y＝；
(3)y＝(x2＋2x－1)e2－x.
解　(1)y′＝′＝(ln x)′＋′＝－.
(2)y′＝′＝＝.
(3)y′＝(x2＋2x－1)′e2－x＋(x2＋2x－1)(e2－x)′
＝(2x＋2)e2－x＋(x2＋2x－1)(－e2－x)
＝(3－x2)e2－x.
题型 二　导数的几何意义　

角度1　求切线方程
1．过点(1，－2)且与y＝x3－3x相切的直线方程为(　　)
A．y＝－2或9x＋4y－1＝0
B．y＝－2
C．9x＋4y＋1＝0
D．y＝0或9x＋4y＋1＝0
答案　A
解析　y′＝3x2－3，设切点坐标为(x0，x－3x0)，此时在切点处的斜率为y′x＝x0＝3x－3，所以切线方程为y－(x－3x0)＝(3x－3)(x－x0)，将点(1，－2)代入切线方程，整理得2x－3x＋1＝0，即(x0－1)2(2x0＋1)＝0，解得x0＝1或x0＝－，分别代入切线方程可得y＝－2或9x＋4y－1＝0.
2．(2019·全国卷Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________．
答案　y＝3x
解析　y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝ex(3x2＋9x＋3)，∴斜率k＝e0×3＝3，∴切线方程为y＝3x.
角度2　求切点坐标
3．(2019·广州模拟)设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为(　　)
A．(0,0) B．(1，－1)
C．(－1,1) D．(1，－1)或(－1,1)
答案　D
解析　f′(x)＝(x3＋ax2)′＝3x2＋2ax，
由题意得f′(x0)＝－1，x0＋f(x0)＝0，
所以
由①知x0≠0，故②可化为1＋x＋ax0＝0，所以ax0＝－1－x代入①得3x＋2(－1－x)＝－1，即x＝1，
解得x0＝±1.
当x0＝1时，a＝－2，f(x0)＝x＋ax＝－1；
当x0＝－1时，a＝2，f(x0)＝x＋ax＝1，
所以点P的坐标为(1，－1)或(－1,1)．
角度3　求参数的值(范围)
4．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
答案　D
解析　y′＝aex＋ln x＋1，k＝y′|x＝1＝ae＋1，
∴切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，
即y＝(ae＋1)x－1.
又∵切线方程为y＝2x＋b，
∴即a＝e－1，b＝－1.故选D.
5．若曲线y＝f(x)＝ln x＋ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C．(0，＋∞) D．[0，＋∞)
答案　D
解析　f′(x)＝＋2ax＝(x>0)，根据题意有f′(x)≥0(x>0)恒成立，所以2ax2＋1≥0(x>0)恒成立，即2a≥－(x>0)恒成立，所以a≥0，故实数a的取值范围为[0，＋∞)．

求切线方程问题的两种类型及方法
(1)求“在”曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)处的切线方程：点P(x0，y0)为切点，切线斜率为k＝f′(x0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．如举例说明2.
(2)求“过”曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)的切线方程：切线经过点P，点P可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条．如举例说明1，解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即：
①设切点A(x1，y1)，则以A为切点的切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)；
②根据题意知点P(x0，y0)在切线上，点A(x1，y1)在曲线y＝f(x)上，得到方程组求出切点A(x1，y1)，代入方程y－y1＝f′(x1)(x－x1)，化简即得所求的切线方程．

1．若直线y＝ax是曲线y＝2ln x＋1的一条切线，则实数a＝(　　)
A．e－ B．2e－
C．e D．2e
答案　B
解析　依题意，设直线y＝ax与曲线y＝2ln x＋1的切线的横坐标为x0，则有y′|x＝x0＝，于是有解得x0＝，则a＝＝2e－，故选B.
2．已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x3－ln x，则曲线y＝f(x)在点(－1，－1)处的切线的斜率为________．
答案　2
解析　因为当x>0时，f(x)＝x3－ln x，所以当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)3－ln (－x)，因为函数f(x)为奇函数，所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝x3＋ln (－x)，则f′(x)＝3x2＋，所以f′(－1)＝2，所以曲线y＝f(x)在点(－1，－1)处的切线的斜率为2.
3．已知直线l为曲线y＝在点(1，a)处的切线，当直线l与坐标轴围成的三角形面积为时，实数a的值为________．
答案　0或
解析　因为y′＝，所以切线l的斜率为1－a，则切线l的方程为y－a＝(1－a)(x－1)，
令x＝0得y＝2a－1.
令y＝0得x＝.
所以直线l与坐标轴围成的三角形面积为|2a－1|·＝，即|2a－1|2＝|a－1|.
则4a2－4a＋1＝1－a　①或4a2－4a＋1＝a－1　②，
由方程①解得a＝0或a＝，方程②无解．
所以a＝0或a＝.

　组　基础关
1．设f(x)＝ln (3－2x)＋cos2x，则f′(0)＝(　　)
A．－ B.
C．－ D.
答案　C
解析　因为f′(x)＝·(－2)－2sin2x＝－2sin2x，所以f′(0)＝－.
2．(2020·宁夏中卫月考)函数y＝f(x)的图象在点P(5，f(5))处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　B
解析　由条件知f′(5)＝－1，又在点P处的切线方程为y－f(5)＝－(x－5)，∴y＝－x＋5＋f(5)，即y＝－x＋8，∴5＋f(5)＝8，∴f(5)＝3，∴f(5)＋f′(5)＝2.
3．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝t3－3t2＋8t，那么速度为零的时刻是(　　)
A．1秒末 B．1秒末和2秒末
C．4秒末 D．2秒末和4秒末
答案　D
解析　速度v＝s′＝′＝t2－6t＋8，由t2－6t＋8＝0，解得t＝2或4，所以速度为零的时刻是2秒末和4秒末．
4．已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是(　　)
A．0 B．0 C．0 D．0
答案　C
解析　f′(2)，f′(3)表示曲线y＝f(x)在点A，B处切线的斜率，又f(3)－f(2)＝表示直线AB的斜率．所以0 5．(2019·太原模拟)已知函数f(x)＝xln x＋a的图象在x＝e处的切线经过原点，则f(1)＝(　　)
A．e B.
C．1 D．0
答案　A
解析　由题意，得f′(x)＝ln x＋1.所以f′(e)＝ln e＋1＝2，f(e)＝e＋a.所以函数f(x)的图象在x＝e处的切线方程为y＝2(x－e)＋e＋a.因为此切线经过原点，所以2(－e)＋e＋a＝0，解得a＝e.所以f(1)＝a＝e.
6．(2019·青岛模拟)已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2022(x)＝(　　)
A．－sinx－cosx B．sinx－cosx
C．－sinx＋cosx D．sinx＋cosx
答案　C
解析　∵f1(x)＝sinx＋cosx，∴f2(x)＝f1′(x)＝cosx－sinx，∴f3(x)＝f2′(x)＝－sinx－cosx，∴f4(x)＝f3′(x)＝－cosx＋sinx，∴f5(x)＝f4′(x)＝sinx＋cosx，∴fn(x)是以4为周期的函数，∴f2022(x)＝f2(x)＝cosx－sinx.
7．若曲线y＝的一条切线经过点(8,3)，则此切线的斜率为(　　)
A. B.
C.或 D.或
答案　C
解析　由题意，可设切点坐标为(x0，)，由y＝＝x，得y′＝，切线斜率k＝，由点斜式可得切线方程为y－＝(x－x0)，又切线过点(8,3)，所以3－＝(8－x0)，整理得x0－6＋8＝0，解得＝4或2，所以切线斜率k＝或.故选C.
8．曲线y＝在点(1，－1)处的切线方程为________．
答案　y＝－2x＋1
解析　由题意可得，y′＝－，则曲线在点(1，－1)处的切线斜率为－2，所以所求的切线方程为y＝－2x＋1.
9．已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a>0且a≠1，f′(x)为f(x)的导函数，若f′(1)＝3，则a的值为________．
答案　3
解析　因为f(x)＝axln x，所以f′(x)＝ln a·axln x＋.又f′(1)＝3，所以a＝3.
10．已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.

答案　0
解析　由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，∴f′(3)＝－.∵g(x)＝xf(x)，
∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，
又由题图可知f(3)＝1，∴g′(3)＝1＋3×＝0.
　组　能力关
1．已知函数f(x)＝＋x3＋sinx，其导函数为f′(x)，则f(2020)＋f′(2020)＋f(－2020)－f′(－2020)的值为(　　)
A．4040 B．4
C．2 D．0
答案　B
解析　函数f(x)＝＋x3＋sinx⇒f(x)＋f(－x)＝＋＝4，因为f′(x)＝－＋3x2＋cosx为偶函数，所以f′(x)－f′(－x)＝0，所以f(2020)＋f′(2020)＋f(－2020)－f′(－2020)＝4.
2．若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为(　　)
A．1 B.
C. D.
答案　B
解析　设P(x0，y0)，当点P处的切线与直线y＝x－2平行时，点P到直线y＝x－2的距离最小．又y′＝2x－，则y′x＝x0＝2x0－＝1，解得x0＝1或x0＝－(舍去)，则y0＝1，即P(1,1)，所以最小距离为＝.
3．(2019·华中师范大学第一附中模拟)已知函数f(x)＝g(x)＝kx－1，f(x)的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y＝－1的对称点在g(x)的图象上，则k的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D

解析　y＝kx－1关于直线y＝－1的对称直线为y＝mx－1(m＝－k)，先考虑特殊位置：y＝mx－1与y＝x2＋x(x≤0)相切，得Δ＝0⇒m＝－(舍去正数)，y＝mx－1与y＝xln x－2x(x>0)相切，由导数几何意义得⇒x＝1，m＝－1，结合图象可知－1 4．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
解　(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.
当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，
于是解得故f(x)＝x－.
(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋，
知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝(x－x0)，
即y－＝(x－x0)．
令x＝0，得y＝－，
从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.
令y＝x，得y＝x＝2x0，
从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为S＝|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.
5．已知函数f(x)＝x2－ln x.
(1)求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)在函数f(x)＝x2－ln x的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上？若存在，求出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．
解　(1)由题意可得f(1)＝1，且f′(x)＝2x－，f′(1)＝2－1＝1，则所求切线方程为y－1＝1×(x－1)，即y＝x.
(2)假设存在两点满足题意，且设切点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1，x2∈，不妨设x1 解得x1＝，x2＝1，
故存在两点，(1,1)满足题意．