2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第3章第5讲　第1课时　两角和、差及倍角公式


第5讲　简单的三角恒等变换
第1课时　两角和、差及倍角公式
[考纲解读]　1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
2．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．
3．会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．(重点)
4．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．(难点)
[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个必考内容，但很少独立命题．预测2021年高考仍是以两角和与差的公式为基础，结合辅助角公式及三角函数的相关性质，如周期性、单调性、最值、对称性求三角函数的值等．题型既可能是客观题，也可能是解答题，难度属中档.


对应学生用书P073
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.
C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.
(2)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.
S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.
(3)T(α＋β)：tan(α＋β)＝.
T(α－β)：tan(α－β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)S2α：sin2α＝2sinαcosα.
(2)C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)T2α：tan2α＝.
3．公式的常用变形
(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．
(2)cos2α＝，sin2α＝.
(3)1±sin2α＝(sinα±cosα)2，sinα±cosα＝sin.
(4)asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝，tanφ＝(a≠0)．

1．概念辨析
(1)公式C(α±β)，S(α±β)，S2α，C2α中的角α，β是任意的．(　　)
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(　　)
(3)在锐角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小关系不确定．(　　)
(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．(　　)
(5)对任意角α都有1＋sin＝2.(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√
2．小题热身
(1)若cosα＝－，α是第三象限的角，则sin＝(　　)
A．－ B.
C．－ D.
答案　C
解析　因为cosα＝－，α是第三象限的角，
所以sinα＝－＝－，
所以sin＝sinαcos＋cosαsin
＝×＋×＝－.
(2)计算：cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝(　　)
A．sin(α＋2β) B．sinα
C．cos(α＋2β) D．cosα
答案　D
解析　cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝cos[(α＋β)－β]＝cosα.
(3)已知cosx＝，则cos2x＝(　　)
A．－ B.
C．－ D.
答案　D
解析　cos2x＝2cos2x－1＝2×2－1＝.
(4)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若tanα＝，则tan(α－β)的值为(　　)
A．0 B.
C. D.
答案　D
解析　由角α与角β的始边相同，终边关于y轴对称可知tanα＝－tanβ.又tanα＝，所以tanβ＝－，
所以tan(α－β)＝＝＝，故选D.


对应学生用书P074
题型 一　两角和、差及倍角公式的直接应用

1．(2019·山西大学附中模拟)已知cos＝2cos(π－α)，则tan＝(　　)
A．－4 B．4
C．－ D.
答案　C
解析　因为cos＝2cos(π－α)，所以－sinα＝－2cosα，所以tanα＝2，所以tan＝＝－.
2．(2019·长沙模拟)在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则cos＝________.
答案　－1
解析　由已知条件，得cosθ＝，sinθ＝，所以cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝－，sin2θ＝2sinθcosθ＝，
所以cos＝cos2θcos－sin2θsin＝－×－×＝－1.
3．已知α∈，sinα＝，则sin的值为________．
答案　
解析　因为α∈，sinα＝.
所以cosα＝－＝－.
所以sin2α＝2sinαcosα＝－，
cos2α＝cos2α－sin2α＝，
所以sin＝sincos2α－cossin2α
＝×－×＝.

应用三角公式化简求值的策略
(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．如举例说明2.
(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．如举例说明1,3.
(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．(2019·石家庄质检)若sin(π－α)＝，且≤α≤π，则sin2α的值为(　　)
A．－ B．－
C. D.
答案　A
解析　∵sin(π－α)＝，∴sinα＝，又≤α≤π，
∴cosα＝－＝－，
∴sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－.
2．(2019·武威模拟)已知角α在第二象限，若sinα＝，则tan2α＝(　　)
A. B.
C．－ D．－
答案　C
解析　因为α是第二象限角，且sinα＝，
所以cosα＝－＝－.
所以tanα＝＝－.
所以tan2α＝＝＝－.
3．若sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则等于(　　)
A．5 B．－1
C．6 D.
答案　A
解析　由题意可得sinαcosβ＋cosαsinβ＝，
sinαcosβ－cosαsinβ＝，解得sinαcosβ＝，
cosαsinβ＝，∴＝5.
题型 二　两角和、差及倍角公式的逆用和变形用

1．计算－sin133°cos197°－cos47°cos73°的结果为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　－sin133°cos197°－cos47°cos73°
＝－sin47°(－cos17°)－cos47°sin17°
＝sin(47°－17°)＝sin30°＝.
2．(1＋tan18°)(1＋tan27°)的值是(　　)
A. B．1＋
C．2 D．2(tan18°＋tan27°)
答案　C
解析　(1＋tan18°)(1＋tan27°)
＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°
＝1＋tan45°(1－tan18°tan27°)＋tan18°tan27°＝2.
3．已知sinα＋cosα＝，则cos4α＝________.
答案　
解析　由sinα＋cosα＝，得sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝1＋sin2α＝，所以sin2α＝，从而cos4α＝1－2sin22α＝1－2×2＝.

1．注意三角函数公式逆用和变形用的两个问题
(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．
(2)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．
2．熟记三角函数公式的两类变式
(1)和差角公式变形
sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ，
cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ，
tanα±tanβ＝tan(α±β)·(1∓tanαtanβ)．如举例说明2.
(2)倍角公式变形
降幂公式cos2α＝，sin2α＝，
配方变形：1±sinα＝2,1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2.

1．若x∈[0，π]，sinsin＝coscos，则x的值是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由已知得，coscos－sinsin＝cosx＝0.∵x∈[0，π]，∴x＝.
2．已知α，β，γ∈，且sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγ＝cosα，那么β－α＝(　　)
A. B．－
C. D．±
答案　C
解析　由已知得sinα－sinβ＝－sinγ，①
cosα－cosβ＝cosγ，②
由①2＋②2得2－2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝1，
所以cos(β－α)＝.
因为α，β∈，所以β－α∈，
因为γ∈，所以sinα－sinβ＝－sinγ