2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第7章第6讲　空间向量及运算


第6讲　空间向量及运算
[考纲解读]　1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置，了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义．
2．能应用空间两点间的距离公式，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．
3．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，并能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．(重点、难点)
[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲一直是空间立体几何的基础，一般不单独命题．预测2021年会与多面体相结合进行考查，题型为解答题，解题时利用空间向量法解决问题，试题难度不会太大，属中档题型.

1.空间两点间的距离公式、中点公式
(1)距离公式
①设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
则|A|＝ .
②设点P(x，y，z)，则与坐标原点O之间的距离为
|O|＝ .
(2)中点公式
设点P(x，y，z)为P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的中点，则.
2．空间向量的数量积
a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
3．空间向量的坐标运算
a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)(a，b均为非零向量)：


1．概念辨析
(1)两向量夹角的范围与两异面直线所成的角的范围相同．(　　)
(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．(　　)
(3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量．(　　)
(4)对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．小题热身

(1)如图，在四面体ABCD中，设G是CD的中点，则＋(＋)等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　因为G是CD的中点，所以＋＝2，所以＋(＋)＝＋＝.
(2)若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是(　　)
A．a，a＋b，a－b B．b，a＋b，a－b
C．c，a＋b，a－b D．a＋b，a－b，a＋2b
答案　C
解析　A，B，D中三组向量都是共面向量，不能构成基底，c，a＋b，a－b不共面可以构成基底．
(3)已知向量a＝(2，－3,5)，b＝，且a∥b，则λ等于________．
答案　－
解析　因为a∥b，所以＝＝，所以λ＝－.
(4)已知a＝(1,2，－2)，b＝(0,2,4)，则a，b夹角的余弦值为________．
答案　－
解析　cos〈a，b〉＝＝－.

题型 一　空间向量的线性运算

如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)；
(2)；
(3)＋.
解　(1)∵P是C1D1的中点，
∴＝＋＋＝a＋＋＝a＋c＋＝a＋c＋b.
(2)∵N是BC的中点，
∴＝＋＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.
(3)∵M是AA1的中点，
∴＝＋＝＋＝－a＋
＝a＋b＋c，
又＝＋＝＋＝＋＝c＋a.
∴＋＝＋＝a＋b＋c.

用已知向量表示某一向量的注意事项
(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解和运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义．向量加法的多边形法则对空间向量仍然成立．
(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．
提醒：灵活运用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知基向量表示出来．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1．如图所示，在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)．
答案　a＋b＋c
解析　因为D为BC的中点，
所以＝(＋)＝(b＋c)，
又E为AD的中点，所以＝(＋)＝＝a＋b＋c.
2．如图所示，已知P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，点M在线段PC上，点N在线段PD上，且PM＝2MC，PN＝ND，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________.

答案　－
解析　＝－＝－＝(－)－(＋)＝－＋－(＋)＝－－＋，
所以x＋y＋z＝－－＋＝－.
题型 二　共线向量与共面向量定理的应用

1．(2019·郑州调研)已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ等于________．
答案　－9
解析　由题意知c＝xa＋yb，即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，
∴解得λ＝－9.

2．(2019·唐山质检)如图所示，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k，＝k(0≤k≤1)．
(1)向量是否与向量，共面？
(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？
解　(1)∵＝k，＝k，
∴＝＋＋
＝k＋＋k
＝k(＋)＋
＝k(＋)＋
＝k＋＝－k
＝－k(＋)
＝(1－k)－k，
∴由共面向量定理知向量与向量，共面．
(2)当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB1A1内，故直线MN与平面ABB1A1不平行．
当0
证明三点共线和空间四点共面的方法
三点(P，A，B)共线
空间四点(M，P，A，B)共面
＝λ且同过点P
＝x＋y，
如举例说明2(1)
对空间任一点O，＝＋t
对空间任一点O，＝＋x＋y，如举例说明1
对空间任一点O，＝x＋(1－x)
对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y)
提醒：三点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共面，线面平行可转化为向量共线、共面来证明，共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．(2019·晋江一模)已知四面体O－ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z等于(　　)
A．1 B.
C. D．2
答案　C

解析　如图所示，由题意得＝，
所以＝x＋y＋z，
所以＝x＋y＋z，
又G1，A，B，C四点共面，所以x＋y＋z＝1，
所以x＋y＋z＝.
2．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋)．
(1)判断，，三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内．
解　(1)由已知＋＋＝3，
∴－＝(－)＋(－)，
即＝＋＝－－，
∴，，共面．
(2)由(1)知，，，共面且MA，MB，MC过同一点M，
∴M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内．
题型 三　空间向量的数量积及应用　

角度1　空间向量数量积的运算
1．(2020·西安质检)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　　)
A．a2 B.a2
C.a2 D.a2
答案　C

解析　如图，设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三个向量两两的夹角为60°.
＝(a＋b)，＝c，
∴·＝(a＋b)·c
＝(a·c＋b·c)
＝(a2cos60°＋a2cos60°)＝a2.故选C.
角度2　空间向量数量积的应用
2．已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，O为坐标原点，＋λ与的夹角为120°，则λ的值为(　　)
A．± B.
C．－ D．±
答案　C
解析　＋λ＝(1，－λ，λ)，cos120°＝＝－，得λ＝±.经检验λ＝不符合题意，舍去，所以λ＝－.
3．已知|a|＝|b|＝|c|＝1，且〈a，b〉＝，〈b，c〉＝，〈a，c〉＝，则|a＋2b－c|＝________.
答案　2
解析　|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝，〈b，c〉＝，〈a，c〉＝，则(a＋2b－c)2＝a2＋4b2＋c2＋4a·b－2a·c－4b·c＝1＋4＋1＋4×cos－0－0＝8，∴|a＋2b－c|＝2.

空间向量数量积的三个应用
求夹角
设向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝，进而可求两异面直线所成的角，如举例说明2
求长度
(距离)
运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题．如举例说明3
解决垂
直问题
利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题

1．(2019·南充三模)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，下列命题：
①(＋＋)2＝32；
②·(－)＝0；
③向量与向量的夹角为60°；
④正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|··|.
其中正确命题的序号是(　　)
A．①② B．①②③
C．①④ D．①②④
答案　A
解析　设正方体棱长为1，建立空间直角坐标系，如图．

＝(0,0,1)，＝(1,0,0)，＝(0,1,0)，＝(1,1,1)，＝(1,0，－1)，＝(0,1,1)，
所以对于①，(＋＋)2＝(1,1,1)·(1,1,1)＝3＝32，故①正确；
对于②，·(－)＝(1,1,1)·(0,1，－1)＝0，故②正确；
对于③，因为·＝(1,0，－1)·(0,1,1)＝－1，向量与向量的夹角为120°，故③错误；
④正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为||||·||＝1，但是|··|＝0，故④错误．故选A.
2.已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝且λ>0，则实数λ＝________.
答案　3
解析　(λa＋b)2＝λ2a2＋2λa·b＋b2＝29，所以λ2－λ－6＝0(λ>0)，所以λ＝3.

　组　基础关
1．已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x等于(　　)
A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)
C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)
答案　B
解析　因为b＝x－2a，所以x＝4a＋2b＝4(2,3，－4)＋2(－4，－3，－2)＝(0,6，－20)．
2．(2019·黑龙江齐齐哈尔实验中学期中)设ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，则有(　　)
A.·＝a2 B.·＝a2
C.·＝a2 D.·＝a2
答案　C
解析　建立空间直角坐标系如图．

则·＝(a,0,0)·(－a，－a，－a)＝－a2，
·＝(a,0,0)·(a，a,0)＝a2，
·＝(0，a,0)·(0，a，－a)＝a2，
·＝(a,0,0)·(－a，－a,0)＝－a2，故只有C正确．
3．已知a＝(1,0,1)，b＝(x,1,2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　因为a·b＝(1,0,1)·(x,1,2)＝x＋2＝3，所以x＝1，所以|b|＝，又|a|＝，所以cos〈a，b〉＝＝＝.又0≤〈a，b〉≤π，所以〈a，b〉＝.
4．对于空间一点O和不共线的三点A，B，C，有6＝＋2＋3，则(　　)
A．O，A，B，C四点共面 B．P，A，B，C四点共面
C．O，P，B，C四点共面 D．O，P，A，B，C五点共面
答案　B
解析　解法一：因为6＝＋2＋3，所以＝＋＋，又＋＋＝1，所以A，B，C，P四点共面．
解法二：因为6＝＋2＋3，所以0＝(－)＋2(－)＋3(－)，所以＋2＋3＝0，所以＝－－，所以，，共面，又三个向量有公共点P.所以P，A，B，C四点共面．
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：
①(－)－；②(＋)－；③(－)－2；④(＋)＋.
其中能够化简为向量的是(　　)
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
答案　A
解析　①(－)－＝－＝；
②(＋)－＝－＝；
③(－)－2＝－2≠；
④(＋)＋＝＋＝≠.
综上，①②符合题意．故选A.
6．向量a＝(1,2，x)，b＝(2，y，－1)，若|a|＝，且a⊥b，则x＋y的值为(　　)
A．－2 B．2
C．－1 D．1
答案　C
解析　∵向量a＝(1,2，x)，b＝(2，y，－1)，|a|＝，且a⊥b，
∴＝，a·b＝2＋2y－x＝0，解得x＝0，y＝－1，∴x＋y＝－1.
7．(2019·唐山统考)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝，N为B1B的中点，则||为(　　)
A.a B.a
C.a D.a
答案　A

解析　以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.
设M(x，y，z)，因为点M在AC1上且＝，所以(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)，所以x＝，y＝，z＝.所以M，所以||＝ ＝a.
8．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,0)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.
答案　1
解析　向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,0)，则c－a＝(0,0，－x)，2b＝(2,4,2)，又(c－a)·(2b)＝－2，则－2x＝－2，解得x＝1.
9．(2019·南昌调研)已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，现用基底{，，}表示向量，有＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为________．
答案　，，
解析　∵＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋＋，∴x＝，y＝，z＝.
10．(2019·淄博模拟)如图，直角三角形OAC所在平面与平面α交于OC，平面OAC⊥平面α，∠OAC为直角，OC＝4，B为OC的中点，且∠ABC＝，平面α内一动点满足∠PAB＝，则·的取值范围是________．

答案　[－1，＋∞)
解析　∵平面OAC⊥平面α，
∴作AO′⊥OC，则AO′⊥平面α，
过O′在平面α内作OC的垂线O′x，如图建立空间直角坐标系O′xyz.

∵∠OAC为直角，OC＝4，B为OC的中点，且∠ABC＝，
∴BC＝AB＝OB＝2，∠ABO＝，O′A＝，O′B＝1，OO′＝1，O′C＝3，则O(0，－1,0)，A(0,0，)，B(0,1,0)，C(0,3,0)，
设P(x，y,0)，＝(x，y，－)，＝(0,1，－)，∠PAB＝，·＝y＋3＝2×，
∴x2＝6y＋6，∴·＝x2＋(y＋1)(y－3)＝6y＋6＋y2－2y－3＝y2＋4y＋3＝(y＋2)2－1≥－1.
　组　能力关
1．若{a，b，c}是空间的一个基底，且向量p＝xa＋yb＋zc，则(x，y，z)叫向量p在基底{a，b，c}下的坐标，已知{a，b，c}是空间的一个基底，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底，一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(4,2,3)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标是(　　)
A．(4,0,3) B．(3,1,3)
C．(1,2,3) D．(2,1,3)
答案　B
解析　设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标是(x，y，z)，则
4a＋2b＋3c＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，
因为a，b，c不共面，所以解得x＝3，y＝1，z＝3，
所以向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(3,1,3)．
2．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝CD＝1，∠ACD＝90°，把△ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，则BD的长为________．

答案　2或
解析　∵AB与CD成60°角，
∴〈，〉＝60°或120°.
又AB＝AC＝CD＝1，AC⊥CD，AC⊥AB，
∴||＝ ＝
＝
＝
＝ ，
∴||＝2或.∴BD的长为2或.
3．如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点．设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cosθ的最大值为________．

答案　
解析　以A为坐标原点，射线AB，AD，AQ分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

设正方形ABCD和ADPQ的边长为2，则E(1,0,0)，F(2,1,0)，M(0，y,2)(0≤y≤2)．
所以＝(2,1,0)，＝(－1，y,2)．
所以·＝－2＋y，||＝，
||＝.
所以cosθ＝＝＝.
令2－y＝t，
则y＝2－t，且t∈[0,2]．
所以cosθ＝＝.
当t＝0时，cosθ＝0；
当t≠0时，
cosθ＝＝，
由t∈(0,2]，得∈，
所以 ≥ ＝，
所以0 综上所述，0≤cosθ≤，故cosθ的最大值为.
4．如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.

(1)求证：A，E，C1，F四点共面；
(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值．
解　(1)证明：因为＝＋＋＝＋＋＋＝＋＝(＋)＋(＋)＝＋，
所以A，E，C1，F四点共面．
(2)因为＝－＝＋－(＋)＝＋－－＝－＋＋，
所以x＝－1，y＝1，z＝，所以x＋y＋z＝.