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2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第8章第1讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程
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第八章 平面解析几何
第1讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程
[考纲解读] 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，并能根据两条直线的斜率判断这两条直线的平行或垂直关系．(重点)
2．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，并了解斜截式与一次函数的关系．(难点)
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是命题的热点，但很少独立命题．预测2021年高考对本讲内容将考查：①直线倾斜角与斜率的关系、斜率公式；②直线平行与垂直的判定或应用，求直线的方程．试题常以客观题形式考查，难度不大.
1.直线的斜率
(1)当α≠90°时，tanα表示直线l的斜率，用k表示，即k＝tanα.当α＝90°时，直线l的斜率k不存在．
(2)斜率公式
给定两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，经过P1，P2两点的直线的斜率公式为k＝.
2．直线方程的五种形式
名称
已知条件
方程
适用范围
点斜式
斜率k与点(x1，y1)
y－y1＝k(x－x1)
直线不垂直于x轴
斜截式
斜率k与直线在y轴上的截距b
y＝kx＋b
直线不垂直于x轴
两点式
两点(x1，y1)，(x2，y2)
＝(x1≠x2，y1≠y2)
直线不垂直于x轴和y轴
截距式
直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b
＋＝1(a≠0，b≠0)
直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点
一般式
—
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
任何情况
1．概念辨析
(1)直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.( )
(2)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )
(3)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．( )
(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2．小题热身
(1)直线l经过原点和点(－1，－1)，则直线l的倾斜角是( )
A．45° B．135°
C．135°或225° D．60°
答案 A
解析 由已知，得直线l的斜率k＝＝1，所以直线l的倾斜角是45°.
(2)在平面直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 直线x＋y－3＝0的斜率为－，所以倾斜角为.
(3)已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－，则直线l的方程为( )
A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0
C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0
答案 A
解析 由题意得直线l的点斜式方程为y－5＝－[x－(－2)]，整理得3x＋4y－14＝0.
(4)已知直线l过点P(1,3)，且与x轴，y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于6，则直线l的方程是( )
A．3x＋y－6＝0 B．x＋3y－10＝0
C．3x－y＝0 D．x－3y＋8＝0
答案 A
解析 设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)．
由题意，得解得a＝2，b＝6.故直线l的方程为＋＝1，即3x＋y－6＝0.故选A.
题型一 直线的倾斜角与斜率
1．(2019·长春模拟)设直线y＝2x的倾斜角为α，则cos2α的值为( )
A．－ B．－
C．－ D．－
答案 C
解析 由题意，知tanα＝2，所以cos2α＝＝＝＝－.
2．(2019·安阳模拟)若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝( )
A．1±或0 B.或0
C. D.或0
答案 A
解析 若A，B，C三点共线，则有kAB＝kAC，即＝，整理得a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1±.
3．直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．
答案 (－∞，－]∪[1，＋∞)
解析 如图，∵kAP＝＝1，
kBP＝＝－，
∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)．
1．直线的倾斜角与其斜率的关系
斜率k
k＝tanα>0
k＝0
k＝tanα<0
不存在
倾斜角α
锐角
0°
钝角
90°
2．倾斜角变化时斜率的变化规律
根据正切函数k＝tanα的单调性，如图所示：
(1)当α取值在内，由0增大到时，k由0增大并趋向于正无穷大；
(2)当α取值在内，由增大到π(α≠π)时，k由负无穷大增大并趋近于0.如举例说明3.
3．三点共线问题
若已知三个点中的两个坐标，可以先通过这两个已知点求出直线方程，然后将第三个点代入求解；也可利用斜率相等或向量共线的条件解决．如举例说明2.
1．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A． B.
C．[0，]∪ D. ∪
答案 B
解析 ∵直线的斜率k＝－，∴－1≤k<0，则倾斜角的范围是.
2.若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( )
A. B．－
C．－ D.
答案 B
解析 依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有
解得
从而可知直线l的斜率为＝－.
题型二 直线方程的求法
1．已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上的中线所在的直线方程为________．
答案 x＋13y＋5＝0
解析 BC的中点坐标为，∴BC边上的中线所在的直线方程为＝，即x＋13y＋5＝0.
2．(1)求过点A(1,3)，且斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程；
(2)求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程．
解 (1)设所求直线的斜率为k，
依题意k＝－4×＝－.
又直线经过点A(1,3)，
因此所求的直线方程为y－3＝－(x－1)，
即4x＋3y－13＝0.
(2)当直线不过原点时，设所求的直线方程为＋＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－，
所以直线方程为x＋2y＋1＝0；
当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－，所以直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0.
故所求的直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.
给定条件求直线方程的思路
(1)求直线方程常用的两种方法
①直接法：根据已知条件，直接写出直线的方程，如举例说明2(1)求直线方程，则直接利用斜截式即可．
②待定系数法：即设定含有参数的直线方程，结合条件列出方程(组)，求出参数，再代入直线方程即可．必要时要注意分类讨论，如举例说明2(2)中不要忽略过原点的情况，否则会造成漏解．
(2)设直线方程的常用技巧
①已知直线纵截距b时，常设其方程为y＝kx＋b.
②已知直线横截距a时，常设其方程为x＝my＋a.
③已知直线过点(x0，y0)，且k存在时，常设y－y0＝k(x－x0)．
1．在等腰三角形AOB中，AO＝AB，点O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为( )
A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3)
C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1)
答案 D
解析 因为AO＝AB，所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数，所以kAB＝－kOA＝－3，所以直线AB的点斜式方程为y－3＝－3(x－1)．故选D.
2．求适合下列条件的直线方程：
(1)过点P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数；
(2)过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；
(3)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.
解 (1)当直线过原点时，方程为y＝x，
即3x－2y＝0.
当直线l不过原点时，设直线方程为－＝1.
将P(2,3)代入方程，得a＝－1，
所以直线l的方程为x－y＋1＝0.
综上，所求直线l的方程为3x－2y＝0或x－y＋1＝0.
(2)设直线y＝3x的倾斜角为α，
则所求直线的倾斜角为2α.
因为tanα＝3，所以tan2α＝＝－.
又直线经过点A(－1，－3)，
因此所求的直线方程为y＋3＝－(x＋1)，
即3x＋4y＋15＝0.
(3)由题设知纵横截距不为0，设直线方程为
＋＝1，
又直线过点(－3,4)，从而－＋＝1，
解得a＝－4或a＝9.
故所求的直线方程为
4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.
题型三 直线方程的综合应用
角度1 由直线方程求参数问题
1．若直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是( )
A．[－2,2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．[－2,0)∪(0,2] D．(－∞，＋∞)
答案 C
解析 令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－b，所以所求的三角形面积为|－b|＝b2，且b≠0，因为b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．
角度2 与直线方程有关的最值问题
2．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
解 (1)证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令解得
∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)．
(2)由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k＞0；当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围为[0，＋∞)．
(3)由题意，知k≠0，再由直线l的方程，得
A，B(0,1＋2k)．
依题意得解得k＞0.
∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|
＝·＝
≥×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的条件是k＞0且4k＝，即k＝，
∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
与直线方程有关问题的常见类型及解题策略
(1)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．
(2)求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值或用函数的单调性解决．如举例说明2.
1．若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则参数m满足的条件是( )
A．m≠－ B．m≠0
C．m≠0且m≠1 D．m≠1
答案 D
解析 由解得m＝1，故m≠1时方程表示一条直线．
2．(2019·济南模拟)已知直线l过点M(2,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于点A，B，O为坐标原点，求当||·||取得最小值时直线l的方程．
解 设A(a,0)，B(0，b)，则a>0，b>0，
直线l的方程为＋＝1，所以＋＝1.
||·||＝－·
＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)
＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5
＝(2a＋b) －5＝＋≥4，
当且仅当a＝b＝3时取等号，
此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
组 基础关
1．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )
A．1 B．4
C．1或3 D．1或4
答案 A
解析 由题意知＝1(m≠－2)，解得m＝1.
2．(2019·郑州一模)已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为( )
A．y＝x＋2 B．y＝x－2
C．y＝x＋ D．y＝－x＋2
答案 A
解析 ∵直线x－2y－4＝0的斜率为，∴直线l在y轴上的截距为2，∴直线l的方程为y＝x＋2.
3．如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A．k1
解析 设l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由图象知0<α3<α2<<α1<π，所以k1<0
A．ab>0，bc<0 B．ab>0，bc>0
C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<0
答案 A
解析 由题意，知a≠0，b≠0，已知直线方程可化为y＝－x－，若此直线同时经过第一、二、四象限，则即ab>0，bc<0.
5．直线xcos140°＋ysin40°＋1＝0的倾斜角是( )
A．40° B．50°
C．130° D．140°
答案 B
解析 将直线xcos140°＋ysin40°＋1＝0化成xcos40°－ysin40°－1＝0，其斜率为k＝＝tan50°，倾斜角为50°.故选B.
6．(2019·荆州模拟)两直线－＝a与－＝a(其中a是不为零的常数)的图象可能是( )
答案 B
解析 已知两直线的方程可分别化为l1：＋＝1与l2：＋＝1，所以直线l1的横截距与直线l2的纵截距互为相反数；直线l1的纵截距与直线l2的横截距互为相反数，结合四个选项中的图象可知，B符合题意．
7．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )
A．－11或k<
C．k>1或k< D．k>或k<－1
答案 D
解析 因为直线l过点A(1，2)，在x轴上的截距取值范围是(－3,3)，所以直线端点的斜率分别为＝－1，＝，如图．所以k>或k<－1.所以D正确．
8．若直线l过点(m,3)和(3,2)，且在x轴上的截距是1，则实数m＝________.
答案 4
解析 由在x轴上的截距是1，得m≠3，则直线方程为＝.当y＝0时，则x＝6－2m＋3＝1，故m＝4.
9．若过点P(1－a,1＋a)与Q(4,2a)的直线的倾斜角为钝角，且m＝3a2－4a，则实数m的取值范围是________．
答案
解析 设直线的倾斜角为α，斜率为k，则k＝tanα＝＝，又α为钝角，所以<0，即(a－1)·(a＋3)<0，故－3
答案 4x－3y－4＝0
解析 由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，因为直线l0：x－2y－2＝0的斜率为，则tanα＝，所以直线l的斜率k＝tan2α＝＝＝，所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝(x－1)，即4x－3y－4＝0.
组 能力关
1．若<α<2π，则直线＋＝1必不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 令x＝0，得y＝sinα<0，令y＝0，得x＝cosα>0，所以直线过点(0，sinα)，(cosα，0)两点，因而直线不过第二象限．故选B.
2．已知{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线斜率为( )
A．4 B.
C．－4 D．－14
答案 A
解析 ∵{an}为等差数列，a4＝15，S5＝55，∴a1＋a5＝22，∴2a3＝22，∴a3＝11，∴kPQ＝＝4.
3．(2019·成都诊断)设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为( )
A． B．[－1,0]
C．[0,1] D．[ ，1]
答案 A
解析 由题意知y′＝2x＋2，设P(x0，y0)，则k＝2x0＋2.因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则0≤k≤1，即0≤2x0＋2≤1，故－1≤x0≤－.故选A.
4．函数y＝asinx－bcosx的一条对称轴为x＝，则直线l：ax－by＋c＝0的倾斜角为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由函数y＝f(x)＝asinx－bcosx的一条对称轴为x＝知，f(0)＝f，即－b＝a，∴直线l的斜率为－1，∴倾斜角为.故选D.
5．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．
答案 5
解析 动直线x＋my＝0(m≠0)过定点A(0,0)，动直线mx－y－m＋3＝0过定点B(1,3)．由题意易得直线x＋my＝0与直线mx－y－m＋3＝0垂直，即PA⊥PB.所以|PA|·|PB|≤＝＝＝5，即|PA|·|PB|的最大值为5.
6．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0
解析 由已知画出简图，如图所示．
因为l1：ax－2y＝2a－4，
所以当x＝0时，y＝2－a，即直线l1与y轴交于点A(0,2－a)．
因为l2：2x＋a2y＝2a2＋4，
所以当y＝0时，x＝a2＋2，
即直线l2与x轴交于点C(a2＋2,0)．
易知l1与l2均过定点(2,2)，
即两直线相交于点B(2,2)．
则四边形AOCB的面积为S＝S△AOB＋S△BOC
＝(2－a)×2＋(a2＋2)×2＝2＋≥.
所以Smin＝，此时a＝.
7．如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当线段AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．
解 由题意可得kOA＝tan45°＝1，kOB＝tan(180°－30°)＝－，所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.设A(m，m)，B(－n，n)，所以线段AB的中点C的坐标为，由点C在直线y＝x上，且A，P，B三点共线得解得m＝，所以A(，)．因为P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝，所以lAB：y＝(x－1)，即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.
第八章 平面解析几何
第1讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程
[考纲解读] 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，并能根据两条直线的斜率判断这两条直线的平行或垂直关系．(重点)
2．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，并了解斜截式与一次函数的关系．(难点)
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是命题的热点，但很少独立命题．预测2021年高考对本讲内容将考查：①直线倾斜角与斜率的关系、斜率公式；②直线平行与垂直的判定或应用，求直线的方程．试题常以客观题形式考查，难度不大.
1.直线的斜率
(1)当α≠90°时，tanα表示直线l的斜率，用k表示，即k＝tanα.当α＝90°时，直线l的斜率k不存在．
(2)斜率公式
给定两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，经过P1，P2两点的直线的斜率公式为k＝.
2．直线方程的五种形式
名称
已知条件
方程
适用范围
点斜式
斜率k与点(x1，y1)
y－y1＝k(x－x1)
直线不垂直于x轴
斜截式
斜率k与直线在y轴上的截距b
y＝kx＋b
直线不垂直于x轴
两点式
两点(x1，y1)，(x2，y2)
＝(x1≠x2，y1≠y2)
直线不垂直于x轴和y轴
截距式
直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b
＋＝1(a≠0，b≠0)
直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点
一般式
—
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
任何情况
1．概念辨析
(1)直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.( )
(2)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )
(3)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．( )
(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2．小题热身
(1)直线l经过原点和点(－1，－1)，则直线l的倾斜角是( )
A．45° B．135°
C．135°或225° D．60°
答案 A
解析 由已知，得直线l的斜率k＝＝1，所以直线l的倾斜角是45°.
(2)在平面直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 直线x＋y－3＝0的斜率为－，所以倾斜角为.
(3)已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－，则直线l的方程为( )
A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0
C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0
答案 A
解析 由题意得直线l的点斜式方程为y－5＝－[x－(－2)]，整理得3x＋4y－14＝0.
(4)已知直线l过点P(1,3)，且与x轴，y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于6，则直线l的方程是( )
A．3x＋y－6＝0 B．x＋3y－10＝0
C．3x－y＝0 D．x－3y＋8＝0
答案 A
解析 设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)．
由题意，得解得a＝2，b＝6.故直线l的方程为＋＝1，即3x＋y－6＝0.故选A.
题型一 直线的倾斜角与斜率
1．(2019·长春模拟)设直线y＝2x的倾斜角为α，则cos2α的值为( )
A．－ B．－
C．－ D．－
答案 C
解析 由题意，知tanα＝2，所以cos2α＝＝＝＝－.
2．(2019·安阳模拟)若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝( )
A．1±或0 B.或0
C. D.或0
答案 A
解析 若A，B，C三点共线，则有kAB＝kAC，即＝，整理得a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1±.
3．直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．
答案 (－∞，－]∪[1，＋∞)
解析 如图，∵kAP＝＝1，
kBP＝＝－，
∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)．
1．直线的倾斜角与其斜率的关系
斜率k
k＝tanα>0
k＝0
k＝tanα<0
不存在
倾斜角α
锐角
0°
钝角
90°
2．倾斜角变化时斜率的变化规律
根据正切函数k＝tanα的单调性，如图所示：
(1)当α取值在内，由0增大到时，k由0增大并趋向于正无穷大；
(2)当α取值在内，由增大到π(α≠π)时，k由负无穷大增大并趋近于0.如举例说明3.
3．三点共线问题
若已知三个点中的两个坐标，可以先通过这两个已知点求出直线方程，然后将第三个点代入求解；也可利用斜率相等或向量共线的条件解决．如举例说明2.
1．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A． B.
C．[0，]∪ D. ∪
答案 B
解析 ∵直线的斜率k＝－，∴－1≤k<0，则倾斜角的范围是.
2.若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( )
A. B．－
C．－ D.
答案 B
解析 依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有
解得
从而可知直线l的斜率为＝－.
题型二 直线方程的求法
1．已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上的中线所在的直线方程为________．
答案 x＋13y＋5＝0
解析 BC的中点坐标为，∴BC边上的中线所在的直线方程为＝，即x＋13y＋5＝0.
2．(1)求过点A(1,3)，且斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程；
(2)求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程．
解 (1)设所求直线的斜率为k，
依题意k＝－4×＝－.
又直线经过点A(1,3)，
因此所求的直线方程为y－3＝－(x－1)，
即4x＋3y－13＝0.
(2)当直线不过原点时，设所求的直线方程为＋＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－，
所以直线方程为x＋2y＋1＝0；
当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－，所以直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0.
故所求的直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.
给定条件求直线方程的思路
(1)求直线方程常用的两种方法
①直接法：根据已知条件，直接写出直线的方程，如举例说明2(1)求直线方程，则直接利用斜截式即可．
②待定系数法：即设定含有参数的直线方程，结合条件列出方程(组)，求出参数，再代入直线方程即可．必要时要注意分类讨论，如举例说明2(2)中不要忽略过原点的情况，否则会造成漏解．
(2)设直线方程的常用技巧
①已知直线纵截距b时，常设其方程为y＝kx＋b.
②已知直线横截距a时，常设其方程为x＝my＋a.
③已知直线过点(x0，y0)，且k存在时，常设y－y0＝k(x－x0)．
1．在等腰三角形AOB中，AO＝AB，点O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为( )
A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3)
C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1)
答案 D
解析 因为AO＝AB，所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数，所以kAB＝－kOA＝－3，所以直线AB的点斜式方程为y－3＝－3(x－1)．故选D.
2．求适合下列条件的直线方程：
(1)过点P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数；
(2)过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；
(3)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.
解 (1)当直线过原点时，方程为y＝x，
即3x－2y＝0.
当直线l不过原点时，设直线方程为－＝1.
将P(2,3)代入方程，得a＝－1，
所以直线l的方程为x－y＋1＝0.
综上，所求直线l的方程为3x－2y＝0或x－y＋1＝0.
(2)设直线y＝3x的倾斜角为α，
则所求直线的倾斜角为2α.
因为tanα＝3，所以tan2α＝＝－.
又直线经过点A(－1，－3)，
因此所求的直线方程为y＋3＝－(x＋1)，
即3x＋4y＋15＝0.
(3)由题设知纵横截距不为0，设直线方程为
＋＝1，
又直线过点(－3,4)，从而－＋＝1，
解得a＝－4或a＝9.
故所求的直线方程为
4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.
题型三 直线方程的综合应用
角度1 由直线方程求参数问题
1．若直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是( )
A．[－2,2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．[－2,0)∪(0,2] D．(－∞，＋∞)
答案 C
解析 令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－b，所以所求的三角形面积为|－b|＝b2，且b≠0，因为b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．
角度2 与直线方程有关的最值问题
2．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
解 (1)证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令解得
∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)．
(2)由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k＞0；当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围为[0，＋∞)．
(3)由题意，知k≠0，再由直线l的方程，得
A，B(0,1＋2k)．
依题意得解得k＞0.
∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|
＝·＝
≥×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的条件是k＞0且4k＝，即k＝，
∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
与直线方程有关问题的常见类型及解题策略
(1)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．
(2)求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值或用函数的单调性解决．如举例说明2.
1．若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则参数m满足的条件是( )
A．m≠－ B．m≠0
C．m≠0且m≠1 D．m≠1
答案 D
解析 由解得m＝1，故m≠1时方程表示一条直线．
2．(2019·济南模拟)已知直线l过点M(2,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于点A，B，O为坐标原点，求当||·||取得最小值时直线l的方程．
解 设A(a,0)，B(0，b)，则a>0，b>0，
直线l的方程为＋＝1，所以＋＝1.
||·||＝－·
＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)
＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5
＝(2a＋b) －5＝＋≥4，
当且仅当a＝b＝3时取等号，
此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
组 基础关
1．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )
A．1 B．4
C．1或3 D．1或4
答案 A
解析 由题意知＝1(m≠－2)，解得m＝1.
2．(2019·郑州一模)已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为( )
A．y＝x＋2 B．y＝x－2
C．y＝x＋ D．y＝－x＋2
答案 A
解析 ∵直线x－2y－4＝0的斜率为，∴直线l在y轴上的截距为2，∴直线l的方程为y＝x＋2.
3．如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A．k1
解析 设l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由图象知0<α3<α2<<α1<π，所以k1<0
A．ab>0，bc<0 B．ab>0，bc>0
C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<0
答案 A
解析 由题意，知a≠0，b≠0，已知直线方程可化为y＝－x－，若此直线同时经过第一、二、四象限，则即ab>0，bc<0.
5．直线xcos140°＋ysin40°＋1＝0的倾斜角是( )
A．40° B．50°
C．130° D．140°
答案 B
解析 将直线xcos140°＋ysin40°＋1＝0化成xcos40°－ysin40°－1＝0，其斜率为k＝＝tan50°，倾斜角为50°.故选B.
6．(2019·荆州模拟)两直线－＝a与－＝a(其中a是不为零的常数)的图象可能是( )
答案 B
解析 已知两直线的方程可分别化为l1：＋＝1与l2：＋＝1，所以直线l1的横截距与直线l2的纵截距互为相反数；直线l1的纵截距与直线l2的横截距互为相反数，结合四个选项中的图象可知，B符合题意．
7．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )
A．－1
C．k>1或k< D．k>或k<－1
答案 D
解析 因为直线l过点A(1，2)，在x轴上的截距取值范围是(－3,3)，所以直线端点的斜率分别为＝－1，＝，如图．所以k>或k<－1.所以D正确．
8．若直线l过点(m,3)和(3,2)，且在x轴上的截距是1，则实数m＝________.
答案 4
解析 由在x轴上的截距是1，得m≠3，则直线方程为＝.当y＝0时，则x＝6－2m＋3＝1，故m＝4.
9．若过点P(1－a,1＋a)与Q(4,2a)的直线的倾斜角为钝角，且m＝3a2－4a，则实数m的取值范围是________．
答案
解析 设直线的倾斜角为α，斜率为k，则k＝tanα＝＝，又α为钝角，所以<0，即(a－1)·(a＋3)<0，故－3
答案 4x－3y－4＝0
解析 由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，因为直线l0：x－2y－2＝0的斜率为，则tanα＝，所以直线l的斜率k＝tan2α＝＝＝，所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝(x－1)，即4x－3y－4＝0.
组 能力关
1．若<α<2π，则直线＋＝1必不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 令x＝0，得y＝sinα<0，令y＝0，得x＝cosα>0，所以直线过点(0，sinα)，(cosα，0)两点，因而直线不过第二象限．故选B.
2．已知{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线斜率为( )
A．4 B.
C．－4 D．－14
答案 A
解析 ∵{an}为等差数列，a4＝15，S5＝55，∴a1＋a5＝22，∴2a3＝22，∴a3＝11，∴kPQ＝＝4.
3．(2019·成都诊断)设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为( )
A． B．[－1,0]
C．[0,1] D．[ ，1]
答案 A
解析 由题意知y′＝2x＋2，设P(x0，y0)，则k＝2x0＋2.因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则0≤k≤1，即0≤2x0＋2≤1，故－1≤x0≤－.故选A.
4．函数y＝asinx－bcosx的一条对称轴为x＝，则直线l：ax－by＋c＝0的倾斜角为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由函数y＝f(x)＝asinx－bcosx的一条对称轴为x＝知，f(0)＝f，即－b＝a，∴直线l的斜率为－1，∴倾斜角为.故选D.
5．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．
答案 5
解析 动直线x＋my＝0(m≠0)过定点A(0,0)，动直线mx－y－m＋3＝0过定点B(1,3)．由题意易得直线x＋my＝0与直线mx－y－m＋3＝0垂直，即PA⊥PB.所以|PA|·|PB|≤＝＝＝5，即|PA|·|PB|的最大值为5.
6．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0
解析 由已知画出简图，如图所示．
因为l1：ax－2y＝2a－4，
所以当x＝0时，y＝2－a，即直线l1与y轴交于点A(0,2－a)．
因为l2：2x＋a2y＝2a2＋4，
所以当y＝0时，x＝a2＋2，
即直线l2与x轴交于点C(a2＋2,0)．
易知l1与l2均过定点(2,2)，
即两直线相交于点B(2,2)．
则四边形AOCB的面积为S＝S△AOB＋S△BOC
＝(2－a)×2＋(a2＋2)×2＝2＋≥.
所以Smin＝，此时a＝.
7．如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当线段AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．
解 由题意可得kOA＝tan45°＝1，kOB＝tan(180°－30°)＝－，所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.设A(m，m)，B(－n，n)，所以线段AB的中点C的坐标为，由点C在直线y＝x上，且A，P，B三点共线得解得m＝，所以A(，)．因为P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝，所以lAB：y＝(x－1)，即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.
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