2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第8章第3讲　圆的方程


第3讲　圆的方程
[考纲解读]　1.掌握确定圆的几何要素，圆的标准方程与一般方程，能根据不同的条件，采取标准式或一般式求圆的方程．(重点)
2．掌握点与圆的位置关系，能求解与圆有关的轨迹方程．(难点)
[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲为高考中的热点．预测2021年将会考查：①求圆的方程；②根据圆的方程求最值；③与圆有关的轨迹问题．试题以客观题的形式呈现，难度不会太大，以中档题型呈现.

1.圆的定义及方程
定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)

标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心：(a，b)，半径：r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
圆心：，半径：
2．点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
设d为点M(x0，y0)与圆心(a，b)的距离
(1)d>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；
(2)d＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；
(3)d0，所以＋＝(4a＋b)＝＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当＝时，等号成立，此时b＝4a，结合4a＋b＝1，知a＝，b＝.所以当a＝，b＝时，＋取得最小值8.
题型三　与圆有关的轨迹问题

1．已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求直角顶点C的轨迹方程．
解　解法一：设C(x，y)，
因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，
又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为
x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
解法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
2．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．

解　如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.
因为平行四边形的对角线互相平分，
所以＝，＝，整理得
又点N(x＋3，y－4)在圆x2＋y2＝4上，所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
所以点P的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆.

1．掌握“三方法”

2．明确“五步骤”
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(2019·潍坊调研)已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
解　(1)设AP的中点为M(x，y)，
由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．
因为P点在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.

　组　基础关
1．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0