2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第8章解答题专项突破（五）　圆锥曲线的综合问题


解答题专项突破(五)　圆锥曲线的综合问题
圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必有一道解答题，常以求圆锥曲线的标准方程、研究直线与圆锥曲线的位置关系为主，涉及题型有定点、定值、最值、范围、探索性问题等，此类命题起点较低，但在第(2)问中一般都有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常以压轴题的形式呈现．
热点题型1　圆锥曲线中的定点问题
　　(2019·北京高考)已知抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)．
(1)求抛物线C的方程及其准线方程．
(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
解题思路　(1)根据抛物线C过点(2，－1)，列方程求p，得抛物线C的方程，进而得出其准线方程．
(2)设直线l的方程，与抛物线C的方程联立，用根与系数的关系推出关于M，N两点坐标的等量关系，设所求定点坐标为(0，n)，利用·＝0列方程式求n的值．
规范解答　(1)由抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)，得22＝－2p(－1)，解得p＝2.
所以抛物线C的方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1.
(2)证明：抛物线C的焦点为F(0，－1)．
设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0)．
由得x2＋4kx－4＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＝－4.
直线OM的方程为y＝x.
令y＝－1，得点A的横坐标xA＝－.
同理得点B的横坐标xB＝－.
设点D(0，n)，则＝，
＝，
·＝＋(n＋1)2
＝＋(n＋1)2
＝＋(n＋1)2
＝－4＋(n＋1)2.
令·＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，得n＝1或n＝－3.
综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0，－3)．
　　(2019·济南模拟)已知Q为圆x2＋y2＝1上一动点，Q在x轴，y轴上的射影分别为点A，B，动点P满足＝，记动点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)过点的直线与曲线C交于M，N两点，判断以MN为直径的圆是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
解题思路　(1)设Q(x0，y0)，P(x，y)，利用所给条件建立两点坐标之间的关系，利用Q在圆上可得x，y的方程，即为所求．
(2)设定点为H，及直线l的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，及·＝0，得出恒等式，求得定点的坐标．
规范解答　(1)设Q(x0，y0)，P(x，y)，则x＋y＝1，
由＝，得
代入x＋y＝1，得＋y2＝1，
故曲线C的方程为＋y2＝1.
(2)假设存在满足条件的定点，由对称性可知，该定点在y轴上，设定点为H(0，m)，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx－，
由得(1＋4k2)x2－kx－＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－，
∴y1＋y2＝k(x1＋x2)－＝－，
y1y2＝＝k2x1x2－k(x1＋x2)＋＝，
∵＝(x1，y1－m)，＝(x2，y2－m)，
∴·＝x1x2＋y1y2－m(y1＋y2)＋m2＝＝0，
∵对任意的k恒成立，∴
解得m＝1，即定点为H(0,1)，
当直线l的斜率不存在时，以MN为直径的圆也过定点(0,1)．
综上，以MN为直径的圆过定点(0,1)．
热点题型2　圆锥曲线中的定值问题

　　如图，在平面直角坐标系xOy中，点F，直线l：x＝－，点P在直线l上移动，R是线段FP与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l.
(1)求动点Q的轨迹C的方程；
(2)设圆M过A(1,0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长|TS|是否为定值？请说明理由．
解题思路　(1)R是线段FP的中点，且RQ⊥FP→RQ是线段PF的垂直平分线→|PQ|＝|QF|→点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线→确定焦准距，根据抛物线的焦点坐标，求出抛物线的方程．
(2)①求|TS|的依据：a＝2，其中a为弦长，r为圆的半径，d为圆心到弦所在直线的距离．
②策略：设曲线C上点M(x0，y0)，用相关公式求r，d；用x0，y0满足的等量关系消元．
规范解答　(1)依题意知，点R是线段FP的中点，
且RQ⊥FP，
∴RQ是线段FP的垂直平分线．
∵点Q在线段FP的垂直平分线上，
∴|PQ|＝|QF|，
又|PQ|是点Q到直线l的距离，
故动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y2＝2x(x>0)．
(2)弦长|TS|为定值．理由如下：
取曲线C上点M(x0，y0)，M到y轴的距离为d＝|x0|＝x0，圆的半径r＝|MA|＝，
则|TS|＝2＝2，
∵点M在曲线C上，
∴x0＝，∴|TS|＝2＝2，是定值．
　　(2019·六安三模)给定椭圆C：＋＝1(a>b>0)，称圆心在原点O，半径为的圆为椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F(，0)，其短轴上的一个端点到F的距离为.
(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程；
(2)若点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N.证明：l1⊥l2，且线段MN的长为定值．
解题思路　(1)根据椭圆的几何性质求a，c，再用b2＝a2－c2求b，可得椭圆C的方程，进而可依据定义写出其“准圆”方程．
(2)分以下两种情况讨论：①l1，l2中有一条斜率不存在；②l1，l2斜率存在．对于①，易知切点为椭圆的顶点；对于②，可设出过P与椭圆相切的直线，并与椭圆方程联立后消元，由Δ＝0推出关于椭圆切线斜率的方程，利用根与系数的关系进行证明．
规范解答　(1)∵椭圆C的一个焦点为F(，0)，
其短轴上的一个端点到F的距离为.
∴c＝，a＝，
∴b＝＝1，
∴椭圆方程为＋y2＝1，
∴“准圆”方程为x2＋y2＝4.
(2)证明：①当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，则l1：x＝±，
当l1：x＝时，l1与“准圆”交于点(，1)，(，－1)，
此时l2为y＝1(或y＝－1)，显然直线l1，l2垂直；
同理可证当l1：x＝－时，直线l1，l2垂直．
②当l1，l2斜率存在时，
设点P(x0，y0)，其中x＋y＝4.
设经过点P(x0，y0)与椭圆相切的直线为
y＝t(x－x0)＋y0，
∴由
得(1＋3t2)x2＋6t(y0－tx0)x＋3(y0－tx0)2－3＝0.
由Δ＝0化简整理，得(3－x)t2＋2x0y0t＋1－y＝0，
∵x＋y＝4，∴有(3－x)t2＋2x0y0t＋(x－3)＝0.
设l1，l2的斜率分别为t1，t2，
∵l1，l2与椭圆相切，∴t1，t2满足上述方程(3－x)t2＋2x0y0t＋(x－3)＝0，
∴t1·t2＝－1，即l1，l2垂直．
综合①②知，l1⊥l2.
∵l1，l2经过点P(x0，y0)，又分别交其“准圆”于点M，N，且l1，l2垂直．
∴线段MN为“准圆”x2＋y2＝4的直径，|MN|＝4，
∴线段MN的长为定值．
热点题型3　圆锥曲线中的证明问题
　　已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，过焦点F的直线交C于A，B两点，D是抛物线的准线l与y轴的交点．
(1)若AB∥l，且△ABD的面积为1，求抛物线的方程；
(2)设M为AB的中点，过M作l的垂线，垂足为N.证明：直线AN与抛物线相切．
解题思路　(1)判断△ABD的形状，求|FD|，|AB|.由△ABD的面积为1，列方程求p，得抛物线的方程．
(2)将直线AB的方程与抛物线C的方程联立，消去y并整理，结合根与系数的关系用k，p表示M，N的坐标．求kAN：①斜率公式，②导数的几何意义，两个角度求斜率相等，证明相切．
规范解答　(1)∵AB∥l，∴△ABD为等腰三角形，且FD⊥AB，又|FD|＝p，|AB|＝2p.
∴S△ABD＝p2＝1.
∴p＝1，故抛物线C的方程为x2＝2y.
(2)证明：显然直线AB的斜率存在，设其方程为
y＝kx＋，A，B.
由消去y整理得，x2－2kpx－p2＝0.
∴x1＋x2＝2kp，x1x2＝－p2.
∴M，N.
∴kAN＝＝＝＝＝.
又x2＝2py，∴y′＝.
∴抛物线x2＝2py在点A处的切线的斜率k′＝.
∴直线AN与抛物线相切．
　　(2019·漳州二模)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1(1 (1)求椭圆C的标准方程；
(2)若线段MN平行于y轴，满足(－2)·＝0，动点P在直线x＝2上，满足·＝2.证明：过点N且垂直于OP的直线过椭圆C的右焦点F.
解题思路　(1)根据椭圆的左顶点A到直线x－y＋5＝0的距离为，列关于a的等量关系求解，得椭圆C的方程．
(2)设出M，N，P的坐标(注意M与N的横坐标相同，P的横坐标已知)．先用(－2)·＝0和·＝2推出坐标之间的关系，再利用这些等量关系证明·＝0.
规范解答　(1)设左顶点A的坐标为(－a,0)，
∵＝，
∴|a－5|＝3，
解得a＝2或a＝8(舍去)，
∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)证明：由题意，设M(x0，y0)，N(x0，y1)，P(2，t)，且y1≠y0，
由(－2)·＝0，可得(x0－2x0，y1－2y0)·(0，y1－y0)＝0，整理可得y1＝2y0，
由·＝2，可得(x0,2y0)·(2－x0，t－2y0)＝2，
整理，得2x0＋2y0t＝x＋4y＋2＝6，
由(1)可得F(，0)，
∴＝(－x0，－2y0)，
∴·＝(－x0，－2y0)·(2，t)＝6－2x0－2y0t＝0，
∴NF⊥OP，
故过点N且垂直于OP的直线过椭圆C的右焦点F.
热点题型4　圆锥曲线中的最值与范围问题
　　(2019·包头二模)设F为抛物线C：y2＝2px的焦点，A是C上一点，FA的延长线交y轴于点B，A为FB的中点，且|FB|＝3.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于M，N两点，直线l2与C交于D，E两点，求四边形MDNE面积的最小值．
解题思路　(1)由题意画出图形，结合已知条件列式求得p，则抛物线C的方程可求．
(2)由已知直线l1的斜率存在且不为0，设其方程为y＝k(x－1)，与抛物线方程联立，求出|MN|，同理可求|DE|，可得四边形MDNE的面积表达式，再利用基本不等式求最值．

规范解答　(1)如图，∵A为FB的中点，∴A到y轴的距离为，
∴|AF|＝＋＝＝＝，解得p＝2.
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)由已知直线l1的斜率存在且不为0，
设其方程为y＝k(x－1)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
∵Δ>0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴x1＋x2＝2＋，则|MN|＝x1＋x2＋2＝4；
同理设D(x3，y3)，E(x4，y4)，∴x3＋x4＝2＋4k2，
则|DE|＝x3＋x4＋2＝4(1＋k2)．
∴四边形MDNE的面积S＝|MN|·|DE|＝8≥32.
当且仅当k＝±1时，四边形MDNE的面积取得最小值32.

　　如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右顶点为A(2，0)，左、右焦点分别为F1，F2，过点A且斜率为的直线与y轴交于点P，与椭圆交于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为点F1.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点P且斜率大于的直线与椭圆交于M，N两点(|PM|>|PN|)，若S△PAM∶S△PBN＝λ，求实数λ的取值范围．
解题思路　(1)求点B的坐标→根据kAB＝列方程→由题意得a＝2，a2＝b2＋c2，解方程组求a，b，c，写出椭圆C的标准方程．
(2)S△PAM∶S△PBN＝λ与的关系→点M，N坐标之间的关系→直线MN的方程与椭圆C的方程联立，消去y整理→用根与系数的关系得出点M，N的坐标之间的关系式→推出λ与k的关系，并根据k>求范围，找到λ所满足的不等式，求出λ的取值范围．
规范解答　(1)因为BF1⊥x轴，所以点B，
所以⇒
所以椭圆C的标准方程是＋＝1.
(2)因为＝
＝＝λ⇒＝(λ>2)，
所以＝－.
由(1)可知P(0，－1)，设直线MN：y＝kx－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立方程，得
化简得，(4k2＋3)x2－8kx－8＝0.
得(*)
又＝(x1，y1＋1)，＝(x2，y2＋1)，
有x1＝－x2，
将x1＝－x2代入(*)可得，＝.
因为k>，所以＝∈(1,4)，
则1<<4且λ>2⇒4<λ<4＋2.
综上所述，实数λ的取值范围为(4,4＋2)．
热点题型5　圆锥曲线中的探索性问题
　　(2019·巢湖一模)已知抛物线E：y2＝4x，圆C：(x－3)2＋y2＝1.
(1)若过抛物线E的焦点F的直线l与圆C相切，求直线l的方程；
(2)在(1)的条件下，若直线l交抛物线E于A，B两点，x轴上是否存在点M(t,0)使∠AMO＝∠BMO(O为坐标原点)？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解题思路　(1)求得抛物线的焦点，设出直线l的方程，运用直线l和圆C相切的条件：d＝r，解方程可得所求直线方程．
(2)设出A，B的坐标，联立直线l的方程和抛物线E的方程，运用根与系数的关系和直线的斜率公式，依据∠AMO＝∠BMO，即kAM＋kBM＝0列方程化简整理，解方程可得t，即得点M的坐标，从而得到结论．
规范解答　(1)由题意，得抛物线的焦点F(1,0)，当直线l的斜率不存在时，过F的直线不可能与圆C相切，
所以直线l的斜率存在．设直线l的斜率为k，方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，
由圆心(3,0)到直线l的距离为d＝＝，
当直线l与圆C相切时，d＝r＝1，解得k＝±，
即直线l的方程为y＝±(x－1)．
(2)由(1)，当直线l的方程为y＝(x－1)时，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立抛物线E的方程可得x2－14x＋1＝0，
则x1＋x2＝14，x1x2＝1，
x轴上假设存在点M(t,0)使∠AMO＝∠BMO，
即有kAM＋kBM＝0，
得＋＝0，
即y1(x2－t)＋y2(x1－t)＝0，
由y1＝(x1－1)，y2＝(x2－1)，
可得2x1x2－(x1＋x2)－(x1＋x2－2)t＝0，
即2－14－12t＝0，即t＝－1，M(－1,0)符合题意；
当直线l的方程为y＝－(x－1)时，由对称性可得M(－1，0)也符合条件．
所以存在定点M(－1,0)使∠AMO＝∠BMO.
　　(2019·汕头模拟)已知点A(0，－1)，B(0,1)，P为椭圆C：＋y2＝1上异于点A，B的任意一点．
(1)求证：直线PA，PB的斜率之积为－；
(2)是否存在过点Q(－2,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，使得|BM|＝|BN|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
解题思路　(1)设点P(x，y)(x≠0)，代入椭圆方程，由直线的斜率公式，即可得证．
(2)假设存在直线l满足题意．显然当直线斜率不存在时，直线与椭圆C不相交，讨论直线的斜率是否为0，联立直线方程和椭圆方程，运用根与系数的关系和两直线垂直的条件：由|BM|＝|BN|想到在△BMN中，边MN所在直线的斜率与MN边上的中线所在直线的斜率之积为－1，可得所求直线方程．
规范解答　(1)证明：设点P(x，y)(x≠0)，
则＋y2＝1，即y2＝1－，
∴kPA·kPB＝·＝
＝＝－，故得证．
(2)假设存在直线l满足题意．显然当直线斜率不存在时，直线与椭圆C不相交．
①当直线l的斜率k≠0时，设直线l为y＝k(x＋2)，
联立椭圆方程x2＋2y2＝2，化简得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－2＝0，
由Δ＝64k4－4(1＋2k2)(8k2－2)>0，
解得－ 设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则
∴y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4k＝k·＋4k＝，
取MN的中点H，即H，
则·k＝－1，
即·k＝－1，
化简得2k2＋2k＋1＝0，无实数解，故舍去．
②当k＝0时，M，N为椭圆C的左、右顶点，显然满足|BM|＝|BN|，
此时直线l的方程为y＝0.
综上可知，存在直线l满足题意，此时直线l的方程为y＝0.