2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第10章第3讲　二项式定理


第3讲　二项式定理
[考纲解读]　1.会用计数原理证明二项式定理，并会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．(重点)
2．熟练掌握二项式的展开式、展开式的通项及二项式系数的相关性质．(难点)
[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲为每年高考的常考知识点．预测2021年将会考查：①求二项式的特定项或项的系数；②求二项式系数的最大项或二项式系数的和；③与其他知识进行综合考查．题型以客观题形式考查，难度不大，属中、低档题型.

1.二项式定理
二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)
二项展开式
的通项公式
Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项
二项式系数
二项展开式中各项的二项式系数C，C，…，C
2．二项式系数的性质

性质
性质描述
对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C
增减性
二项式系
数C
当k＜(n∈N*)时，是递增的
当k＞(n∈N*)时，是递减的
最大值
当n为偶数时，中间的一项取得最大值
当n为奇数时，中间的两项C和取得最大值
3．常用结论
(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
(3)C＋2C＋3C＋…＋nC＝n2n－1.
(4)CC＋CC＋…＋CC＝C.
(5)(C)2＋(C)2＋(C)2＋…＋(C)2＝C.

1．概念辨析
(1)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(　　)
(2)二项式6的展开式的第二项系数是C.(　　)
(3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　)
(4)若(x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为0.(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2．小题热身
(1)8的展开式中常数项为(　　)
A. B.
C. D．105
答案　B
解析　二项展开式的通项为
Tk＋1＝C()8－k·k＝kCx4－k，
令4－k＝0，解得k＝4，所以T5＝4C＝.
(2)若二项式n展开式的二项式系数之和为8，则该展开式的系数之和为(　　)
A．－1 B．1
C．27 D．－27
答案　A
解析　依题意，得二项式系数的和为2n＝8，所以n＝3，故二项式为3，令x＝1，可求得系数之和为(1－2)3＝－1.
(3)(2－x)5的展开式中x的系数为________．
答案　－80
解析　(2－x)5的展开式中x的系数为C×24×(－1)＝－80.
(4)已知(1＋3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n＝________.
答案　4
解析　(1＋3x)n的展开式的通项为Tr＋1＝C(3x)r，令r＝2，得T3＝9Cx2.由题意，得9C＝54，解得n＝4.

题型一　二项展开式　

角度1　求二项展开式中的特定项或系数
1．(2018·全国卷Ⅲ)5的展开式中x4的系数为(　　)
A．10 B．20
C．40 D．80
答案　C
解析　由题意可得Tr＋1＝C(x2)5－rr＝C·2r·x10－3r.令10－3r＝4，则r＝2，所以C·2r＝C×22＝40，故选C.
2．(2019·广东省六校第一次联考)若a＝(2sinx－cosx)dx，则6的展开式中常数项是________．
答案　240
解析　∵a＝(2sinx－cosx)dx＝(－2cosx－sinx)|＝4，∴6的展开式的第r＋1项为Tr＋1＝C6－r(－)r＝46－r·(－1)rCx－6.令－6＝0，得r＝4，∴6的展开式中常数项是46－4×(－1)4C＝240.
角度2　求多项展开式的特定项或系数
3．(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为(　　)
A．12 B．16
C．20 D．24
答案　A
解析　解法一：(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为1×C＋2C＝12.故选A.
解法二：∵(1＋2x2)(1＋x)4＝(1＋2x2)(1＋4x＋6x2＋4x3＋x4)，∴x3的系数为1×4＋2×4＝12.故选A.
4．(2019·陕西黄陵中学模拟)5的展开式中x2的系数为(　　)
A．120 B．80
C．20 D．45
答案　A
解析　5＝5＝10.Tr＋1＝C()10－rr＝Cx5－r.
令5－r＝2解得r＝3.
T4＝Cx2＝120x2，
所以5的展开式中x2的系数为120.
角度3　已知二项展开式某项的系数求参数
5．(2019·黄山模拟)已知(1＋x)(1－ax)5的展开式中x2的系数为－，则a＝(　　)
A．1 B.
C. D.
答案　D
解析　(1＋x)(1－ax)5＝(1＋x)(1－5ax＋10a2x2－10a3x3＋5a4x4－a5x5)的展开式中x2的系数为10a2－5a＝－，解得a＝.

1．求二项展开式中的特定项或项的系数问题的思路
(1)利用通项公式将Tr＋1项写出并化简．
(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出r.
(3)代回通项得所求．见举例说明1,2.
2．求解形如(a＋b)m(c＋d)n的展开式问题的思路
(1)若m，n中有一个比较小，可考虑把它展开，如(a＋b)2(c＋d)n＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)n，然后分别求解．
(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.
(3)分别得到(a＋b)m，(c＋d)n的通项公式，综合考虑．
3．求形如(a＋b＋c)n的展开式中特定项的四步骤


1．(2019·华中师范大学第一附中模拟)已知(x＋1)5＋(x－2)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9，则a7＝(　　)
A．9 B．36
C．84 D．243
答案　B
解析　令t＝x－1，则(x＋1)5＋(x－2)9＝(t＋2)5＋(t－1)9，只有(t－1)9的展开式中含有t7项，所以a7＝C(－1)2＝36.
2．若(1＋ax)7(a≠0)的展开式中x5与x6的系数相等，则a＝________.
答案　3
解析　展开式的通项为Tr＋1＝C(ax)r，因为x5与x6的系数相等，所以Ca5＝Ca6，解得a＝3.
3．(2019·浙江高考)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．
答案　16　5
解析　由二项展开式的通项公式可知Tr＋1＝C·()9－r·xr，r∈N,0≤r≤9，当为常数项时，r＝0，T1＝C·()9·x0＝()9＝16.当项的系数为有理数时，9－r为偶数，可得r＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是5.
题型二　二项式系数的性质或各项系数的和　

1．(2019·东北三校联考)若(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝(　　)
A．0 B．1
C．32 D．－1
答案　A
解析　由(1－x)5的展开式的通项Tr＋1＝C(－x)r＝C(－1)rxr，可知a1，a3，a5都小于0.则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.在原二项展开式中令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0.
结论探究1　本例中的条件不变，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝________.
答案　32
解析　因为(1＋x)5的展开式的各项系数之和为|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|，令x＝1，得|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝25＝32.
结论探究2　本例中的条件不变，则a0＋a2＋a4＝________.
答案　16
解析　令x＝1，得0＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，令x＝－1，得25＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5，两式相加，得32＝2(a0＋a2＋a4)，所以a0＋a2＋a4＝16.
2．已知n的展开式中，前三项的系数成等差数列．
(1)求n；
(2)求展开式中的有理项；
(3)求展开式中系数最大的项．
解　(1)由二项展开式，知前三项的系数分别为C，C，C，由已知，得2×C＝C＋C，解得n＝8(n＝1舍去)．
(2)8的展开式的通项Tr＋1＝C()8－r·r＝2－rCx4－(r＝0,1，…，8)，
要求有理项，则4－必为整数，即r＝0,4,8，共3项，这3项分别是T1＝x4，T5＝x，T9＝.
(3)设第r＋1项的系数为ar＋1最大，则ar＋1＝2－rC，
则＝＝≥1，
＝＝≥1，
解得2≤r≤3.
当r＝2时，a3＝2－2C＝7，当r＝3时，a4＝2－3C＝7，
因此，第3项和第4项的系数最大，
故系数最大的项为T3＝7x，T4＝7x.

1．赋值法的应用
二项式定理给出的是一个恒等式，对于a，b的一切值都成立．因此，可将a，b设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令a，b等于多少时，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值．如：
(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可．见举例说明1.
(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
2．二项展开式的各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法
(1)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1)．
(2)奇数项系数之和为
a0＋a2＋a4＋…＝.
(3)偶数项系数之和为
a1＋a3＋a5＋…＝.
3．求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤
第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”“二项式系数最大”两者中的哪一个．
第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二次项系数的性质求解．若是求展开式系数的最大值，有两个思路，如下：
思路一：由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过判断数列增减性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的增减性求出系数的最值．见举例说明2.
思路二：由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组
即可求得答案.

1．(2020·广东揭阳模拟)已知(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝________.
答案　16
解析　解法一：由题意，取x＝1，得(＋2)4＝(a0＋a2＋a4)＋(a1＋a3)；①
取x＝－1，得(－2)4＝(a0＋a2＋a4)－(a1＋a3)．②
①②相乘，得(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(＋2)4×(－2)4＝[()2－22]4＝16.
解法二：由题意及二项式定理，得a0＝4，a1＝16，a2＝48，a3＝32，a4＝16.所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(4＋48＋16)2－(16＋32)2＝16.
2．已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，则在2n的展开式中，二项式系数最大的项为________，系数的绝对值最大的项为________．
答案　－8064　－15360x4
解析　由题意，知22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，故2n＝32，解得n＝5.由二项式系数的性质，知10的展开式中第6项的二项式系数最大，故二项式系数最大的项为T6＝C·(2x)55＝－8064.
设第k＋1项的系数的绝对值最大，则
Tk＋1＝C·(2x)10－k·k＝(－1)kC·210－k·x10－2k，
令得
即
解得≤k≤.
∵k∈Z，∴k＝3.
故系数的绝对值最大的项是第4项，
T4＝－C·27·x4＝－15360x4.
题型三　二项式定理的应用

1．已知n为满足S＝a＋C＋C＋C＋…＋C(a≥3)能被9整除的正数a的最小值，则n的展开式中，二项式系数最大的项为(　　)
A．第6项 B．第7项
C．第11项 D．第6项和第7项
答案　B
解析　由于S＝a＋C＋C＋C＋…＋C＝a＋227－1＝89＋a－1＝(9－1)9＋a－1＝C×99－C×98＋…＋C×9－C＋a－1＝9×(C×98－C×97＋…＋C)＋a－2，a≥3，所以n＝11，从而11的展开式中的系数与二项式系数只有符号差异，又中间两项的二项式系数最大，中间两项为第6项和第7项，且第6项系数为负，第7项系数为正，所以第7项系数最大．
2．计算1.056.(精确到0.01)
解　1.056＝(1＋0.05)6＝1＋6×0.05＋15×0.052＋…≈1＋0.3＋0.0375≈1.34.

二项式定理应用的常见题型及求解策略
(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中关注展开式的最后几项，而求近似值则关注展开式的前几项．见举例说明1.
(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式．
(3)利用二项式定理进行近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.若精确度要求较高，则可使用更精确的公式(1＋x)n≈1＋nx＋x2.

1．(2019·银川模拟)C＋2C＋4C＋…＋2n－1C等于(　　)
A．3n B．2·3n
C.－1 D.
答案　D
解析　C＋2C＋4C＋…＋2n－1C＝(C＋2C＋22C＋…＋2nC)－＝(1＋2)n－＝.
2．883＋6被49除所得的余数是(　　)
A．－14 B．0
C．14 D．35
答案　B
解析　由二项式定理展开，得
883＋6＝(7＋1)83＋6
＝783＋C×782＋…＋C×72＋C×7＋1＋6
＝72M＋83×7＋7(M是正整数)
＝49M＋49×12
＝49N(N是正整数)．
∴883＋6被49除所得的余数是0.
3．求0.9986的近似值．(精确到0.001)
解　0.9986＝(1－0.002)6＝1－6×0.002＋15×0.0022＋…≈1－0.012＋0.00006≈0.988.
易错防范　二项展开式中项的系数与二项式系数
[典例]　设(5x－)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中二项式系数最大的项为________．
答案　150x3
解析　依题意，得M＝4n＝(2n)2，N＝2n，
于是有(2n)2－2n＝240，(2n＋15)(2n－16)＝0，
∴2n＝16＝24，解得n＝4.
要使二项式系数C最大，只有r＝2，
故展开式中二项式系数最大的项为T3＝C(5x)2·(－)2＝150x3.
防范措施　明确二项式系数与项的系数的区别
(a＋bx)n的展开式中，二项式系数是指C，C，…，C，它们是组合数，只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．如第r＋1项的二项式系数是C，而该项的系数是Can－rbr.当然，在某些特殊的二项展开式(如(1＋x)n)中，各项的系数与二项式系数是相等的．

　组　基础关
1.6的展开式中(　　)
A．不含x9项 B．含x4项
C．含x2项 D．不含x项
答案　D
解析　Tr＋1＝(－1)rCx12－2rx－r＝(－1)rCx12－3r，故x的次数为12,9,6,3,0，－3，－6.故选D.
2．(2019·合肥一模)若6展开式的常数项为60，则a的值为(　　)
A．4 B．±4
C．2 D．±2
答案　D
解析　Tr＋1＝C(ax)6－rr＝(－1)rCa6－r·x6－r，令6－r＝0，解得r＝4，∴(－1)4Ca2＝60，解得a＝±2.
3．已知(1－2x)n(n∈N*)展开式中x3的系数为－80，则展开式中所有项的二项式系数之和为(　　)
A．64 B．32
C．1 D．－1
答案　B
解析　依题意，(1－2x)n的展开式的通项Tr＋1＝C·1n－r·(－2x)r＝C·(－2)r·xr，于是有C·(－2)3＝－80，即C＝10＝C，n＝5.因此(1－2x)n的展开式中所有项的二项式系数之和为25＝32，故选B.
4．(2020·荣成摸底)在1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5的展开式中，含x2项的系数是(　　)
A．10 B．15
C．20 D．25
答案　C
解析　含x2项的系数为C＋C＋C＋C＝20.
5．(2019·宁波模拟)在(x－2)2019的二项展开式中，含x的奇次幂的项的系数之和为M，含x的偶次幂的项的系数之和为N，则当x＝－1时，M－N＝(　　)
A．(－3)2019 B．－1
C．1 D．32019
答案　D
解析　设(x－2)2019＝a0x2019＋a1x2018＋…＋a2018x＋a2019，则当x＝－1时，有a0(－1)2019＋a1(－1)2018＋…＋a2018(－1)＋a2019＝－a0＋a1＋…－a2018＋a2019＝(－3)2019，即M－N＝(a0＋a2＋…＋a2018)－(a1＋a3＋…＋a2019)＝32019.
6．若(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋an(1－x)n，则a0－a1＋a2－…＋(－1)nan等于(　　)
A.(3n－1) B.(3n－2)
C.(3n－2) D.(3n－1)
答案　D
解析　在展开式中，令x＝2，得3＋32＋33＋…＋3n＝a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan，即a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝＝(3n－1)．
7．(2019·湘赣十四校第一次联考)(x3－1)6的展开式中的常数项为(　　)
A．－60 B．240
C．－80 D．180
答案　D
解析　6的通项为C2rx，所以(x3－1)·6的展开式中的常数项为x3C24x＋(－1)·C22x，即C24－C22＝240－60＝180，所以(x3－1)6的展开式中的常数项为180.
8．(2019·天津高考)8的展开式中的常数项为________．
答案　28
解析　8的通项为Tr＋1＝C8－r·r＝C28－rr·x8－4r.令8－4r＝0，得r＝2，∴常数项为T3＝C262＝28.
9．已知(2x－1)4＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4，则a2＝________.
答案　24
解析　(2x－1)4＝[2(x－1)＋1]4，T2＋1＝C[2(x－1)]2＝24(x－1)2.
10．(2019·福州市高三期末测试)设n为正整数，n的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为________．
答案　112
解析　依题意，得n＝8，所以展开式的通项Tr＋1Cx8－r·r＝Cx8－4r(－2)r，令8－4r＝0，解得r＝2，所以展开式中的常数项为T3＝C(－2)2＝112.
　组　能力关
1．设m为正整数，(x＋y)2m的展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1的展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
答案　B
解析　由题意，得a＝C，b＝C，所以13C＝7C，所以＝，所以＝13，解得m＝6，故选B.
2．(2019·洛阳模拟)若(1－2020x)2019＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2019x2019(x∈R)，则＋＋…＋的值为(　　)
A．20202019 B．1
C．0 D．－1
答案　D
解析　令x＝0，得a0＝1，令x＝，得0＝a0＋＋＋…＋，所以＋＋…＋＝－1.
3．设a∈Z，且0≤a0时，f[f(x)]＝6，所以其通项公式为Tr＋1＝C6－r·r＝C(－1)6－r·2rxr－3，当r＝3时，得到f[f(x)]表达式的展开式中的常数项为C×(－1)6－3×23＝－160.
6．(2019·江南十校联考)在(x＋y＋z)6的展开式中，所有形如xaybz2(a，b∈N)的项的系数之和是________(用数字作答)．
答案　240
解析　(x＋y＋z)6＝[(x＋y)＋z]6，则[(x＋y)＋z]6的展开式的通项为Tr＋1＝C(x＋y)6－rzr，所以含z2的项为C(x＋y)4z2，则形如xaybz2的项的系数之和为C(x＋y)4的展开式的系数之和．令x＝y＝1，得(x＋y)4的展开式的系数之和为24＝16，故形如xaybz2的项的系数之和是C×16＝240.