2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第10章第6讲　几何概型


第6讲　几何概型
[考纲解读]　1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．
2．了解几何概型的意义，并能求与长度或面积有关的几何概型的概率．(重点)
[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是高考的热点之一．预测2021年将会考查：①与长度有关的几何概型，常与函数、不等式、向量结合；②与面积有关的几何概型，常涉及线性规划、定积分等内容．题型为客观题，试题难度不大，属中、低档试题.

1.几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的两个基本特点

3．几何概型的概率公式
P(A)＝.

1．概念辨析
(1)几何概型的试验结果的个数是无限的，古典概型中试验结果的个数是有限的．(　　)
(2)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．(　　)
(3)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．(　　)
(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2．小题热身
(1)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一个玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(　　)

答案　A
解析　如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，所以P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．故选A.
(2)在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　C
解析　区间[－2,4]的长度为6，在[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则对应区间长度为5，由[－2,3]的长度为5，得m＝3.
(3)(2019·福州四校联考)如图，在圆心角为90°的扇形AOB中，以圆心O为起点在上任取一点C作射线OC，则使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率是(　　)

A. B.
C. D.
答案　A
解析　记事件T是“作射线OC，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”，如图，记的三等分点为M，N，连接OM，ON，则∠AON＝∠BOM＝∠MON＝30°，则符合条件的射线OC应落在扇形MON中，所以P(T)＝＝＝，故选A.

(4)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．
答案　1－
解析　正方体的体积为2×2×2＝8，以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为×πr3＝××13＝，则点P到点O的距离大于1的概率为1－＝1－.

题型一　与长度(角度)有关的几何概型　

1．在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log≤1”发生的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A　
解析　不等式－1≤log≤1可化为log2≤log≤log，即≤x＋≤2，解得0≤x≤，故由几何概型的概率公式得P＝＝.
条件探究1　将本例中的条件“－1≤log≤1”改为“使函数y＝有意义”，则其概率为________．
答案　
解析　由log(4x－3)≥0得0＜4x－3≤1，即x∈，由几何概型的概率公式，得P＝＝.
条件探究2　将本例中的条件“－1≤log≤1”改为“2≤2x＋≤4”，则其概率为________．
答案　
解析　由2≤2x＋≤4得1≤x＋≤2，即x∈，由几何概型的概率公式，得P＝＝.
2．(2019·东北三省三校联考)如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝1，BC＝，在边AD上任取点E，连接BE交AC于点F，则AF