终身会员
搜索
    上传资料 赚现金

    2021届高考数学(文)一轮复习学案:函数第10节实际问题的函数建模

    立即下载
    加入资料篮
    2021届高考数学(文)一轮复习学案:函数第10节实际问题的函数建模第1页
    2021届高考数学(文)一轮复习学案:函数第10节实际问题的函数建模第2页
    2021届高考数学(文)一轮复习学案:函数第10节实际问题的函数建模第3页
    还剩5页未读, 继续阅读
    下载需要20学贝 1学贝=0.1元
    使用下载券免费下载
    加入资料篮
    立即下载

    2021届高考数学(文)一轮复习学案:函数第10节实际问题的函数建模

    展开

     

    第十节 实际问题的函数建模

    [最新考纲] 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征,结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.

     

    1.常见的几种函数模型

    (1)一次函数模型:ykxb(k≠0)

    (2)反比例函数模型:yb(kb为常数且k≠0).

    (3)二次函数模型:yax2bxc(abc为常数,a≠0).

    (4)指数函数模型:ya·bxc(abc为常数,b>0,b≠1,a≠0).

    (5)对数函数模型:ymlogaxn(mna为常数,a>0,a≠1,m≠0).

    (6)幂函数模型:ya·xnb(a≠0).

    2.三种函数模型之间增长速度的比较

      函数

    性质  

    yax(a>1)

    y=logax(a>1)

    yxn(n>0)

    在(0,+∞)

    上的增减性

    递增

    递增

    递增

    增长速度

    越来越快

    越来越慢

    n而异

    图像的变化

    x的增大逐渐表现为与y平行

    x的增大逐渐表现为与x平行

    n值变化而各有不同

    值的比较

    存在一个x0,当xx0时,有logaxxnax

    3.解函数应用问题的步骤(四步八字)

    (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;

    (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;

    (3)解模:求解数学模型,得出数学结论;

    (4)还原:将数学问题还原为实际问题.

    形如f(x)=x(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型:

    (1)该函数在(-∞,-]和[,+∞)内单调递增,在[-,0)和(0,]上单调递减

    (2)当x>0时,x时取最小值2

    x<0时,x=-时取最大值-2.

     

    一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)

    (1)函数y=2x与函数yx2的图像有且只有两个公共点. (  )

    (2)幂函数增长比直线增长更快.  (  )

    (3)不存在x0,使ax0x<logax0.  (  )

    (4)f(x)=x2g(x)=2xh(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,恒有h(x)<f(x)<g(x).                            (  )

    [答案](1)× (2)× (3)× (4)√

    二、教材改编

    1.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示,则下列说法中错误的是(  )

    (注:结余=收入-支出)

    A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1

    B.结余最高的月份是7月

    C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同

    D.前6个月的平均收入为40万元

    D [由题图可知,收入最高值为90万元,收入最低值为30万元,其比是3∶1,故A正确;由题图可知,7月份的结余最高,为80-20=60(万元),故B正确;由题图可知,1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同,故C正确;由题图可知,前6个月的平均收入为×(40+60+30+30+50+60)=45(万元),故D错误.]

    2.在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据如下表:

    x

    0.50

    0.99

    2.01

    3.98

    y

    -0.99

    0.01

    0.98

    2.00

    则对xy最适合的拟合函数是(  )

    A.y=2x   B.yx2-1

    C.y=2x-2 D.y=log2 x

    D [根据x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除A;根据x=2.01,y=0.98,代入计算,可以排除B,C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意,故选D.]

    3.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)=x2+2x+20(万元).一万件售价为20万元,为获取更大利润,该企业一个月应生产该商品数量为________万件.

    18 [利润L(x)=20xC(x)=-(x-18)2+142,当x=18时,L(x)有最大值.]

    4.用长度为24的材料围一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为________.

    3 [设隔墙的长度为x(0<x<6),矩形面积为y,则yx×=2x(6-x)=-2(x-3)2+18,

    ∴当x=3时,y最大.]

    考点1 用函数图像刻画变化过程

     判断函数图像与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法

    (1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图像.

    (2)验证法:当根据题意不易建立函数模型时,则根据实际问题中两变量的变化特点,结合图像的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案.

     1.(2019·遵义模拟)如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,若P处有一棵树与两墙的距离分别是4 m和a m(0<a<12).不考虑树的粗细,现用16 m长的篱笆,借助墙角围成一个矩形花圃ABCD,设此矩形花圃的最大面积为u,若将这棵树围在矩形花圃内,则函数uf(a)(单位:m2)的图像大致是(  )

    A    B    C    D

    B [设AD的长为x m,则CD的长为(16-x)m,则矩形ABCD的面积为x(16-x)m2.因为要将点P围在矩形ABCD内,所以ax≤12.当0<a≤8时,当且仅当x=8时,u=64;当8<a<12时,ua(16-a).画出函数图像可得其形状与B选项接近,故选B.]

    2.有一个盛水的容器,由悬在它的上空的一条水管均匀地注水,最后把容器注满,在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所示.若图中PQ为一线段,则与之对应的容器的形状是(  )

    A     B    C     D

    B [由函数图像可判断出该容器必定有不同规则的形状,且函数图像的变化先慢后快,所以容器下边粗,上边细.再由PQ为线段,知这一段是均匀变化的,所以容器上端必是直的一段,故排除A,C,D,选B.]

    3.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是(  )

    A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米

    B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多

    C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油

    D.某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油

    D [根据图像知消耗1升汽油,乙车最多行驶里程大于5千米,故选项A错;以相同速度行驶时,甲车燃油效率最高,因此以相同速度行驶相同路程时,甲车消耗汽油最少,故选项B错;甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升,行驶1小时,里程为80千米,消耗8升汽油,故选项C错;最高限速80千米/小时,丙车的燃油效率比乙车高,因此相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油,故选项D对.]

     准确掌握常见函数模型图像的变化趋势是解决此类问题的关键.

    考点2 应用所给函数模型解决实际问题

     求解所给函数模型解决实际问题的三个关注点

    (1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.

    (2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.

    (3)利用该模型求解实际问题.

     小王大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查,生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元,每生产x万件,需另投入流动成本为W(x)万元,在年产量不足8万件时,W(x)=x2x(万元).在年产量不小于8万件时,W(x)=6x-38(万元).每件产品售价为5元.通过市场分析,小王生产的商品能当年全部售完.

    (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式;(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)

    (2)年产量为多少万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是多少?

    [解](1)因为每件商品售价为5元,则x万件商品销售收入为5x万元,

    依题意得,当0<x<8时,

    L(x)=5x-3=-x2+4x-3;

    x≥8时,L(x)=5x-3=35-.

    所以L(x)=

    (2)当0<x<8时,L(x)=-(x-6)2+9.

    此时,当x=6时,

    L(x)取得最大值L(6)=9万元,

    x≥8时,L(x)=35-≤35-2=35-20=15,此时,当且仅当x,即x=10时,L(x)取得最大值15万元.

    因为9<15,所以当年产量为10万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大,最大利润为15万元.

     解决实际问题时,应注意自变量的取值范围,如本例中x∈(0,+∞).

     一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min后剩余的细沙量为yaebt(cm3),经过8 min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过________min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.

    16 [当t=0时,ya,当t=8时,yae-8ba

    ∴e-8b,容器中的沙子只有开始时的八分之一时,即yaeb ta,eb t=(e-8 b)3=e-24b,则t=24,所以再经过16 min.]

    考点3 构建函数模型解决实际问题

     构建函数模型解决实际问题的步骤

     构造二次函数、分段函数模型

     国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在30或30以下,飞机票每张收费900元;若每团人数多于30,则给予优惠:每多1人,机票每张减少10元,直到达到规定人数75为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15 000元.

    (1)写出飞机票的价格关于人数的函数;

    (2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?

    [解](1)设每团人数为x,由题意得0<x≤75(xN*),飞机票价格为y元,

    y

    y

    (2)设旅行社获利S元,

    S

    S

    因为S=900x-15 000在区间(0,30]上为增函数,故当x=30时,S取最大值12 000.

    S=-10(x-60)2+21 000,x∈(30,75],所以当x=60时,S取得最大值21 000.

    故当x=60时,旅行社可获得最大利润.

     解题过程——谨防两种失误

    (1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性等解决,但一定要密切注意函数的定义域,否则极易出错.

    (2)求分段函数的最值时,应先求出每一段上的最值,然后比较大小得解.

     构造yx(a>0)模型

     某养殖场需定期购买饲料,已知该养殖场每天需要饲料200千克,每千克饲料的价格为1.8元,饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元,购买饲料每次支付运费300元.求该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.

    [解] 设该养殖场x(xN*)天购买一次饲料,平均每天支付的总费用为y元.

    因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03=6(元),所以x天饲料的保管费与其他费用共是6(x-1)+6(x-2)+…+6=(3x2-3x)(元).

    从而有y(3x2-3x+300)+200×1.8=+3x+357≥2+357=417,

    当且仅当=3x,即x=10时,y有最小值.故该养殖场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.

     利用模型f(x)=ax求解最值时,要注意自变量的取值范围及取得最值时等号成立的条件.

     构建指数函数、对数函数模型

     (1)世界人口在过去40年翻了一番,则每年人口平均增长率约是(参考数据lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017)(  )

    A.1.5%   B.1.6%

    C.1.7% D.1.8%

    (2)十三届全国人大一次会议《政府工作报告》指出:过去五年来,我国经济实力跃上新台阶.国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元,年均增长7.1%,占世界经济比重从11.4%提高到15%左右,对世界经济增长贡献率超过30%,2018年发展的预期目标是国内生产总值增长6.5%左右.如果从2018年开始,以后每年的国内生产总值都按6.5%的增长率增长,那么2020年的国内生产总值约为(提示:1.0653≈1.208)(  )

    A.93.8万亿元 B.99.9万亿元

    C.97万亿元 D.106.39万亿元

    (1)C (2)B [(1)设每年人口平均增长率为x,则(1+x)40=2,两边取以10为底的对数,则40lg(1+x)=lg 2,所以lg(1+x)=≈0.007 5,所以100.007 5=1+x,得1+x≈1.017,所以x≈1.7%.故选C.

    (2)由题意可知,2020年我国国内年生产总值约为:82.7×(1+6.5%)3≈99.9(万亿元).故选B.]

     (1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题,在求解时,要先学会合理选择模型,指数函数模型(底数大于1)是增长速度越来越快的一类函数模型,与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型.

    (2)在解决指数函数、对数函数模型问题时,一般先需要通过待定系数法确定函数解析式,再借助函数的图像求解最值问题,必要时可借助导数.

     1.某化工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少,至少应过滤________次才能达到市场要求.(已知lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)

    8 

    2.某景区提供自行车出租,该景区有50辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;若超出6元,则每超过1元,租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算,每辆自行车的日租金x(元)只取整数,并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用,用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分).

    (1)求函数yf(x)的解析式;

    (2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时,才能使一日的净收入最多?

    [解](1)当x≤6时,y=50x-115,

    令50x-115>0,解得x>2.3,

    x为整数,∴3≤x≤6,xZ.

    x>6时,y=[50-3(x-6)]x-115=-3x2+68x-115.

    令-3x2+68x-115>0,有3x2-68x+115<0,结合x为整数得6<x≤20,xZ.

    y

    (2)对于y=50x-115(3≤x≤6,xZ),

    显然当x=6时,ymax=185;

    对于y=-3x2+68x-115=-3(6<x≤20,xZ),当x=11时,ymax=270.

    ∵270>185,∴当每辆自行车的日租金定为11元时,才能使一日的净收入最多.

    • 精品推荐
    • 所属专辑

    免费资料下载额度不足,请先充值

    每充值一元即可获得5份免费资料下载额度

    今日免费资料下载份数已用完,请明天再来。

    充值学贝或者加入云校通,全网资料任意下。

    提示

    您所在的“深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载 10 份资料 (今日还可下载 0 份),请取消部分资料后重试或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载10份资料,您的当日额度已用完,请明天再来,或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深圳市第一中学”云校通余额已不足,请提醒校管理员续费或选择从个人账户扣费下载。

    重新选择
    明天再来
    个人账户下载
    下载确认
    您当前为教习网VIP用户,下载已享8.5折优惠
    您当前为云校通用户,下载免费
    下载需要:
    本次下载:免费
    账户余额:0 学贝
    首次下载后60天内可免费重复下载
    立即下载
    即将下载:资料
    资料售价:学贝 账户剩余:学贝
    选择教习网的4大理由
    • 更专业
      地区版本全覆盖, 同步最新教材, 公开课⾸选;1200+名校合作, 5600+⼀线名师供稿
    • 更丰富
      涵盖课件/教案/试卷/素材等各种教学资源;900万+优选资源 ⽇更新5000+
    • 更便捷
      课件/教案/试卷配套, 打包下载;手机/电脑随时随地浏览;⽆⽔印, 下载即可⽤
    • 真低价
      超⾼性价⽐, 让优质资源普惠更多师⽣
    VIP权益介绍
    • 充值学贝下载 本单免费 90%的用户选择
    • 扫码直接下载
    元开通VIP,立享充值加送10%学贝及全站85折下载
    您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送
      充值到账1学贝=0.1元
      0学贝
      本次充值学贝
      0学贝
      VIP充值赠送
      0学贝
      下载消耗
      0学贝
      资料原价
      100学贝
      VIP下载优惠
      0学贝
      0学贝
      下载后剩余学贝永久有效
      0学贝
      • 微信
      • 支付宝
      支付:¥
      元开通VIP,立享充值加送10%学贝及全站85折下载
      您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送
      扫码支付0直接下载
      • 微信
      • 支付宝
      微信扫码支付
      充值学贝下载,立省60% 充值学贝下载,本次下载免费
        下载成功

        Ctrl + Shift + J 查看文件保存位置

        若下载不成功,可重新下载,或查看 资料下载帮助

        本资源来自成套资源

        更多精品资料

        正在打包资料,请稍候…

        预计需要约10秒钟,请勿关闭页面

        服务器繁忙,打包失败

        请联系右侧的在线客服解决

        单次下载文件已超2GB,请分批下载

        请单份下载或分批下载

        支付后60天内可免费重复下载

        我知道了
        正在提交订单
        欢迎来到教习网
        • 900万优选资源,让备课更轻松
        • 600万优选试题,支持自由组卷
        • 高质量可编辑,日均更新2000+
        • 百万教师选择,专业更值得信赖
        微信扫码注册
        qrcode
        二维码已过期
        刷新

        微信扫码,快速注册

        手机号注册
        手机号码

        手机号格式错误

        手机验证码 获取验证码

        手机验证码已经成功发送,5分钟内有效

        设置密码

        6-20个字符,数字、字母或符号

        注册即视为同意教习网「注册协议」「隐私条款」
        QQ注册
        手机号注册
        微信注册

        注册成功

        下载确认

        下载需要:0 张下载券

        账户可用:0 张下载券

        立即下载
        使用学贝下载
        账户可用下载券不足,请取消部分资料或者使用学贝继续下载 学贝支付

        如何免费获得下载券?

        加入教习网教师福利群,群内会不定期免费赠送下载券及各种教学资源, 立即入群

        即将下载

        2021届高考数学(文)一轮复习学案:函数第10节实际问题的函数建模
        该资料来自成套资源,打包下载更省心 该专辑正在参与特惠活动,低至4折起
        [共10份]
        浏览全套
          立即下载(共1份)
          返回
          顶部
          Baidu
          map