2021届高考数学（文）一轮复习学案：三角函数、解三角形第6节正弦定理与余弦定理、三角形中的几何计算

 第六节　正弦定理与余弦定理、三角形中的几何计算[最新考纲]　掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 1．正弦、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容＝＝＝2R.a2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝c2＋a2－2cacos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C.变形(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(3)＝＝2R.cos A＝；cos B＝；cos C＝.2.三角形常用面积公式(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．1．在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.2．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.3．内角和公式的变形(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C. 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比． (　　)(2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B. (　　)(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素． (　　)(4)当b2＋c2－a2＞0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2＜0时，△ABC为钝角三角形．                            (　　)[答案](1)×　(2)√　(3)×　(4)×二、教材改编1．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，B＝，a＝1，则b＝(　　)A．2　　　　B．1　　　　C.　　　　D.D　[由＝得b＝＝＝×2＝.]2．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有(　　)A．无解 B．两解C．一解 D．解的个数不确定B　[∵bsin A＝24sin 45°＝12，∴12＜18＜24，即bsin A＜a＜b.∴此三角形有两解．]3．在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________．等腰三角形或直角三角形　[由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．]4．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．2　[因为＝，所以sin B＝1，所以 B＝90°，所以AB＝2，所以S△ABC＝×2×2＝2.]⊙考点1　利用正、余弦定理解三角形　解三角形的常见题型及求解方法(1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及＝＝，可先求出角C及b，再求出c.(2)已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccos A，先求出a，再求出角B，C.(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.(4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理＝可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，可求出角C，再由＝可求出c，而通过＝求角B时，可能有一解或两解或无解的情况． (1)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝(　　)A．6　　　　　　　　 B．5C．4 D．3(2)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.①求A；②若a＋b＝2c，求sin C.(1)A　[∵asin A－bsin B＝4csin C，∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得cos A＝＝＝＝－，∴＝6.故选A.](2)[解]　①由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cos A＝＝.因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.②由①知B＝120°－C，由题设及正弦定理得sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即＋cos C＋sin C＝2sin C，可得cos(C＋60°)＝－.由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝，故sin C＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°＝.　解三角形问题，关键是利用正、余弦定理实施边和角的转化，三角变换的相关公式如两角和与差的正、余弦公式，二倍角公式等，作为化简变形的重要依据．　1.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin A＋acos B＝0，则B＝________.　[∵bsin A＋acos B＝0，∴＝.由正弦定理，得－cos B＝sin B，∴tan B＝－1.又B∈(0，π)，∴B＝.]2．在△ABC中，AB＝4，AC＝7，BC边上中线AD＝，则BC＝________.9　[设BD＝DC＝x，∠ADC＝α，∠ADB＝π－α，在△ADC中，(7)2＝x2＋－2x×cos α， ①在△ABD中，(4)2＝x2＋－2x×cos(π－α)， ②①＋②得x＝，∴BC＝9.]3．(2019·贵阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，C＝120°.(1)求边长a；(2)求AB边上的高CD的长．[解](1)由题意得b＝a＋2，c＝a＋4，由余弦定理cos C＝得cos 120°＝，即a2－a－6＝0，所以a＝3或a＝－2(舍去)，所以a＝3.(2)法一：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，由三角形的面积公式得absin∠ACB＝c×CD，所以CD＝＝＝，即AB边上的高CD＝.法二：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，由正弦定理得＝＝，即sin A＝，在Rt△ACD中，CD＝ACsin A＝5×＝，即AB边上的高CD＝.[教师备选例题]　(2018·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acos.(1)求角B的大小；(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．[解](1)在△ABC中，由正弦定理＝，可得bsin A＝asin B，又由bsin A＝acos，得asin B＝acos，即sin B＝cos，可得tan B＝.又因为B∈(0，π)，可得B＝.(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，有b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝.由bsin A＝acos，可得sin A＝.因为a＜c，故cos A＝.因此sin 2A＝2sin Acos A＝，cos 2A＝2cos2A－1＝，所以，sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B＝×－×＝.⊙考点2　与三角形面积有关的问题　三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．　(2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin＝bsin A.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．[解](1)由题设及正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A.因为sin A≠0，所以sin＝sin B.由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，故cos＝2sincos.因为cos≠0，故sin＝，所以B＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.由正弦定理得a＝＝＝＋.由于△ABC为锐角三角形，故0°＜A＜90°，0°＜C＜90°.由(1)知A＋C＝120°，所以30°＜C＜90°，故＜a＜2，从而＜S△ABC＜.因此，△ABC面积的取值范围是. (1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值)，一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积，再代入公式求解．(2)若已知三边，可先求一个角的余弦值，再求正弦值，最后代入公式得面积．(3)若求面积的最值，一般表示为一个内角的三角函数，利用三角函数的性质求解，也可结合基本不等式求解．　1.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________．6　[法一：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos ，得c＝2，所以a＝4，所以△ABC的面积S＝acsin B＝×4×2×sin ＝6.法二：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos ，得c＝2，所以a＝4，所以a2＝b2＋c2，所以A＝，所以△ABC的面积S＝×2×6＝6.]2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B.(1)证明：A＝2B；(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．[解](1)证明：由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B，故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，于是sin B＝sin(A－B)．又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.(2)由S＝，得absin C＝，故有sin Bsin C＝sin A＝sin 2B＝sin Bcos B，由sin B≠0，得sin C＝cos B.又B，C∈(0，π)．所以C＝±B.当B＋C＝时，A＝；当C－B＝时，A＝.综上，A＝或A＝.[教师备选例题]　已知△ABC的面积为3，AC＝2，BC＝6，延长BC至D，使∠ADC＝45°.(1)求AB的长；(2)求△ACD的面积．[解](1)因为S△ABC＝×6×2×sin∠ACB＝3，所以sin∠ACB＝，∠ACB＝30°或150°，又∠ACB＞∠ADC，且∠ADC＝45°，所以∠ACB＝150°，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝12＋36－2×2×6cos 150°＝84，所以AB＝＝2.(2)在△ACD中，因为∠ACB＝150°，∠ADC＝45°，所以∠CAD＝105°，由正弦定理得＝，所以CD＝3＋，又∠ACD＝180°－150°＝30°，所以S△ACD＝AC·CD·sin∠ACD＝×2×(3＋)×＝.⊙考点3　判断三角形的形状　判断三角形形状的两种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．　设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不确定B　[由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sin A＞0，∴sin A＝1，即A＝，∴△ABC为直角三角形．]　在判断三角形的形状时，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应提取公因式，以免漏解．　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状是(　　)A．直角三角形B．等腰非等边三角形C．等边三角形D．钝角三角形C　[因为＝，所以＝.所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝＝.因为A∈(0，π)，所以A＝.所以△ABC是等边三角形．]