2021高三统考北师大版数学一轮学案：第4章第2讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式

第2讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式

基础知识整合

1．同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

(2)商数关系：tanα＝.

2．六组诱导公式

同角三角函数基本关系式的常用变形

(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；

(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2；

(sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝4sinαcosα；

sinα＝tanαcosα；

sin2α＝＝；

cos2α＝＝.

1．(2019·成都一诊)cos(－1560°)的值为(　　)

A．－   B．－ 

C.   D．

答案　B

解析　cos(－1560°)＝cos(－5×360°＋240°)＝cos240°＝cos(180°＋60°)＝－cos60°＝－.

2．(2019·陕西咸阳模拟)若cosα＝，α∈，则tanα等于(　　)

A．－   B． 

C．－2   D．2

答案　C

解析　由已知得sinα＝－＝－＝－，所以tanα＝＝－2，选C.

3．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|＜，则θ等于(　　)

A．－   B．－ 

C.   D．

答案　D

解析　∵sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，∴－sinθ＝－cosθ，∴tanθ＝.∵|θ|＜，∴θ＝.

4．若tan(5π＋α)＝m，则的值为(　　)

A.   B． 

C．－1   D．1

答案　A

解析　∵tan(5π＋α)＝m，∴tanα＝m.原式＝

＝＝＝.故选A.

5．(2020·杭州学军中学模拟)已知cos31°＝a，则sin239°·tan149°的值为(　　)

A.   B．

C.   D．－

答案　B

解析　sin239°·tan149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝－cos31°·(－tan31°)＝sin31°＝.

6．已知α是第二象限的角，tanα＝－，则cosα＝________.

答案　－

解析　因为α是第二象限的角，

所以sinα>0，cosα<0，由tanα＝－，

得sinα＝－cosα，代入sin2α＋cos2α＝1中，

得cos2α＝1，所以cosα＝－.

核心考向突破

考向一　诱导公式的应用　

例1　(1)计算：sin(－1200°)cos1290°＝________.

答案　

解析　原式＝－sin1200°cos1290°

＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)

＝－sin120°cos210°

＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)

＝sin60°cos30°＝×＝.

(2)化简：＝________.

答案　－1

解析　原式＝

＝＝

＝－＝－·＝－1.

(3)已知cos(75°＋α)＝，α是第三象限角，则sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值为________．

答案　－

解析　因为cos(75°＋α)＝>0，α是第三象限角，

所以75°＋α是第四象限角，

sin(75°＋α)＝－＝－.

所以sin(195°－α)＋cos(α－15°)

＝sin[180°＋(15°－α)]＋cos(15°－α)

＝－sin(15°－α)＋cos(15°－α)

＝－sin[90°－(75°＋α)]＋cos[90°－(75°＋α)]

＝－cos(75°＋α)＋sin(75°＋α)

＝－－＝－.

1．诱导公式的两个应用方向与原则

(1)求值，化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了．

(2)化简，化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了．

2．含2π整数倍的诱导公式的应用

由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.

[即时训练]　1.计算：sin＋cos＝(　　)

A．－1   B．1 

C．0   D．－

答案　A

解析　原式＝sin＋cos＝－sin＋cos＝－－cos＝－－＝－1.

2．(2020·江西宜春中学诊断)若α为锐角，且cos＝，则cos的值为(　　)

A.   B． 

C.   D．

答案　A

解析　∵0<α<，∴<α＋<，

∴sin＝＝，

∴cos＝cos

＝sin＝.故选A.

3．化简：.

解　原式＝

＝＝＝.

精准设计考向，多角度探究突破

考向二　同角三角函数的基本关系

角度1　　切弦互化

例2　(1)已知tan(α－π)＝，且α∈，则sin＝(　　)

A.   B．－ 

C.   D．－

答案　B

解析　由tan(α－π)＝，得tanα＝.又因为α∈，所以α为第三象限的角，cosα＝－，所以sin＝cosα＝－.

(2)已知2tanα·sinα＝3，－＜α＜0，则sinα的值为(　　)

A.   B．－ 

C.   D．－

答案　B

解析　因为2tanα·sinα＝3，所以＝3，所以2sin2α＝3cosα，即2－2cos2α＝3cosα，所以cosα＝或cosα＝－2(舍去)，又因为－＜α＜0，所以sinα＝－.故选B.

同角三角函数的基本关系式的功能是根据角的一个三角函数值求其他三角函数值，主要利用商数关系tanα＝和平方关系1＝sin2α＋cos2α.

[即时训练]　4.(2019·梅州模拟)已知α为锐角，且tan(π－α)＋3＝0，则sinα等于(　　)

A.   B． 

C.   D．

答案　B

解析　因为tan(π－α)＋3＝0，所以tanα＝3，sinα＝3cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝.又因为α为锐角，故sinα＝.故选B.

5．(2019·山东枣庄调研)已知α是第二象限角，cos＝，则tanα＝________.

答案　－

解析　∵cos＝，∴sinα＝，又α为第二象限角，∴cosα＝－＝－，∴tanα＝＝－.

角度2　　“1”的变换

例3　(2019·沧州七校联考)已知＝5，则sin2α－sinαcosα的值是(　　)

A.   B．－ 

C．－2   D．2

答案　A

解析　由＝5，得＝5，

即tanα＝2.所以sin2α－sinαcosα＝＝＝.

对于含有sin2x，cos2x，sinxcosx的三角函数求值题，一般可以考虑添加分母1，再将1用“sin2x＋cos2x”代替，然后用分子分母同除以角的余弦的平方的方式将其转化为关于tanα的式子，从而求解．

[即时训练]　6.(2019·佛山模拟)已知tanα＝2，则

(1)＝________；

(2)sin2α＋cos2α＝________.

答案　(1)　(2)

解析　因为tanα＝2，所以，

(1)原式＝＝＝.

(2)原式＝·＋·

＝·＋·

＝×＋×＝.

角度3　　sinx＋cosx，sinx－cosx，sinxcosx之间

的关系

例4　(1)已知sinαcosα＝，且＜α＜，则cosα－sinα的值为(　　)

A．－   B． 

C．－   D．

答案　B

解析　∵＜α＜，∴cosα＜0，sinα＜0且|cosα|＜|sinα|，∴cosα－sinα＞0.

又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，

∴cosα－sinα＝.

(2)(2019·江苏模拟)已知θ是第三象限角，且sinθ－2cosθ＝－，则sinθ＋cosθ＝________.

答案　－

解析　由平方关系得2＋cos2θ＝1，且cosθ<0，解得cosθ＝－，从而sinθ＝－，故sinθ＋cosθ＝－.

(1)已知asinx＋bcosx＝c可与sin2x＋cos2x＝1联立，求得sinx，cosx.

(2)sinx＋cosx，sinx－cosx，sinxcosx之间的关系为

(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx，

(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx，

(sinx＋cosx)2＋(sinx－cosx)2＝2.

因此，已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值．

[即时训练]　7.(2019·济南模拟)若＋＝，则sinαcosα＝(　　)

A．－   B．

C．－或1   D．或－1

答案　A

解析　由＋＝，可得sinα＋cosα＝sinαcosα，两边平方，得1＋2sinαcosα＝3sin2αcos2α，解得sinαcosα＝－或sinαcosα＝1.

由题意，知－1<sinα<1，－1<cosα<1，且sinα≠0，cosα≠0，所以sinαcosα≠1.故选A.

8．(2019·淮南模拟)已知sinα＋cosα＝，α∈(0，π)，则＝(　　)

A．－   B． 

C.   D．－

答案　A

解析　因为(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝，

所以sinαcosα＝－，又α∈(0，π)，

所以sinα>0，cosα<0.

因为(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝，

所以cosα－sinα＝－.

所以＝＝＝－.故选A.

1．(2019·深圳模拟)已知△ABC为锐角三角形，且A为最小角，则点P(sinA－cosB,3cosA－1)位于(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

答案　A

解析　因为A为△ABC的最小角，所以A<，所以<cosA<1，所以3cosA－1>>0.因为△ABC为锐角三角形，所以A＋B>，即A>－B，所以sinA>sin＝cosB，即sinA－cosB>0，所以点P位于第一象限．故选A.

2．在△ABC中，cos2＋cos2的值为________．

答案　1

解析　∵在△ABC中，A＋B＝π－C，∴＝－，∴cos＝cos＝sin，∴cos2＋cos2＝1.

答题启示

诱导公式在三角形中经常使用，常用的角的变形有：A＋B＝π－C,2A＋2B＝2π－2C，＋＋＝等，于是可得sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，sin＝cos，cos＝sin等．

对点训练

1．已知△ABC是锐角三角形，则点P(cosC－sinA，sinA－cosB)在(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

答案　B

解析　∵在锐角△ABC中，A＋C>，∴C>－A，∴cosC<cos＝sinA，∴cosC－sinA<0，同理可得sinA－cosB>0，∴点P在第二象限，选B.

2．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cosA＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．

解　由题中条件，可知sinA＝sinB，cosA＝cosB，

两式平方并相加，得

sin2A＋3cos2A＝2sin2B＋2cos2B，

整理，得cos2A＝，即cosA＝±.

若cosA＝，则cosB＝，

即A＝45°，B＝30°，C＝105°；

若cosA＝－，则cosB＝－，

即A，B两角均为钝角，不符合三角形内角和是180°的公理．

所以△ABC的三个内角分别为A＝45°，B＝30°，C＝105°.