2021高三统考北师大版数学一轮学案：第5章第3讲　平面向量的数量积及应用


第3讲　平面向量的数量积及应用
基础知识整合


1．向量的夹角
定义
图示
范围
共线与垂直
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是a与b的夹角

设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是0°≤θ≤180°
θ＝0°或θ＝180°⇔a∥b，θ＝90°⇔a⊥b

2．平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影
几何
意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积


3．向量数量积的运算律
交换律
a·b＝b·a
分配律
(a＋b)·ca·c＋b·c
数乘结合律
(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)

4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cosθ＝
cosθ＝

a⊥b的
充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与
|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤



1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．
2．数量积不满足结合律，即(a ·b)·c≠a·(b·c)．
3．当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝a2或|a|＝.
4．有关向量夹角的两个结论：
(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为a与b夹角为0时也有a·b>0)．
(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为a与b夹角为π时也有a·b<0)．

1．(2019·重庆模拟)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝(　　)
A．－ B．0
C．3 D.
答案　C
解析　因为2a－3b＝(2k－3，－6)，(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3.选C.
2．(2019·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|＝(　　)
A. B．2
C．5 D．50
答案　A
解析　∵a－b＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)，∴|a－b|＝＝.故选A.
3．(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　设a与b的夹角为θ，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，即a·b－|b|2＝0.又a·b＝|a||b|cosθ，|a|＝2|b|，∴2|b|2cosθ－|b|2＝0，∴cosθ＝.又0≤θ≤π，∴θ＝.故选B.

4．(2019·泉州质检)已知正六边形ABCDEF的边长为1，则·(＋)的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
答案　D
解析　由图知，与的夹角为120°.∴·(＋)＝·＋·＝cos120°－12＝－.
5．(2019·北京高考)已知向量a＝(－4,3)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m＝________.
答案　8
解析　∵a⊥b，∴a·b＝0.又a＝(－4,3)，b＝(6，m)，∴－4×6＋3m＝0，解得m＝8.
6．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________，·的最大值为________．
答案　1　1
解析　·＝(＋)·＝(＋)·＝||2＋·.因为⊥，所以·＝0.所以·＝12＋0＝1.
设AE＝λAB(0≤λ≤1)，则·＝(＋)·＝·＋·＝λ||2(0≤λ≤1)，
所以·的最大值为1.

核心考向突破

考向一　平面向量数量积的运算
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例1　(1)(2019·绍兴模拟)已知向量a，b满足|a|＝，(a＋2b)⊥a，则向量b在向量a方向上的投影为(　　)
A．－ B.
C. D．－
答案　A
解析　∵(a＋2b)⊥a，∴(a＋2b)·a＝2＋2|a||b|·cos〈a，b〉＝0，∴|a||b|cos〈a，b〉＝－1，即|b|cos〈a，b〉＝－1，∴向量b在向量a方向上的投影为|b|cos〈a，b〉＝－，故选A.
(2)(2019·天津高考)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________.
答案　－1
解析　∵AD∥BC，且∠DAB＝30°，
∴∠ABE＝30°.
又AE＝BE，∴∠EAB＝30°.
∴∠E＝120°.
∴在△AEB中，AE＝BE＝2.
∴·＝(＋)·(＋)
＝－2＋·＋·＋·
＝－12＋2×2×cos30°＋5×2×cos30°＋5×2×cos180°
＝－12＋6＋15－10＝－1.


求向量a，b的数量积a·b的三种方法
(1)若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算．
(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a，b，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解．
(3)若图形适合建立平面直角坐标系，则建立坐标系，求出a，b的坐标，通过坐标运算求解．



[即时训练]　1.(2019·湖北荆门模拟)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为(　　)
A. B.
C．－ D．－
答案　A
解析　＝(2,1)，＝(5,5)，由定义知在方向上的投影为＝＝.
2．(2020·江西白鹭中学调研)已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点P是斜边AB上的中点，则·＋·＝________.
答案　4

解析　由题意可建立如图所示的平面直角坐标系，可得A(2,0)，B(0，2)，P(1，1)，C(0,0)，则·＋·＝(1,1)·(0,2)＋(1，1)·(2,0)＝2＋2＝4.

准设计考向，多角度探究突破
考向二　平面向量数量积的性质

角度1　　平面向量的垂直
例2　(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，
a＋b＝(3，－1)，由(c＋a)∥b，得
－3(1＋m)＝2(2＋n)，①
由c⊥(a＋b)，得3m－n＝0，②
联立①②，解得故选D.
(2)(2019·沈阳东北育才学校模拟)已知与的夹角为150°，||＝||＝，＝λ＋μ，且⊥，则的值为________．
答案　
解析　由⊥，得·＝0，即(λ＋μ)·(－)＝(λ－μ)·－λ2＋μ2＝(λ－μ)××1×－λ×()2＋μ×12＝μ－λ＝0，因而＝.
角度2　　平面向量的模　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　(1)(2019·济南模拟)设向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a·(a－b)＝0，则|2a＋b|＝(　　)
A．2 B．2
C．4 D．4
答案　B
解析　∵a·(a－b)＝0，|a|＝1，∴a2＝a·b＝1，又|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝3，∴b2＝4，∴|2a＋b|＝＝＝2.故选B.
(2)(2020·湖南雅礼中学模拟)在矩形ABCD中，||＝4，||＝2，则|＋＋|＝(　　)
A. B．3
C．4 D．2
答案　C
解析　由向量加法的平行四边形法则可知＋＝，则原式＝2||＝2＝4.
角度3　　平面向量的夹角　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例4　(1)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(　　)
A. B.
C. D．π
答案　A
解析　由条件，得(a－b)·(3a＋2b)＝3a2－2b2－a·b＝0，即a·b＝3a2－2b2.
又因为|a|＝|b|，
所以a·b＝3×2－2b2＝b2，
所以cos〈a，b〉＝＝＝，
所以〈a，b〉＝.故选A.
(2)(2019·全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝________.
答案　
解析　由题意，得cos〈a，c〉＝
＝＝＝.


平面向量数量积求解问题的策略

(1)求两向量的夹角：cosθ＝，要注意θ∈[0，π]．
(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.
(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：
①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝；
②|a±b|＝＝；
③若a＝(x，y)，则|a|＝.



[即时训练]　3.(2019·济宁模拟)平面四边形ABCD中，＋＝0，(－)·＝0，则四边形ABCD是(　　)
A．矩形 B．正方形
C．菱形 D．梯形
答案　C
解析　因为＋＝0，所以＝－＝，所以四边形ABCD是平行四边形．又(－)·＝·＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形．故选C.
4．(2019·江西六校联考)设向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝3，则|a＋2b|＝________.
答案　4
解析　由|a＋b|＝3知|a|2＋|b|2＋2a·b＝9，
又|a|＝2，|b|＝3，∴2a·b＝－4，
∴|a＋2b|＝＝4.
5．(2019·安徽“江淮十校”联考)若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b的夹角余弦值为________．
答案　－
解析　∵|a|＝|a＋2b|，
∴|a|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2，
∴a·b＝－|b|2，
∴cosθ＝＝＝－.
考向三　向量运算的最值或范围问题
例5　(1)(2019·四川双流中学模拟)已知平面向量，满足||＝||＝1，·＝－，若||＝1，则||的最大值为(　　)
A.－1 B.－1
C.＋1 D.＋1
答案　D
解析　因为||＝||＝1，·＝－，所以cos∠APB＝－，即∠APB＝，由余弦定理可得AB＝，如图，建立平面直角坐标系，则A，B，由题意知点C(x，y)在以B为圆心，1为半径的圆上运动，结合图形可知，当点C(x，y)运动到点D时，||取最大值，即||max＝||＝||＋1＝＋1，故选D.
(2)在平行四边形ABCD中，∠A＝，边AB，AD的长分别为2,1，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是________．
答案　[2,5]
解析　如图，在平行四边形ABCD中，设＝＝λ(0≤λ≤1)，
则＝λ＝λ，
＝(1－λ)＝(1－λ)，
则·＝(＋)·(＋)
＝(＋λ)·[＋(1－λ)]
＝·＋(1－λ)2＋λ2＋λ(1－λ)·.
又·＝2×1×cos＝1，2＝4，2＝1，
∴·＝－λ2－2λ＋5＝－(λ＋1)2＋6.
∵0≤λ≤1，∴2≤·≤5，
即·的取值范围是[2,5]．


与向量相关的最值或范围问题
求最值或取值范围必须有函数或不等式，因此，对于题目中给出的条件，要结合要求的夹角或长度或其他量，得出相应的不等式或函数(包括自变量的范围)，然后利用相关知识求出最值或取值范围．



[即时训练]　6.(2019·湖南师大附中模拟)已知a，b为单位向量，且a⊥b，向量c满足|c－a－b|＝2，则|c|的取值范围为(　　)
A．[1,1＋] B．[2－，2＋]
C．[，2] D．[3－2，3＋2]
答案　B
解析　设O＝a＋b，O＝c，则A＝O－O＝c－(a＋b)，由|a|＝|b|＝1，a⊥b，得|O|＝|a＋b|＝，又|A|＝|c－a－b|＝2，所以点B在以A为圆心，2为半径的圆上运动，故2－≤|c|≤2＋，故选B.
7．(2019·浙江高考)已知正方形ABCD的边长为1，当每个λi(i＝1,2,3,4,5,6)取遍±1时，|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|的最小值是_______，最大值是_______．
答案　0　2
解析　如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则
＝(1,0)，＝(0,1)．
设a＝λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6
＝λ1＋λ2－λ3－λ4＋λ5(＋)＋λ6(－)
＝(λ1－λ3＋λ5－λ6)＋(λ2－λ4＋λ5＋λ6)
＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)．
故|a|＝　.
∵λi(i＝1,2,3,4,5,6)取遍±1，
∴当λ1－λ3＋λ5－λ6＝0，λ2－λ4＋λ5＋λ6＝0时，
|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|取得最小值0.
考虑到λ5－λ6，λ5＋λ6有相关性，要确保所求模最大，只需使|λ1－λ3＋λ5－λ6|，|λ2－λ4＋λ5＋λ6|尽可能取到最大值，即当λ1－λ3＋λ5－λ6＝2，λ2－λ4＋λ5＋λ6＝4或λ1－λ3＋λ5－λ6＝4，λ2－λ4＋λ5＋λ6＝2时可取到最大值，∴|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|的最大值为＝2.

(2018·天津高考)在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，＝2，＝2，则·的值为(　　)
A．－15 B．－9
C．－6 D．0
答案　C
解析　解法一：(基向量法)如图所示，连接MN，由＝2，＝2可知点M，N分别为线段AB，AC上靠近点A的三等分点，则＝3＝3(－)，由题意可知，2＝12＝1，·＝1×2×cos120°＝－1，结合数量积的运算律可得，·＝3(－)·＝3·－32＝－3－3＝－6.故选C.

解法二：(坐标法)在△ABC中，不妨设∠A＝90°，取特殊情况ON⊥AC，以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，因为∠MON＝120°，ON＝2，OM＝1，所以O，C，M，B.故·＝·＝－－＝－6.故选C.
答题启示
向量与平面几何综合问题的解法
(1)基向量法
适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．
(2)坐标法
若把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

对点训练
(2019·石家庄模拟)在平行四边形ABCD中，||＝12，||＝8.若点M，N满足＝3，＝2，则·＝(　　)
A．20 B．15
C．36 D．6
答案　C
解析　解法一：由＝3，＝2知，点M是BC的一个四等分点，且BM＝BC，点N是DC的一个三等分点，且DN＝DC，所以＝＋，＝＋＝＋，所以＝－＝＋－＝－，所以·＝·＝·＝＝×＝36.故选C.

解法二：不妨设∠DAB为直角，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．则M(12,6)，N(8,8)，所以＝(12,6)，＝(4，－2)，所以·＝12×4＋6×(－2)＝36.故选C.