2021高三统考北师大版数学一轮学案：第9章第4讲　直线与圆、圆与圆的位置关系


第4讲　直线与圆、圆与圆的位置关系
基础知识整合

1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)

相离
相切
相交
图形



量化
方程观点
Δ0
几何观点
d>r
d＝r
d r1＋r2

d＝r1＋r2

|r1－r2|< d0)，∴曲线表示圆心为(3,0)，半径为3的上半圆(不包括圆与x轴的交点)，它与直线y＝k(x＋2)有公共点的充要条件是圆心(3,0)到直线y＝k(x＋2)的距离d≤3，且k>0，∴≤3，且k>0，解得01，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＝2，所以c2>a2＋b2，在△ABC中，cosC＝4，
∴点M在圆C外部，
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.
又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，
即此时满足题意，所以直线x－3＝0是圆的切线．
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，
则圆心C到切线的距离为d＝＝r＝2，解得k＝.
∴切线方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.
综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.
∵|MC|＝＝，
∴过点M的圆C的切线长为＝＝1.

圆的切线方程的求法
(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.
(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.

[即时训练]　3.(2019·安徽江南十校第二次联考)已知两个定点A(－1,0)，B(2,0)，动点P(x，y)到点A的距离是它到点B距离的2倍．
(1)求P点的轨迹E；
(2)若过点C(1,1)作轨迹E的切线，求此切线的方程．
解　(1)设动点P(x，y)，则|PA|＝2|PB|，坐标代入得 ＝2，
化简得(x－3)2＋y2＝4，所以动点P的轨迹E是以(3,0)为圆心，以2为半径的圆．
(2)当切线斜率存在时，设l：y－1＝k(x－1)是圆E的切线，则有＝2⇒k＝；当切线斜率不存在时，l：x＝1恰好与圆E切于点(1,0)．
综上，得切线方程为x＝1或3x－4y＋1＝0.
角度2　圆的弦长问题
例3　(1)过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为(　　)
A．5x＋12y＋20＝0
B．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0
C．5x－12y＋20＝0
D．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0
答案　B
解析　圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝25，由|AB|＝8知，圆心(－1,2)到直线l的距离d＝3.当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝－4时，符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0.则有＝3，∴k＝－.此时直线l的方程为5x＋12y＋20＝0.综上，直线l的方程为5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0.
(2)已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2，则|CD|＝________.
答案　4
解析　由题意可知直线l过定点(－3，)，该定点在圆x2＋y2＝12上，不妨设点A(－3，)，由于|AB|＝2，r＝2，所以圆心到直线AB的距离为d＝＝3，又由点到直线的距离公式可得d＝＝3，解得m＝－，所以直线l的斜率k＝－m＝，即直线l的倾斜角为30°.如图，过点C作CH⊥BD，垂足为H，所以|CH|＝2，在Rt△CHD中，∠HCD＝30°，所以|CD|＝＝4.


求直线被圆截得的弦长的常用方法
(1)几何法：直线被圆截得的半弦长、弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，且r2＝2＋d2.
(2)代数法：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|＝|x1－x2|＝·
或|AB|＝|y1－y2|
＝·(k≠0)．

[即时训练]　4.(2019·天津南开中学模拟)若3a2＋3b2－4c2＝0，则直线ax＋by＋c＝0被圆O：x2＋y2＝1所截得的弦长为(　　)
A． B．1
C． D．
答案　B
解析　因为a2＋b2＝c2，所以圆心O(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝＝