2021高三统考北师大版数学一轮学案：第9章第6讲　双曲线


第6讲　双曲线
基础知识整合

1．双曲线的概念
平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：
(1)当a (2)当a＝c时，M点的轨迹是两条射线；
(3)当a>c时，M点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形


性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴　　对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)

1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.
4．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝，其中θ为∠F1PF2.
5．若P是双曲线－＝1(a>0，b>0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标为定值a.
6．等轴双曲线
(1)定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．
(2)性质：①a＝b；②e＝；③渐近线互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．

1．(2019·浙江高考)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是(　　)
A． B．1
C． D．2
答案　C
解析　由题意可得＝1，∴e＝　＝＝.故选C．
2．(2019·北京高考)已知双曲线－y2＝1(a>0)的离心率是，则a＝(　　)
A． B．4
C．2 D．
答案　D
解析　由双曲线方程－y2＝1，得b2＝1，
∴c2＝a2＋1.∴5＝e2＝＝＝1＋.
结合a>0，解得a＝.故选D．
3．(2019·宁夏模拟)设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于(　　)
A．1 B．17
C．1或17 D．以上均不对
答案　B
解析　根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8⇒|PF2|＝1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17，故选B．
4．(2019·湖北荆州模拟)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
答案　D
解析　由已知可得双曲线的渐近线方程为y＝±x，点(3，－4)在渐近线上，∴＝，又a2＋b2＝c2，∴c2＝a2＋a2＝a2，∴e＝＝.故选D．
5．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是________.
答案　y＝±x
解析　因为双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3,4)，所以9－＝1(b>0)，解得b＝，即双曲线方程为x2－＝1，其渐近线方程为y＝±x.
6．已知曲线方程－＝1，若方程表示双曲线，则λ的取值范围是________．
答案　λ<－2或λ>－1
解析　∵方程－＝1表示双曲线，
∴(λ＋2)(λ＋1)>0，解得λ<－2或λ>－1.
核心考向突破
考向一　双曲线的定义
例1　(1)(2019·山西太原模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0)的一条渐近线方程为2x＋3y＝0，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|＝2，则|PF2|＝(　　)
A．4 B．6
C．8 D．10
答案　C
解析　由题意得＝，解得a＝3.因为|PF1|＝2，所以点P在双曲线的左支上．所以|PF2|－|PF1|＝2a，解得|PF2|＝8.故选C．
(2)(2019·河南濮阳模拟)已知双曲线x2－y2＝4，F1是左焦点，P1，P2是右支上的两个动点，则|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|的最小值是(　　)
A．4 B．6
C．8 D．16
答案　C
解析　设双曲线的右焦点为F2，∵|F1P1|＝2a＋|F2P1|，|F1P2|＝2a＋|F2P2|，∴|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|＝2a＋|F2P1|＋2a＋|F2P2|－|P1P2|＝8＋(|F2P1|＋|F2P2|－|P1P2|)≥8(当且仅当P1，P2，F2三点共线时，取等号)，∴|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|的最小值是8.故选C．

(1)①抓住“焦点三角形PF1F2”中的数量关系是求解本题的关键；②利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支．
(2)利用双曲线定义求方程，要注意三点：①距离之差的绝对值；②2a<|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．

[即时训练]　1.已知动点M(x，y)满足－＝4，则动点M的轨迹是(　　)
A．射线 B．直线
C．椭圆 D．双曲线的一支
答案　A
解析　设F1(－2,0)，F2(2,0)，由题意知动点M满足|MF1|－|MF2|＝4＝|F1F2|，故动点M的轨迹是射线，故选A．
2．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________.
答案　9
解析　设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，可知|PF|＝4＋|PF1|，所以当|PF1|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图象，可知当点A，P，F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，|AF1|即|PF1|＋|PA|的最小值．又|AF1|＝5，故所求的最小值为9.
考向二　双曲线的标准方程
例2　(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C．x2－＝1(x≥1) D．x2－＝1(x≤－1)
答案　D
解析　如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于|C1C2|.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离大，到C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．

(2)(2020·河北石家庄毕业班摸底)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程是(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C．x2－＝1 D.－＝1
答案　C
解析　因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以可设双曲线的方程为x2－＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入其中，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x2－＝1，故选C.

求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程．
(2)待定系数法：先确定焦点是在x轴还是在y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．
注意：①双曲线与椭圆标准方程均可设为mx2＋ny2＝1(mn≠0)，其中m>0且n>0，且m≠n时表示椭圆；mn<0时表示双曲线，合理使用这种形式可避免讨论．
②常见双曲线设法：
(ⅰ)已知a＝b的双曲线，可设为x2－y2＝λ(λ≠0)；
(ⅱ)已知过两点的双曲线，可设为Ax2－By2＝1(AB>0)；
(ⅲ)已知渐近线为±＝0的双曲线，可设为－＝λ(λ≠0)．
③双曲线的焦点位置仅靠渐近线是确定不了的，必须结合其他已知条件综合判断．
④判断清楚所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．

[即时训练]　3.(2018·天津高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
答案　C
解析　∵双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，
∴e2＝1＋＝4，∴＝3，即b2＝3a2，
∴c2＝a2＋b2＝4a2，
由题意可设A(2a,3a)，B(2a，－3a)，
∵＝3，∴渐近线方程为y＝±x，
则点A与点B到直线x－y＝0的距离分别为d1＝＝a，d2＝＝a，又d1＋d2＝6，∴a＋a＝6，解得a＝，∴b2＝9.∴双曲线的方程为－＝1，故选C．
4．已知圆C：(x－3)2＋y2＝4，定点A(－3,0)，则过定点A且和圆C外切的动圆圆心M的轨迹方程为__________.
答案　x2－＝1(x≤－1)
解析　设动圆M的半径为R，则|MC|＝2＋R，|MA|＝R，所以|MC|－|MA|＝2，由双曲线的定义知，M点的轨迹是以A，C为焦点的双曲线的左支，且a＝1，c＝3，所以b2＝8，则动圆圆心M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
精准设计考向，多角度探究突破
考向三　双曲线的几何性质
角度1　双曲线离心率问题
例3　(1)(2019·全国卷Ⅲ)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　)
A． B．
C．2 D．
答案　A
解析　令双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c,0)，则c＝.
如图所示，由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝，由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2，得2＋2＝a2，∴＝，即离心率e＝.故选A．

(2)若斜率为的直线与双曲线－＝1恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是(　　)
A．(1,2) B．(2，＋∞)
C．(1，) D．(，＋∞)
答案　D
解析　因为斜率为的直线与双曲线－＝1恒有两个公共点，所以>，则e＝＝>＝，所以双曲线离心率的取值范围是(，＋∞)，故选D．

求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用b2＝c2－a2和e＝转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．

[即时训练]　5.双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2⊥x轴，则双曲线的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
答案　B
解析　如图所示，在Rt△MF1F2中，∠MF1F2＝30°，|F1F2|＝2c，∴|MF1|＝＝c，|MF2|＝2c·tan30°＝c，

∴2a＝|MF1|－|MF2|＝c－c＝c⇒e＝＝.
6．已知点F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是(　　)
A．(1，) B．(，2)
C．(1＋，＋∞) D．(1,1＋)
答案　D
解析　依题意，0<∠AF2F1<，故0 角度2　双曲线的渐近线问题
例4　(1)(2020·贵州综合测试一)若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1相切，则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±3x D．y＝±x
答案　B
解析　由题可知双曲线C的渐近线方程为y＝±x，圆心为(2,0)，半径为1，易知圆心到渐近线的距离d＝＝1，故4b2＝a2＋b2，即3b2＝a2，则＝，故双曲线C的渐近线方程为y＝±x，选B．
(2)(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为(　　)
A．2sin40° B．2cos40°
C． D．
答案　D
解析　由题意可得－＝tan130°，所以e＝ ＝＝ ＝＝.故选D．

(1)渐近线的求法：求双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令－＝0，即得两渐近线方程±＝0.
(2)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±满足关系式e2＝1＋k2.

[即时训练]　7.(2018·全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
答案　A
解析　∵e＝＝，∴＝＝e2－1＝3－1＝2，∴＝.因为该双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选A．
8．(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为(　　)
A． B．
C．2 D．3
答案　A
解析　双曲线－＝1的右焦点坐标为(，0)，一条渐近线的方程为y＝x，不妨设点P在第一象限，由于|PO|＝|PF|，则点P的横坐标为，纵坐标为×＝，即△PFO的底边长为，高为，所以它的面积为××＝.故选A．
考向四　直线与双曲线的位置关系
例5　已知双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)经过点P(2,1)，且其中一焦点F到一条渐近线的距离为1.
(1)求双曲线Γ的方程；
(2)过点P作两条相互垂直的直线PA，PB分别交双曲线Γ于A，B两点，求点P到直线AB距离的最大值．
解　(1)∵双曲线－＝1过点(2,1)，∴－＝1.
不妨设F为右焦点，则F(c,0)到渐近线bx－ay＝0的距离d＝＝b，∴b＝1，a2＝2，
∴所求双曲线的方程为－y2＝1.
(2)当直线AB的斜率不存在时，设A(x0，y0)(y0>0)，则B(x0，－y0)，＝(x0－2，y0－1)，＝(x0－2，－y0－1)，∵·＝0，∴(x0－2)2－(y0－1)(y0＋1)＝0，由得
或(舍去)，即A(6，)，B(6，－)，此时点P到AB的距离为6－2＝4.
当直线AB的斜率存在时，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋m.将y＝kx＋m代入x2－2y2＝2中，
整理得(2k2－1)x2＋4kmx＋2m2＋2＝0.
∴x1＋x2＝，①
x1x2＝.②
∵·＝0，
∴(x1－2，y1－1)·(x2－2，y2－1)＝0，
∴(x1－2)(x2－2)＋(kx1＋m－1)(kx2＋m－1)＝0，
∴(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋m2－2m＋5＝0.③
将①②代入③，得m2＋8km＋12k2＋2m－3＝0，
∴(m＋2k－1)(m＋6k＋3)＝0.
而P∉AB，∴m＝－6k－3，
从而直线AB的方程为y＝kx－6k－3.
将y＝kx－6k－3代入x2－2y2－2＝0中，得(1－2k2)x2＋(24k2＋12k)x－72k2－72k－20＝0，
判别式Δ＝16(17k2＋18k＋5)>0恒成立，
∴y＝kx－6k－3即为所求直线．
∴P到AB的距离d＝＝.
∵2＝＝1＋≤2.
∴d≤4，即此时点P到直线AB距离的最大值为4.
∵4>4，故点P到直线AB距离的最大值为4.

求解双曲线综合问题的主要方法
双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系．解决这类问题的常用方法是：
(1)设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题．
(2)利用点差法．

[即时训练]　9.设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同点A，B．
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；
(2)设直线l与y轴的交点为P，取＝，求a的值．
解　(1)将y＝－x＋1代入双曲线－y2＝1(a>0)中，得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.
所以解得0 又双曲线的离心率e＝＝，
所以e>且e≠，即e∈∪(，＋∞)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)，
因为＝，所以(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)，
由此得x1＝x2.
由于x1，x2是方程(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0的两根，且1－a2≠0，所以x1＋x2＝x2＝－，
x1x2＝x＝－，
消去x2得－＝，由a>0，解得a＝.

直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A，B.
(1)求实数k的取值范围；
(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
解　(1)将直线l的方程y＝kx＋1代入双曲线C的方程2x2－y2＝1后，
整理得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0.①
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，
故
解得k的取值范围是－2 (2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则由①式得②
假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)，则由FA⊥FB，得(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0.即(x1－c)(x2－c)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0.
整理得(k2＋1)x1x2＋(k－c)(x1＋x2)＋c2＋1＝0.③
把②式及c＝代入③式化简得5k2＋2k－6＝0.
解得k＝－或k＝∉(－2，－)(舍去)．
可知存在k＝－使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F.
答题启示
(1)以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很清晰，但结论却不一定正确．错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的．
(2)关于这种探索性问题．若存在，可用点差法求出直线的斜率，进而求方程；也可以设直线斜率为k，利用待定系数法求方程．
(3)求得的方程是否符合要求，一定要注意检验．
对点训练
已知双曲线x2－＝1，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？
解　设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且线段AB的中点为(x0，y0)，若直线l的斜率不存在，显然不符合题意．
设经过点P的直线l的方程为y－1＝k(x－1)，
即y＝kx＋1－k.
由得
(2－k2)x2－2k(1－k)x－(1－k)2－2＝0(2－k2≠0)．①
则x0＝＝.
由题意，得＝1，解得k＝2.
当k＝2时，方程①成为2x2－4x＋3＝0.
Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．
故不能作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P(1,1)是线段AB的中点．