2021高三统考北师大版数学一轮学案：第11章第3讲　几何概型

第3讲　几何概型

基础知识整合

1．几何概型

(1)几何概型的定义

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．

(2)几何概型的两个基本特点

2．几何概型的概率公式

P(A)＝.

几种常见的几何概型

(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关．

(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题．

(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．

1．(2019·大连模拟)在长为6 m的木棒上任取一点P，使点P到木棒两端点的距离都大于2 m的概率是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　将木棒三等分，当P位于中间一段(不包括两个三等分点)时，点P到木棒两端点的距离都大于2 m，∴P＝＝.

2．(2019·湖南长沙统一检测)某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台的整点报时，则他等待的时间不多于5分钟的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　设距离电台的整点报时还有x分钟，由题意可得，0≤x≤60，等待的时间不多于5分钟的概率为P＝＝，故选B.

3．(2019·湖南株洲二模)如图，在边长为1的正方形内有不规则图形Ω，由电脑随机从正方形中抽取10000个点，若落在图形Ω内和图形Ω外的点分别为3335,6665，则图形Ω面积的估计值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　设图形Ω的面积为S，则由几何概型及题意，得＝≈，所以S≈＝0.3335≈，即图形Ω面积的估计值为.故选C.

4．(2019·衡水中学调研)已知正方体ABCD－A1B1C1D1内有一个内切球O，则在正方体ABCD－A1B1C1D1内任取点M，点M在球O内的概率是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　设正方体的棱长为a，则正方体的体积为a3，内切球的体积为×3＝πa3，故点M在球O内的概率为＝.

5．在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝________.

答案　3

解析　由题意，知m>0，当0<m<2时，－m≤x≤m，此时所求概率为＝，解得m＝(舍去)；

当2≤m<4时，所求概率为＝，解得m＝3；当m≥4时，概率为1，不符合题意，故m＝3.

6．(2020·保定调研)在区间[－1,1]内随机取两个实数x，y，则满足y≥x－1的概率是________．

答案　

解析　点(x，y)分布在如图所示的正方形区域内，画出x－y－1≤0表示的区域(图中阴影部分)，可知所求的概率为1－＝.

核心考向突破

考向一　与长度有关的几何概型

例1　(1)(2020·上海模拟)在区间[－1,1]上随机取一个数k，则直线y＝k(x－2)与圆x2＋y2＝1有两个交点的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　圆x2＋y2＝1的圆心为(0,0)，圆心到直线y＝k(x－2)的距离为 .要使直线y＝k(x－2)与圆x2＋y2＝1有两个交点，需<1，解得－<k<，所以在区间[－1,1]上随机取一个数k，使直线y＝k(x－2)与圆x2＋y2＝1有两个交点的概率P＝＝.故选D.

(2)某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是________．

答案　

解析　本题可以看成向区间[0,5] 内均匀投点，设A＝{某乘客候车时间不超过3分钟}，则

P(A)＝＝.

求解与长度有关的几何概型应注意的问题

(1)求解几何概型问题，解题的突破口为弄清是长度之比、面积之比还是体积之比．

 (2)求与长度有关的几何概型的概率的方法，是把题中所表示的几何模型转化为线段的长度，然后求解，应特别注意准确表示所确定的线段的长度．

[即时训练]　1.(2019·河南濮阳模拟)在[－6,9]内任取一个实数m，设f(x)＝－x2＋mx＋m，则函数f(x)的图象与x轴有公共点的概率等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　∵f(x)＝－x2＋mx＋m的图象与x轴有公共点，∴Δ＝m2＋4m≥0，∴m≤－4或m≥0，∴在[－6,9]内取一个实数m，函数f(x)的图象与x轴有公共点的概率P＝＝.故选D.

2．(2019·湖北武汉调研)在长为16 cm的线段MN上任取一点P，以MP，NP的长为邻边的长作一矩形，则该矩形的面积大于60 cm2的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　设MP＝x cm,0<x<16，则NP＝(16－x) cm，由x(16－x)>60，得6<x<10，所以所求概率为P＝＝.故选A.

精准设计考向，多角度探究突破

考向二　与面积有关的几何概型

角度　　与平面图形面积有关的问题

例2　

(2019·安徽淮北、宿州第二次质量检测)古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下：取线段AB＝2，过点B作AB的垂线，并用圆规在垂线上截取BC＝AB＝1，连接AC；以C为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D；以A为圆心，AD为半径画弧，交AB于点E，则点E即为线段AB的黄金分割点．如图所示，在Rt△ABC中，扇形区域ADE记为Ⅰ，扇形区域BCD记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为P1，P2，P3，(参考数据：≈2.236)则 (　　)

A．P1>P2  B．P1<P2

C．P1＝P2＋P3  D．P2＝P1＋P3

答案　B

解析　由题意可知S△ABC＝×2×1＝1，tan∠ACB＝＝2>.故∠ACB>.所以S扇形BCD>××12＝>.又因为S△ABC＝1，所以S扇形BCD>S扇形ADE，即P2>P1，且P2>P1＋P3.故B正确，A，C，D错误，故选B.

角度　　与线性规划交汇的问题

例3　(2020·西南名校联盟适应性月考)小明和小波约好在周日下午4：00～5：00之间在某处见面，并约定好若小明先到，最多等小波半小时；若小波先到，最多等小明15分钟，则小明和小波两人能见面的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　

设小明到达时间为x，小波到达时间为y，x，y∈(0,1)，则由题意可列出不等式组画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，计算得阴影部分的面积与正方形面积的比值为，故选C.

角度　　与定积分交汇的问题

例4　(2020·甘肃武威阶段考试)如图所示的阴影区域由x轴、直线x＝1及曲线y＝ex－1围成，现向矩形区域OABC内随机投掷一点，则该点落在非阴影区域的概率是(　　)

A.   B.

C．1－  D．1－

答案　B

解析　由题意，阴影部分的面积为(ex－1)dx＝(ex－x)＝e－2，∵矩形区域OABC的面积为e－1，∴该点落在阴影区域的概率是，故该点落在非阴影区域的概率为.

求解与面积有关的几何概型的关键点

求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．

[即时训练]　3.(2019·河南郑州三模)关于圆周率，数学发展史上出现过很多有创意的求法，如著名的蒲丰试验，受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值，试验步骤如下：①先请高一年级n名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对(x，y)(0<x<1,0<y<1)；②若卡片上的x，y能与1构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为m；④根据统计数n，m估计π的值．那么可以估计π的值约为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　D

解析　由题意，n个实数对(x，y)满足构成区域的面积为1，能与1构成锐角三角形的实数对(x，y)满足构成区域的面积为1－，因为能与1构成锐角三角形的实数对(x，y)的个数为m，所以≈1－，则π≈.故选D.

4．(2019·山东郓城一中三模)七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是由七块板组成的．而这七块板可拼成许多图形，例如：三角形、不规则多边形、各种人物、动物、建筑物等，清陆以湉《冷庐杂识》写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．在18世纪，七巧板流传到了国外，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》．若用七巧板拼成一只雄鸡，在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡尾(阴影部分)的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　C

解析　设包含7块板的正方形边长为4，其面积为4×4＝16，雄鸡的鸡尾是标号为6的板块，其面积为S＝2×1＝2，所以在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡尾(阴影部分)的概率为P＝＝.故选C.

5．(2019·四川宜宾模拟)向如图所示的边长为2的正方形区域内任投一点，则该点落入阴影部分的概率为________．

答案　

解析　由题意可知阴影部分的面积为2x3dx＝2×x4＝，所以所求概率为P＝＝.

考向三　与体积有关的几何概型

例5　(1)(2019·厦门模拟)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为(　　)

A.  B．1－

C.  D．1－

答案　B

解析　正方体的体积为2×2×2＝8，以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为×πr3＝×π×13＝，则点P到点O的距离大于1的概率为1－＝1－.故选B.

(2)如图，正四棱锥S－ABCD的顶点都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为________．

答案　

解析　设球的半径为R，则所求的概率为P＝＝＝.

与体积有关的几何概型求法的关键点

对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．

[即时训练]　6.已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，则在正三棱锥内任取一点P，则点P满足V三棱锥P－ABC<V三棱锥S－ABC的概率是________．

答案　

解析　设三棱锥P－ABC的高为h.由V三棱锥P－ABC<V三棱锥S－ABC，得S△ABC·h<·S△ABC·3，解得h<，即点P在三棱锥的中截面以下的空间．∴点P满足V三棱锥P－ABC<V三棱锥S－ABC的概率是P＝1－＝.

考向四　与角度有关的几何概型

例6　

(1)如图所示，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，则使得∠AOC和∠BOC都不小于15°的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　依题意可知∠AOC∈[15°，75°]，∠BOC∈[15°，75°]，故OC活动区域为与OA，OB构成的角均为15°的扇形区域，可求得该扇形的圆心角为(90°－30°)＝60°.故所求概率P＝＝＝.

(2)(2020·鞍山摸底)过等腰Rt△ABC的直角顶点C在∠ACB内部随机作一条射线，设射线与AB相交于点D，求AD<AC的概率．

解　在AB上取一点E，使AE＝AC，连接CE(如图)，则当射线CD落在∠ACE内部时，AD<AC.易知∠ACE＝67.5°，∴AD<AC的概率P＝＝0.75.

与角度有关的几何概型的求解方法

(1)若试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率公式为

P(A)＝.

(2)解决此类问题时注意事件的全部结果构成的区域及所求事件的所有结果构成的区域，然后再利用公式计算．

[即时训练]　7.如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，求BM<1的概率．

解　因为∠B＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°，

在Rt△ABD中，AD＝，∠B＝60°，

所以BD＝＝1，∠BAD＝30°.

记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<1”，则可得∠BAM<∠BAD时事件N发生．由几何概型的概率公式，得P(N)＝＝.

(2019·珠海模拟)某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________(用数字作答)．

答案　

解析　设小张和小王的到校时间分别为7：00后第x分钟，第y分钟，小张比小王至少早5分钟到校表示的事件A＝{(x，y)|y－x≥5,30≤x≤50,30≤y≤50}，如图中阴影部分所示，阴影部分所占的面积为×15×15＝，总事件所占的面积为(50－30)2＝400.所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为P(A)＝＝.

答题启示

本题通过设置小张、小王两人到校的时间这两个变量x，y，将已知转化为x，y所满足的不等式，进而转化为坐标

平面内的点(x，y)的相关约束条件，从而把时间这个长度问题转化为平面图形的二维面积问题，进而转化成面积型的几何概型问题求解．若题中涉及到三个相互独立的变量，则需将其转化为空间几何体的体积问题加以求解．

对点训练

(2019·江西南昌调研)张先生订了一份《南昌晚报》，送报人在早上6：30～7：30之间把报纸送到他家，张先生离开家去上班的时间在早上7：00～8：00之间，则张先生在离开家之前能拿到报纸的概率是________．

答案　

解析　以横坐标x表示报纸送到时间，纵坐标y表示张先生离家时间，建立平面直角坐标系，如图．因为随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意只要点落在阴影部分，就表示张先生在离开家之前能拿到报纸，即所求事件A发生，所以P(A)＝＝.