2021高考数学一轮复习学案：第二章2.4幂函数与二次函数

§2.4　幂函数与二次函数


1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝
y＝x－1
图象





性质
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在R上单调递增
在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增
在R上单调递增
在[0，＋∞)上单调递增
在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减
公共点
(1,1)

2.二次函数的图象和性质
解析式
f (x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f (x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象


定义域
R
R
值域


单调性
在x∈上单调递减；
在x∈上单调递增
在x∈上单调递增；
在x∈上单调递减
对称性
函数的图象关于直线x＝－对称

概念方法微思考
1．二次函数的解析式有哪些常用形式？
提示　(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)；
(3)零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
2．已知f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，写出f (x)≥0恒成立的条件．
提示　a>0且Δ≤0.
3．函数y＝2x2是幂函数吗？
提示　不是．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈[m，n]的最值一定是.(　×　)
(2)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．(　√　)
(3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　√　)
(4)二次函数y＝x2＋mx＋1在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是m≥－2.(　√　)

题组二　教材改编
2．已知幂函数f (x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于(　　)
A. B．1 C. D．2
答案　C
解析　由幂函数的定义，知
∴k＝1，α＝.∴k＋α＝.
3．已知函数f (x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是(　　)
A．[3，＋∞) B．(－∞，3]
C．(－∞，－3) D．(－∞，－3]
答案　D
解析　函数f (x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，
∴－2a≥6，解得a≤－3，故选D.
4．函数f (x)＝x2－2x＋3在闭区间[0,3]上的最大值为________．最小值为________．
答案　6　2
解析　f (x)＝(x－1)2＋2,0≤x≤3，
∴x＝1时，f (x)min＝2，x＝3时，f (x)max＝6.

题组三　易错自纠
5．幂函数f (x)＝(a∈Z)为偶函数，且f (x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a等于(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
答案　C
解析　因为a2－10a＋23＝(a－5)2－2，
f (x)＝(a∈Z)为偶函数，
且在区间(0，＋∞)上是减函数，
所以(a－5)2－2<0，从而a＝4,5,6，
又(a－5)2－2为偶数，所以只能是a＝5，故选C.
6．设二次函数f (x)＝x2－x＋a(a>0)，若f (m)<0，则f (m－1)________0.(填“>”“<”或“＝”)
答案　>
解析　f (x)＝x2－x＋a图象的对称轴为直线x＝，且f (1)>0，f (0)>0，而f (m)<0，∴m∈(0,1)，∴m－1<0，∴f (m－1)>0.
7.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，确定下列各式的正负：b________0，ac________0，a－b＋c________0.

答案　>　<　<
解析　∵a<0，－>0，c>0，∴b>0，ac<0.
设y＝f (x)＝ax2＋bx＋c，
则a－b＋c＝f (－1)<0.

幂函数的图象和性质
1．(2019·武汉模拟)若幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间是(　　)
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0)
答案　D
解析　设f (x)＝xα，则2α＝，α＝－2，即f (x)＝x－2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0)．故选D.
2.幂函数(m∈Z)的图象如图所示，则实数m的值为(　　)

A．3 B．0
C．1 D．2
答案　C
解析　∵函数在(0，＋∞)上单调递减，
∴m2－2m－3<0，解得－1 ∵m∈Z，∴m＝0,1,2.而当m＝0或2时，f (x)＝x－3为奇函数，当m＝1时，f (x)＝x－4为偶函数．∴m＝1.
3．已知幂函数f (x)＝(n2＋2n－2)(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为(　　)
A．－3 B．1 C．2 D．1或2
答案　B
解析　由于f (x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意，故选B.
4．若，则实数a的取值范围是____________．
答案　(－∞，－1)∪
解析　不等式等价于a＋1>3－2a>0或3－2a 思维升华 (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．
(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．
(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．
求二次函数的解析式
例1 (1)已知二次函数f (x)＝x2－bx＋c满足f (0)＝3，对∀x∈R，都有f (1＋x)＝f (1－x)成立，则f (x)的解析式为________________．
答案　f (x)＝x2－2x＋3
解析　由f (0)＝3，得c＝3，
又f (1＋x)＝f (1－x)，
∴函数f (x)的图象关于直线x＝1对称，
∴＝1，∴b＝2，∴f (x)＝x2－2x＋3.
(2)已知二次函数f (x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函数f (x)的最小值为f (－1)＝0，则f (x)＝________.
答案　x2＋2x＋1
解析　设函数f (x)的解析式为f (x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a，由已知f (x)＝ax2＋bx＋1，
所以a＝1，b＝2a＝2，故f (x)＝x2＋2x＋1.
思维升华 求二次函数解析式的方法

跟踪训练1　(1)(2020·青岛模拟)已知二次函数f (x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x)＝______.
答案　x2＋2x
解析　设函数的解析式为f (x)＝ax(x＋2)(a≠0)，
所以f (x)＝ax2＋2ax，由＝－1，
得a＝1，所以f (x)＝x2＋2x.
(2)二次函数f (x)满足f (2)＝f (－1)＝－1，且f (x)的最大值是8，则f (x)＝________.
答案　－4x2＋4x＋7
解析　方法一　(利用一般式)
设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得解得
所以所求二次函数的解析式为f (x)＝－4x2＋4x＋7.
方法二　(利用顶点式)
因为f (2)＝f (－1)，
所以抛物线的对称轴为x＝＝.
又根据题意函数有最大值8，
所以f (x)＝a2＋8.
因为f (2)＝－1，所以a2＋8＝－1，解得a＝－4，
所以f (x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.
二次函数的图象和性质
命题点1　二次函数的图象
例2 (1)一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是(　　)

答案　C
解析　若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B，选C.
(2)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，已知图象过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1，给出下面四个结论：
①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a 其中正确的是________．(填序号)

答案　①④
解析　图象与x轴交于两点，∴b2>4ac，①正确；对称轴为直线x＝－1，∴－＝－1，即2a－b＝0，②错误；f (－1)>0，∴a－b＋c>0，③错误；开口向下，a<0，b＝2a，∴5a<2a＝b，④正确，故正确的结论是①④.
命题点2　二次函数的单调性
例3　(1)函数f (x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－3,0) B．(－∞，－3]
C．[－2,0] D．[－3,0]
答案　D
解析　当a＝0时，f (x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．
当a≠0时，f (x)的对称轴为x＝，
由f (x)在[－1，＋∞)上单调递减，知
解得－3≤a<0.
综上，a的取值范围为[－3,0]．
若函数f (x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a＝________.
答案　－3
解析　由题意知f (x)必为二次函数且a<0，
又＝－1，∴a＝－3.
(2)二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的最小值为f (1)，则f ()，f ，f ()的大小关系是(　　)
A．f () B．f  C．f () D．f () 答案　D
解析　由已知可得二次函数f (x)图象开口向上，对称轴为x＝1，
∵>|－1|>|－1|，
∴f () 命题点3　二次函数的值域、最值
例4 (2019·福州模拟)已知函数f (x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值．
解　f (x)＝a(x＋1)2＋1－a.
(1)当a＝0时，函数f (x)在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；
(2)当a>0时，函数f (x)在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a＋1＝4，解得a＝；
(3)当a<0时，函数f (x)在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.
综上可知，a的值为或－3.
思维升华 解决二次函数图象与性质问题时要注意：
(1)抛物线的开口方向，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论．
(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．
(3)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．
跟踪训练2 (1)已知函数f (x)＝ax2＋bx＋c，若a>b>c，且a＋b＋c＝0，则函数f (x)的图象可能是(　　)


答案　D
解析　由a>b>c且a＋b＋c＝0，得a>0，c<0，所以函数图象开口向上，排除A，C.又f (0)＝c<0，所以排除B，故选D.
(2)若二次函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是单调递增函数，则实数k的取值范围是(　　)
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，2)
答案　A
解析　二次函数y＝kx2－4x＋2图象的对称轴为x＝，当k>0时，要使函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是增函数，只需≤1，解得k≥2，当k<0时，<0，此时抛物线的对称轴在区间[1,2]的左侧，则函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是减函数，不符合要求．综上可得实数k的取值范围是[2，＋∞)．
(3)设函数f (x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f (x)的最小值．
解　f (x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1.
当t＋1≤1，即t≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x)在区间[t，t＋1]上为减函数，
所以最小值为f (t＋1)＝t2＋1；
当t<1 当t≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x)在区间[t，t＋1]上为增函数，
所以最小值为f (t)＝t2－2t＋2.

综上可知，当t≤0时，f (x)min＝t2＋1，当0
例　(1)已知a是实数，函数f (x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围是________．
答案　
解析　由题意知2ax2＋2x－3<0在[－1,1]上恒成立．
当x＝0时，－3<0，符合题意，a∈R；
当x≠0时，a<2－，
因为∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
所以当x＝1时，不等号右边式子取最小值，所以a<.
综上，实数a的取值范围是.
(2)函数f (x)＝a2x＋3ax－2(a>1)，若在区间[－1,1]上f (x)≤8恒成立，则实数a的最大值为________．
答案　2
解析　令ax＝t，因为a>1，x∈[－1,1]，所以≤t≤a，
原函数化为g(t)＝t2＋3t－2，t∈，
显然g(t)在上单调递增，
所以f (x)≤8恒成立，即g(t)max＝g(a)≤8成立，
所以有a2＋3a－2≤8，解得－5≤a≤2，
又a>1，所以1 所以a的最大值为2.
(3)(2019·河北武邑调研)已知定义在R上的奇函数f (x)满足：当x≥0时，f (x)＝x3，若不等式f (－4t)>f (2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是________．
答案　(－∞，－)
解析　由题意知f (x)在R上是增函数，结合f (－4t)>f (2m＋mt2)对任意实数t恒成立，知－4t>2m＋mt2对任意实数t恒成立，∴mt2＋4t＋2m<0对任意实数t恒成立⇒⇒m∈(－∞，－)．
素养提升　逻辑推理是指从一些事实命题出发，依据逻辑规则推出另一个命题的思维过程，逻辑推理也是我们解决数学问题最常用、最重要的手段．二次函数的恒成立问题的求解中处处渗透了逻辑推理，此类题目可帮助我们养成严谨、缜密的思维习惯．