2021高考数学一轮复习学案：第二章2.6指数函数

§2.6　指数函数

1．指数函数的定义

一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R.

2．指数函数的图象与性质

概念方法微思考

1．如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则a，b，c，d与1之间的大小关系为________．

提示　c>d>1>a>b>0

2．结合指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质说明ax>1(a>0，a≠1)的解集跟a的取值有关．

提示　当a>1时，ax>1的解集为{x|x>0}；当0<a<1时，ax>1的解集为{x|x<0}．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　√　)

(2)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　×　)

(3)函数y＝2－x在R上为单调减函数．(　√　)

(4)函数y＝ax与y＝a－x(a>0，a≠1)的图象关于y轴对称．(　√　)

题组二　教材改编

2．若函数f (x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点P，则f (－1)＝________.

答案　

解析　由题意知＝a2，所以a＝，

所以f (x)＝x，所以f (－1)＝－1＝.

3．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．

答案　c<b<a

解析　∵y＝x是减函数，

∴>>0，即a>b>1，

又c＝<0＝1，∴c<b<a.

4．设23－2x<，则实数x的取值范围是________．

答案　

解析　∵23－2x<，∴23－2x<，

∴3－2x<4－3x2，∴3x2－2x－1<0，∴－<x<1.

题组三　易错自纠

5．(2019·扬州月考)函数f (x)＝ax＋1＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点(　　)

A．(0,3)   B．(1,3)

C．(－1,2)   D．(－1,3)

答案　D

解析　令x＋1＝0，则x＝－1时，y＝a0＋2＝3，

∴函数f (x)＝ax＋1＋2(a>0，且a≠1)的图象必经过点(－1,3)．

6．若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________________．

答案　(－，－1)∪(1，)

解析　由题意知0<a2－1<1，即1<a2<2，

得－<a<－1或1<a<.

7．已知函数f (x)＝ax(a>0，a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值为________；若函数f (x)为增函数，则f (x)的最大值为________．

答案　或　

解析　当0<a<1时，a－a2＝，∴a＝或a＝0(舍去)．

当a>1时，a2－a＝，∴a＝或a＝0(舍去)．

综上所述，a＝或；

若f (x)为增函数，则a＝，此时f (x)max＝2＝.

指数型函数的图象

1．定义运算a⊕b＝则函数f (x)＝1⊕2x的图象是(　　)

答案　A

解析　因为当x≤0时，2x≤1；

当x>0时，2x>1.

则f (x)＝1⊕2x＝故选A.

2．已知函数f (x)＝|2x－1|，a<b<c且f (a)>f (c)>f (b)，则下列结论中，一定成立的是(　　)

A．a<0，b<0，c<0   B．a<0，b≥0，c>0

C．2－a<2c   D．2a＋2c<2

答案　D

解析　作出函数f (x)＝|2x－1|的图象，如图，

∵a<b<c且f (a)>f (c)>f (b)，结合图象知，

0<f (a)<1，a<0，c>0，

∴0<2a<1.

∴f (a)＝|2a－1|＝1－2a，

∴f (c)<1，∴0<c<1.

∴1<2c<2，∴f (c)＝|2c－1|＝2c－1，

又∵f (a)>f (c)，

∴1－2a>2c－1，

∴2a＋2c<2，故选D.

3．(2020·南通质检)若函数y＝|4x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为____________．

答案　(－∞，0]

解析　函数y＝|4x－1|的图象是由函数y＝4x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．

由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围是(－∞，0]．

4．若曲线y＝与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是________．

答案　(0,1)

解析　曲线y＝与直线y＝b图象如图所示，由图象可得：如果曲线y＝与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是(0,1)．

思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．

(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．

指数函数的性质

命题点1　比较指数式的大小

例1 (1)已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．(用“<”连接)

答案　b<a<c

解析　由a15＝＝220，b15＝＝212，c15＝255>220，可知b15<a15<c15，所以b<a<c.

(2)若－1<a<0，则3a，，a3的大小关系是__________．(用“>”连接)

答案　3a>a3>

解析　易知3a>0，<0，a3<0，又由－1<a<0，得0<－a<1，所以(－a)3<，即－a3<－，所以a3>，因此3a>a3>.

命题点2　解简单的指数方程或不等式

例2 (1)若偶函数f (x)满足f (x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f (x－2)>0的解集为________________．

答案　{x|x>4或x<0}

解析　∵f (x)为偶函数，

当x<0时，－x>0，则f (x)＝f (－x)＝2－x－4，

∴f (x)＝

当f (x－2)>0时，有或

解得x>4或x<0.

∴不等式的解集为{x|x>4或x<0}．

(2)解下列方程．

①81×32x＝x＋2；

②22x＋2＋3×2x－1＝0.

解　①∵81×32x＝x＋2，

∴32x＋4＝3－2(x＋2)，

∴2x＋4＝－2(x＋2)，∴x＝－2.

②∵22x＋2＋3×2x－1＝0，

∴4×(2x)2＋3×2x－1＝0.

令t＝2x(t＞0)，则方程可化为4t2＋3t－1＝0，

解得t＝或t＝－1(舍去)．

∴2x＝，解得x＝－2.

思维升华 指数函数的单调性和底数大小有关，应用函数的单调性最重要的是“同底”原则．

跟踪训练1 (1)(2019·盐城模拟)已知f (x)＝2x－2－x，a＝，b＝，则f (a)，f (b)的大小关系是__________．

答案　f (b)<f (a)

解析　易知f (x)＝2x－2－x在R上为增函数，

又a＝＝b，

∴f (a)>f (b)．

(2)函数f (x)＝x2－bx＋c满足f (x＋1)＝f (1－x)，且f (0)＝3，则f (bx)与f (cx)的大小关系是________．

答案　f (bx)≤f (cx)

解析　∵f (x＋1)＝f (1－x)，

∴f (x)关于x＝1对称，

易知b＝2，c＝3，

当x＝0时，b0＝c0＝1，∴f (bx)＝f (cx)，

当x>0时，3x>2x>1，

又f (x)在(1，＋∞)上单调递增，

∴f (bx)<f (cx)，

当x<0时，3x<2x<1，

又f (x)在(－∞，1)上单调递减，

∴f (bx)<f (cx)，

综上，f (bx)≤f (cx)．

指数函数图象性质的综合应用

例3 (1)已知函数f (x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f (x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是________．

答案　(－∞，4]

解析　令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减．而y＝2t在R上单调递增，所以要使函数f (x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．

(2)函数f (x)＝4x－2x＋1的单调增区间是________．

答案　[0，＋∞)

解析　设t＝2x(t>0)，则y＝t2－2t的单调增区间为[1，＋∞)，令2x≥1，得x≥0，又y＝2x在R上单调递增，

所以函数f (x)＝4x－2x＋1的单调增区间是[0，＋∞)．

函数f (x)＝4x－2x＋1的值域是________．

答案　[－1，＋∞)

解析　设t＝2x(t>0)，则

y＝t2－2t＝(t－1)2－1(t>0)．

当t＝1时，ymin＝－1，无最大值．

∴函数f (x)＝4x－2x＋1的值域为[－1，＋∞)．

若函数f (x)＝有最大值3，则a＝________.

答案　1

解析　令h(x)＝ax2－4x＋3，f (x)＝h(x)，

由于f (x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，

因此必有解得a＝1，

即当f (x)有最大值3时，a的值为1.

思维升华 (1)利用指数函数的函数性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．

(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．

跟踪训练2 (1)若函数f (x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f (1)＝，则f (x)的单调递减区间是(　　)

A．(－∞，2]   B．[2，＋∞)

C．[－2，＋∞)   D．(－∞，－2]

答案　B

解析　由f (1)＝，得a2＝，

所以a＝或a＝－(舍去)，即f (x)＝|2x－4|.

由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，y＝x在(－∞，＋∞)上单调递减，

所以f (x)在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．故选B.

(2)已知函数f (x)＝的值域是[－8,1]，则实数a的取值范围是________．

答案　[－3,0)

解析　当0≤x≤4时，f (x)∈[－8,1]，

当a≤x<0时，f (x)∈，

所以[－8,1]，

即－8≤－<－1，即－3≤a<0.

所以实数a的取值范围是[－3,0)．