2021高考数学一轮复习学案：第四章4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式

§4.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：＝tan α.2．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sin α－sin α－sin αsin αcos αcos α余弦cos α－cos αcos α－cos αsin α－sin α正切tan αtan α－tan α－tan α  口诀函数名改变，符号看象限函数名不变，符号看象限 概念方法微思考1．使用平方关系求三角函数值时，怎样确定三角函数值的符号？提示　根据角所在象限确定三角函数值的符号．2．诱导公式记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？提示　所有诱导公式均可看作k·±α(k∈Z)和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k是奇数还是偶数．题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　×　)(2)若α∈R，则tan α＝恒成立．(　×　)(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　×　)(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　×　)题组二　教材改编2．若sin α＝，<α<π，则tan α＝        .答案　－解析　∵<α<π，∴cos α＝－＝－，∴tan α＝＝－.3．已知tan α＝2，则的值为      ．答案　3解析　原式＝＝＝3.4．化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为        ．答案　－sin2α解析　原式＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α.题组三　易错自纠5．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为        ．答案　－解析　∵sin θ＋cos θ＝，∴sin θcos θ＝.又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，θ∈，∴sin θ－cos θ＝－.6．若sin(π＋α)＝－，则sin(7π－α)＝        ；cos＝        .答案　　解析　由sin(π＋α)＝－，得sin α＝，则sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝，cos＝cos＝cos＝cos＝sin α＝. 同角三角函数基本关系式的应用1．已知α是第四象限角，sin α＝－，则tan α等于(　　)A．－   B.   C．－   D.答案　C解析　因为α是第四象限角，sin α＝－，所以cos α＝＝，故tan α＝＝－.2．已知α是三角形的内角，且tan α＝－，则sin α＋cos α的值为        ．答案　－解析　由tan α＝－，得sin α＝－cos α，将其代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1，所以cos2α＝，易知cos α<0，所以cos α＝－，sin α＝，故sin α＋cos α＝－.3．若角α的终边落在第三象限，则＋的值为        ．答案　－3解析　由角α的终边落在第三象限，得sin α<0，cos α<0，故原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3.4．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则tan θ＝        .答案　－解析　方法一　由sin θ＋cos θ＝，得sin θcos θ＝－，因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0，所以sin θ－cos θ＝＝，联立解得所以tan θ＝－.方法二　因为sin θ＋cos θ＝，所以sin θcos θ＝－，由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x2－x－＝0的两根，所以x1＝，x2＝－.又sin θcos θ＝－<0，θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0.所以sin θ＝，cos θ＝－.所以tan θ＝＝－.方法三　由sin θ＋cos θ＝，得sin θcos θ＝－，所以＝－.齐次化切，得＝－，即60tan2θ＋169tan θ＋60＝0，解得tan θ＝－或tan θ＝－.又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝>0，sin θcos θ＝－<0，所以θ∈，所以tan θ＝－. 思维升华　(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 诱导公式的应用例1　(1)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝        .答案　－解析　因为θ是第四象限角，且sin＝，所以θ＋为第一象限角，所以cos＝，所以tan＝＝＝－＝－.(2)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是(　　)A．{1，－1,2，－2}   B．{－1,1}C．{2，－2}   D．{1，－1,0,2，－2}答案　C解析　当k为偶数时，A＝＋＝2；当k为奇数时，A＝－＝－2.思维升华　(1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．(2)含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.跟踪训练1　(1)已知sin＝，则cos等于(　　)A.  B.  C．－  D．－答案　B解析　因为sin＝，所以cos＝sin＝sin＝.(2)(2019·扬州四校联考)已知角α是第二象限角，且满足sin＋3cos(α－π)＝1，则tan(π＋α)等于(　　)A.   B．－C．－   D．－1答案　B解析　由sin＋3cos(α－π)＝1，得cos α－3cos α＝1，∴cos α＝－，∵角α是第二象限角，∴sin α＝，∴tan(π＋α)＝tan α＝＝－. 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用例2　(1)已知角θ的终边在第三象限，tan 2θ＝－2，则sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－cos2θ等于(　　)A．－  B.  C．－  D.答案　D解析　由tan 2θ＝－2可得tan 2θ＝＝－2，即tan2θ－tan θ－＝0，解得tan θ＝或tan θ＝－.又角θ的终边在第三象限，故tan θ＝，故sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－cos2θ＝sin2θ＋sin θcos θ－cos2θ＝＝＝＝.(2)已知－π<x<0，sin(π＋x)－cos x＝－.求的值．解　由已知，得sin x＋cos x＝，两边平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，整理得2sin xcos x＝－.∵(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝，由－π<x<0知，sin x<0，又sin xcos x＝－<0，∴cos x>0，∴sin x－cos x<0，故sin x－cos x＝－.＝＝＝＝－.本例(2)中若将条件“－π<x<0”改为“0<x<π”，求sin x－cos x的值．解　若0<x<π，又2sin xcos x＝－，∴sin x>0，cos x<0，∴sin x－cos x>0，故sin x－cos x＝.思维升华　(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．跟踪训练2　(1)已知sin α＝，则tan(α＋π)＋＝        .答案　或－解析　因为sin α＝>0，所以α为第一或第二象限角．tan(α＋π)＋＝tan α＋＝＋＝.①当α是第一象限角时，cos α＝＝，原式＝＝.②当α是第二象限角时，cos α＝－＝－，原式＝＝－.综合①②知，原式＝或－.(2)若tan(5π＋α)＝m，则的值为(　　)A.  B.  C．－1  D．1答案　A解析　∵tan(5π＋α)＝m，∴tan α＝m.原式＝＝＝.