2021高考数学一轮复习学案：第四章4.3三角函数的图象与性质

§4.3　三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sin xy＝cos xy＝tan x图象定义域RR值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间[2kπ－π，2kπ]递减区间[2kπ，2kπ＋π]无对称中心(kπ，0)对称轴方程x＝kπ＋x＝kπ无 概念方法微思考1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？提示　正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期．2．函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件分别是什么？提示　(1)f (x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；(2)f (x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y＝sin x在第一、第四象限是增函数．(　×　)(2)由sin＝sin 知，是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期．(　×　)(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．(　×　)(4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　×　)题组二　教材改编2．函数f (x)＝cos的最小正周期是________．答案　π3．y＝3sin在区间上的值域是________．答案　解析　当x∈时，2x－∈，sin∈，故3sin∈，即y＝3sin在上的值域为.4．函数y＝－tan的单调递减区间为________________．答案　(k∈Z)解析　由－＋kπ<2x－<＋kπ(k∈Z)，得＋<x<＋(k∈Z)，所以y＝－tan的单调递减区间为(k∈Z)． 题组三　易错自纠5．(多选)下列函数中，最小正周期为π的是(　　)A．y＝cos|2x| B．y＝|cos x|C．y＝cos D．y＝tan答案　ABC解析　A项，y＝cos |2x|＝cos 2x，最小正周期为π；B项，由图象知y＝|cos x|的最小正周期为π；C项，y＝cos的最小正周期T＝＝π；D项，y＝tan的最小正周期T＝.6．(多选)已知函数f (x)＝sin(x∈R)，下列结论正确的是(　　)A．函数f (x)的最小正周期为2πB．函数f (x)在区间上是增函数C．函数f (x)的图象关于直线x＝0对称D．函数f (x)是奇函数答案　ABC解析　由题意，可得f (x)＝－cos x，对于选项A，T＝＝2π，所以选项A正确；对于选项B，y＝cos x在上是减函数，所以函数f (x)在区间上是增函数，所以选项B正确；对于选项C，f (－x)＝－cos(－x)＝－cos x＝f (x)，所以函数是偶函数，所以其图象关于直线x＝0对称，所以选项C正确；选项D错误．故选ABC.7．函数y＝sin的对称轴为__________________，对称中心为________．答案　x＝＋kπ，k∈Z　，k∈Z解析　由x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z，由x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z.故函数y＝sin的对称轴为x＝＋kπ，k∈Z；对称中心为，k∈Z. 三角函数的定义域和值域例1　(1)函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　　)A．2－  B．0  C．－1  D．－1－答案　A解析　因为0≤x≤9，所以－≤－≤，所以－≤sin≤1，则－≤y≤2.所以ymax＋ymin＝2－.(2)函数y＝的定义域为________．答案　(k∈Z)解析　要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为.(3)当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的值域为________．答案　解析　因为x∈，所以sin x∈.又y＝3－sin x－2cos2x＝3－sin x－2(1－sin2x)＝22＋，所以当sin x＝时，ymin＝，当sin x＝或sin x＝1时，ymax＝2.即函数的值域为.(4)(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x)＝2sin x＋sin 2x，则f (x)的最小值是________．答案　－解析　f′(x)＝2cos x＋2cos 2x＝2cos x＋2(2cos2x－1)＝2(2cos2x＋cos x－1)＝2(2cos x－1)(cos x＋1)．∵cos x＋1≥0，∴当cos x<时，f′(x)<0，f (x)单调递减；当cos x>时，f′(x)>0，f (x)单调递增，∴当cos x＝时，f (x)有最小值．又f (x)＝2sin x＋sin 2x＝2sin x(1＋cos x)，且当cos x＝时，sin x＝±，∴当sin x＝－时，f (x)有最小值，即f (x)min＝2××＝－.思维升华　求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值．跟踪训练1　(1)已知函数f (x)＝sin，其中x∈，若f (x)的值域是，则实数a的取值范围是______．答案　解析　∵x∈，∴x＋∈，∵当x＋∈时，f (x)的值域为，∴由函数的图象(图略)知，≤a＋≤，∴≤a≤π.(2)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为__________．答案　解析　设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin x·cos x，sin xcos x＝，且－≤t≤.∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1，t∈[－，]．当t＝1时，ymax＝1；当t＝－时，ymin＝－.∴函数的值域为. 三角函数的周期性与对称性1．下列函数中，是周期函数的为(　　)A．y＝sin |x|   B．y＝cos |x|C．y＝tan |x|   D．y＝(x－1)0答案　B解析　∵cos |x|＝cos x，∴y＝cos |x|是周期函数．其余函数均不是周期函数．2．若函数f (x)＝2tan的最小正周期T满足1<T<2，则自然数k的值为________．答案　2或3解析　由题意得1<<2，k∈N，∴<k<π，k∈N，∴k＝2或3.3．函数y＝tan的图象的对称中心是__________．答案　，k∈Z解析　由＋＝(k∈Z)，得x＝kπ－(k∈Z)，即其对称中心为，k∈Z.4．(2020·无锡调研)已知函数f (x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，且∀x∈R有f (x)≤f 成立，则f (x)图象的对称中心是________，对称轴方程是____________．答案　，k∈Z　x＝2kπ＋，k∈Z解析　由f (x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝.因为f (x)≤f 恒成立，所以f (x)max＝f ，即×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝，故f (x)＝sin.令x＋＝kπ，k∈Z，得x＝2kπ－，k∈Z，故f (x)图象的对称中心为，k∈Z.令x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝2kπ＋，k∈Z，故f (x)图象的对称轴方程是x＝2kπ＋，k∈Z.思维升华　(1)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点．(2)求三角函数周期的方法①利用周期函数的定义．②利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为. 三角函数的单调性命题点1　求三角函数的单调区间例2　(1)函数f (x)＝sin的单调递减区间为________．答案　，k∈Z解析　f (x)＝sin＝sin＝－sin，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故所求函数的单调递减区间为，k∈Z.(2)函数f (x)＝tan的单调递增区间是____________．答案　(k∈Z)解析　由kπ－<2x＋<kπ＋(k∈Z)，得－<x<＋(k∈Z)，所以函数f (x)＝tan的单调递增区间为(k∈Z)．(3)函数y＝sin x＋cos x的单调递增区间是____________．答案　解析　∵y＝sin x＋cos x＝sin，由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．∴函数y＝sin在R上的单调递增区间为(k∈Z)，又x∈，∴函数的单调递增区间为.本例(3)中，将x∈改为x∈[－π，π]，则函数的单调递减区间是______．答案　，解析　因为y＝sin，由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，所以函数y＝sin在R上的单调递减区间为(k∈Z)．又x∈[－π，π]，所以函数的单调递减区间为，.命题点2　根据单调性求参数例3　已知ω>0，函数f (x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________．答案　解析　由<x<π，ω>0，得＋<ωx＋<ωπ＋，又y＝sin x的单调递减区间为，k∈Z，所以k∈Z，解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z.又由4k＋－≤0，k∈Z且4k＋>0，k∈Z，得k＝0，所以ω∈.本例中，若已知ω>0，函数f (x)＝cos在上单调递增，则ω的取值范围是____________．答案　解析　函数y＝cos x的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，则k∈Z，解得4k－≤ω≤2k－，k∈Z，又由4k－－≤0，k∈Z且4k－>0，k∈Z，得k＝1，所以ω∈.思维升华　(1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．跟踪训练2　(1)y＝sin －cos 的单调递增区间为________．答案　(k∈Z)解析　y＝sin，由2kπ－≤－≤2kπ＋(k∈Z)，得4kπ－≤x≤4kπ＋(k∈Z)．∴函数的单调递增区间为(k∈Z)．(2)若函数g(x)＝sin在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是______．答案　解析　由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，可得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，∴g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．又∵函数g(x)在区间和上均单调递增，∴解得≤a<.