2021高考数学一轮复习学案：第四章4.4函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用


§4.4　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用


1．简谐运动的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ

2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点
x





ωx＋φ
0

π

2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0

3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径．

概念方法微思考
1．怎样从y＝sin ωx的图象变换得到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的图象？
提示　向左平移个单位长度．
2．函数y＝sin(ωx＋φ)图象的对称轴是什么？对称中心是什么？
提示　对称轴是直线x＝＋－(k∈Z)，
对称中心是点(k∈Z)．


题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y＝sin的图象可由y＝sin的图象向右平移个单位长度得到．(　√　)
(2)将函数y＝sin ωx的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，可以得到函数y＝sin(ωx－φ)的图象．
(　×　)
(3)如果函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　√　)
(4)函数y＝sin x的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为y＝sin x.(　×　)
题组二　教材改编
2．为了得到函数y＝2sin的图象，可以将函数y＝2sin 2x的图象向________平移________个单位长度．(答案不唯一)
答案　右　
3．函数y＝2sin的振幅、频率和初相分别为__________________．
答案　2，，－
4．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b,0<φ<π，则这段曲线的函数解析式为__________________________．

答案　y＝10sin＋20，x∈[6,14]
解析　从题图中可以看出，从6～14时的图象是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期，
所以A＝×(30－10)＝10，
b＝×(30＋10)＝20，
又×＝14－6，
所以ω＝.
又×10＋φ＝2kπ，k∈Z,0<φ<π，所以φ＝，
所以y＝10sin＋20，x∈[6,14]．
题组三　易错自纠
5．要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
答案　A
解析　∵y＝sin＝sin，
∴要得到y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象向左平移个单位长度．
6．(多选)将函数f (x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则(　　)
A．g(x)在上的最小值为－
B．g(x)在上的最小值为－1
C．g(x)在上的最大值为
D．g(x)在上的最大值为1
答案　AD
解析　将函数f (x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)＝sin，
∵x∈，
∴≤2x＋≤，
∴－≤sin≤1.
7．已知函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则使f (x＋m)－f (m－x)＝0成立的m的最小正值为________．

答案　
解析　由函数图象可知A＝1，又＝－＝，T＝π，
所以ω＝＝2，因为函数图象过点，代入解析式可知sin＝0，所以＋φ＝π＋2kπ，k∈Z.
因为|φ|<，所以＋φ＝π，φ＝，
所以函数解析式为f (x)＝sin，
由2x＋＝kπ＋，k∈Z，可得其对称轴x＝＋，k∈Z.
因为f (x＋m)－f (m－x)＝0，即f (x＋m)＝f (m－x)，
所以x＝m是函数的一条对称轴，当k＝0时，m的最小正值为m＝.
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例1　已知函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期是π，且当x＝时，f (x)取得最大值2.
(1)求f (x)的解析式；
(2)作出f (x)在[0，π]上的图象(要列表)；
(3)函数y＝f (x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？
解　(1)因为函数f (x)的最小正周期是π，所以ω＝2.
又因为当x＝时，f (x)取得最大值2.所以A＝2，
同时2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
φ＝2kπ＋，k∈Z，
因为－<φ<，所以φ＝，
所以f (x)＝2sin.
(2)因为x∈[0，π]，所以2x＋∈.
列表如下：
2x＋


π

2π

x
0




π
f (x)
1
2
0
－2
0
1

描点、连线得图象：

(3)将y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再将y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象，再将y＝sin上所有点的纵坐标伸长2倍(横坐标不变)，得到f (x)＝2sin的图象．
若将本例中函数f (x)的图象向左平移个单位长度，把所有点的横坐标伸长到原来的二倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则g(x)＝____________.
答案　2sin
解析　f (x)的图象向左平移个单位长度后得y＝2sin＝2sin的图象，
再把所有点的横坐标伸长到原来的二倍(纵坐标不变)得
g(x)＝2sin的图象，即g(x)＝2sin.
若将本例中函数f (x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，且y＝g(x)是偶函数，求m的最小值．
解　由已知得y＝g(x)＝f (x－m)＝2sin＝2sin是偶函数，
所以2m－＝＋kπ，k∈Z，得m＝＋，k∈Z，
又因为m>0，所以m的最小值为.
思维升华　(1)y＝Asin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标．
(2)由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
跟踪训练1　(1)为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图象，可以将函数y＝cos 3x的图象(　　)
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
答案　C
解析　因为y＝sin 3x＋cos 3x＝cos
＝cos 3，所以将函数y＝cos 3x的图象向右平移个单位长度后，可得到y＝cos的图象，故选C.
(2)将函数y＝cos的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，所得函数图象的一条对称轴为(　　)
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝π
答案　A
解析　将函数y＝cos的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)时，得到函数y＝cos的图象；再将此函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝cos＝cos的图象，该函数图象的对称轴满足－＝kπ(k∈Z)，即x＝2kπ＋(k∈Z)．结合选项，只有A符合，故选A.
(3)已知函数f (x)＝sin(0<ω<2)满足条件f ＝0，为了得到函数y＝f (x)的图象，可将函数g(x)＝cos ωx的图象向右平移m(m>0)个单位长度，则m的最小值为(　　)
A．1 B. C. D.
答案　A
解析　由题意得sin＝0，即－ω＋＝kπ(k∈Z)，则ω＝－2kπ(k∈Z)，结合0<ω<2，得ω＝，所以f (x)＝sin＝cos＝cos，所以只需将函数g(x)＝cos x的图象向右至少平移1个单位长度，即可得到函数y＝f (x)的图象，故选A.
由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
1.函数f (x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω＝_____，φ＝_____.

答案　2　－
解析　设f (x)的最小正周期为T，
由题中图象可知T＝－得T＝π，
则ω＝＝＝2，又图象过点，
则f ＝2，即2sin＝2，则sin＝1.
∵－<φ<，∴<φ＋<，
∴＋φ＝，∴φ＝－.
2．已知函数f (x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f ＝，则f ＝________.

答案　－
解析　方法一　设f (x)的最小正周期为T，
由题图可知＝－＝，
所以T＝，ω＝3，
当x＝时，y＝0，
即3×＋φ＝2kπ－，k∈Z，
所以φ＝2kπ－，k∈Z，
因为|φ|<，所以k＝1，φ＝－，
所以f (x)＝Acos.
又f ＝Acos＝，所以A＝，
所以f (x)＝cos，
故f ＝cos＝.
方法二　同方法一得f (x)的周期T＝，
所以f ＝f ＝f ＝－.
3.已知函数f (x)＝sin(ωx＋φ) 的部分图象如图所示，则y＝f 取得最小值时x的集合为________．

答案　
解析　方法一　根据题干所给图象，周期T＝4×＝π，故π＝，∴ω＝2，因此f (x)＝sin(2x＋φ)，另外图象经过点，代入有2×＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，
再由|φ|<，得φ＝－，∴f (x)＝sin，
∴f ＝sin，
当2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，即x＝－＋kπ(k∈Z)时，y＝f 取得最小值．
方法二　同方法一知，T＝π，
又由图象可知当x＝－＝－时，f (x)取最小值．
∴y＝f (x)取得最小值时x的集合为，
∴y＝f 取得最小值时x的集合为.
思维升华　y＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法
(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．
三角函数图象、性质的综合应用
命题点1　图象与性质的综合应用
例2　(1)函数f (x)＝sin ωx(ω>0)的图象向左平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是________．
答案　1
解析　依题意得，函数f ＝sin(ω>0)的图象过点，
于是有f ＝sin
＝sin ωπ＝0(ω>0)，
ωπ＝kπ，k∈N，即ω＝k∈N，因此正数ω的最小值是1.
(2)函数f (x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f (x)的单调递增区间为____．

答案　[8k－3,8k＋1]，k∈Z
解析　由题图知其最小正周期T＝4×(3－1)＝8.
结合图象易知[－3,1]为函数f (x)＝sin(ωx＋φ)的一个单调递增区间，故f (x)的单调递增区间为[8k－3,8k＋1]，k∈Z.

命题点2　函数零点(方程根)问题
例3　已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是____________．
答案　(－2，－1)
解析　方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0可转化为
m＝1－2sin2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x
＝2sin，x∈.
设2x＋＝t，则t∈，
∴题目条件可转化为＝sin t，t∈有两个不同的实数根．
∴y＝和y＝sin t，t∈的图象有两个不同交点，如图：

由图象观察知，的取值范围是，
故m的取值范围是(－2，－1)．
本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是__________．
答案　[－2,1)
解析　同例题知，的取值范围是，
∴－2≤m<1，∴m的取值范围是[－2,1)．
命题点3　三角函数模型
例4　据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低，为5千元，则7月份的出厂价格为______元．
答案　6 000
解析　作出函数简图如图：

三角函数模型为y＝Asin(ωx＋φ)＋B，
由题意知A＝(9 000－5 000)＝2 000，B＝7 000，
周期T＝2×(9－3)＝12，
∴ω＝＝.
将(3,9 000)看成“五点法”作函数图象时的第二个特殊点，则有×3＋φ＝，∴φ＝0，
故f (x)＝2 000sin x＋7 000(1≤x≤12，x∈N*)．
∴f (7)＝2 000×sin ＋7 000＝6 000(元)．
故7月份的出厂价格为6 000元．
思维升华　(1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
跟踪训练2　(1)(2019·沈阳模拟)将函数f (x)＝2sin(ω>0)的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象．若y＝g(x)在上为增函数，则ω的最大值为(　　)
A．3 B．2 C. D.
答案　C
解析　函数f (x)＝2sin(ω>0)的图象向右平移个单位长度，可得g(x)＝2sin＝2sin ωx的图象．若g(x)在上为增函数，则＋2kπ≤－且≤＋2kπ，k∈Z，解得ω≤3－12k且ω≤＋6k，k∈Z，∵ω>0，∴当k＝0时，ω取最大值，故选C.
(2)若函数f (x)＝sin(ω>0)满足f (0)＝f ，且函数在上有且只有一个零点，则f (x)的最小正周期为________．
答案　π
解析　∵f (0)＝f ，∴x＝是f (x)图象的一条对称轴，∴f ＝±1，∴×ω＋＝＋kπ，k∈Z，
∴ω＝6k＋2，k∈Z，∴T＝(k∈Z)．
又f (x)在上有且只有一个零点，
∴<≤－，∴ ∴<≤(T>0)，∴－≤k<，
又∵k∈Z，∴k＝0，∴T＝π.